知识高考数学解题中突破思维障碍的技巧1docx.docx

1、知识高考数学解题中突破思维障碍的技巧1docx高考数学解题中突破思维障碍的技巧高考数学解题中，如何突破思维障碍，促进思维流畅，止常发挥，取得优界成绩呢？ 笔者经过近三十年的教学，带出十几届高三毕业生，总结出以下几点，有失偏颇之处，述 请各位同行不吝指正：1、高考数学解题中形成思维障碍、思维屏蔽的原因:1.1.基础知识不系统，不扎实，重要概念一知半解，似懂非懂，定理、法则、公式 丢三落四，阿应吞枣，不了解知识的内涵、外延、公式、定理的使用条件；1.2.基本数学思想方法意识淡薄，不能用学科思想指导解题；1.3.缺乏学科整体意识，不善于发现数学知识间的联系与转化，不了解知识网络的 交汇点；1.4.学

2、法呆板，学习中死记硬背，练习时机械摹仿；1.5.思维方式低下，只知顺向思维，缺少转换视角、逆向思维或发散思维的意识和 能力；1.6.解题习惯不良，不遵循解题格式思维和表述，随手乱画草图，随意省略过程， 其至丢三落四，盲目添加、默认或修改条件和结论，乱套数学模型；1.7.对题目的新颖情境辨析能力差；1.8.心理素质欠佳,一遇困难,情绪陡下,不能集中注意力,积极思维.2、高考数学解题中,出现解题思维障碍的表征:2.1 .题目情境新，涉及知识深，背景材料不熟，无法寻求相近、和似的数学模式;2.2.条件众多且分散，无法发现它们间的联系或转化途径；2.3.数学记号与数学语言新奇、陌生、抽象，不能理解其数

3、学内涵;2.4.冃标不明确、不具体，口无法与条件沟通;2.5.条件不充分，R无法发现足够的隐含条件；2.6.按常规思路计算量大，解题长度A长；2.7.应用题所列实际问题情境不熟悉，专用名词，术语住辟，无法建立数学模型;2.8.在实施解题计划中，原冇演算或推理无法继续施行.3、高考数学解题中突破思维障碍的常规策略:3.1.语言转译数学语言是数学知识的载体，是数学髙考必考的数学能力的要索之一，也是考生读不 懂高考数学试题，形成解题思维障碍的第一个关卡.数学语言包括戈字谱言、符号语言反图形语言三种基木样式，每种样式各冇白己独特 的规律和长处，优势互补，形成数学交流中风格各异、丰富多彩的语言特色，数苑

4、奇观, 也同时构筑了外行无法逾越的关卡，竞争者艰难攀登的一个阶梯 及吋将题目条件与结论中读不懂的部分，山原有的表述样式，转译为新一种表述样式, 利用不同的语言样式的优点，凸现题目的数学本质，如将普通语言改 译为符号语言，或将符号语言改译为图形语言，常常可以帮助我们突破语言关卡，读懂或 切入题意.例题L 已知集合 A= x 3/10W0, B=x 加4 1,若求实数刃的取值范围.分析：木小题解答屮，一些考生读不懂条件因而思维短路.突破思维障碍的策略有两种：(1)通法：将AB=A转译为图形语言，山文氏图可得力U B=AoB5；(2)特例法：化简条件，易知古2, 5是固定集合，尿加1, 2/一1是可

5、变集合, rfl数轴可知将分为伕0或狞0两类情况，相对于/集变动，即得刃的取值范围(一8, 3,点拨解疑：忽视4 0的存在，是一个常见错误.例题2、函数y=f(x)在(一, 0上是减函数，而函数y=f(对1)是偶函数，设自= /(log05 4),方=f(3), E(arcos(1),试比较自，b, c 的大小关系.分析：易得日=尸(_2), c=f5),但一些考生读不懂函数 尸尸(丹1)是偶函数的内含, 无法转化为fd)的单调性来求，思路不畅.转换语言样式，运用图形语言和图形变换考察题设条件，知函数 尸f(卅1)的图像关 于y轴对称，而两数 尸f(卅1)的图像由函数y=f的图像向左平移1个单

6、位得到，所 以y=fx)的图像关于直线x=l对称，由尸f3在(一8, 0上递减，知尸/U)在胆2, +8)上递增,.f(一2)*(4),例题3.设/等于|, b和1中最大的一个，当丨” 刃时，求证：丨纟+纟12.分析：本小题解答屮，一些考牛不善于将题设条件屮的文字语言转译为符号语言，揭 示其隐蔽的人小关系，形成思维障碍.将题设的文字语言转译成符号语言“诊丨引，鼻“I,心”与条件|”/统一为符 号语言表述，即可思路畅通，发现|”刃2丨劄，从而3.2.数形结合数形结合思想是重要的基木数学思想，从人脑思维功能看，人的左半脑主抽象思维， 代数推理思维；右半脑主形象思、维，儿何直观思维，数形结合思想完美

7、地调动了左、右半 脑的思维功能，极人地促进数学解题者的思维能力，从数学对象的本质看，数即数学记号 具有高度的抽象性,简约性,形即数学图形具有高度的直观性，形象性,数形结合思想相 辅相成，完美地凸现了数学对象的各种本质及本质间的联系.数学解题屮，不能充分揭露题目的隐含条件，找不到解题的突破口时，有意识地运用 数形结介思想转换思维角度，赋条件和结论中的数式以图形，或给条件和结论中的图形以 数式的解释，以形禅数，由数思形，把代数式的精确刻画 与儿 y|何图形的直观描述有机地结合起來，尽现题目丰富的种种 p联系，许多思维障碍便不攻自破了. / /例题4.已知奇函数f(x)的定义域是” *工0,圧M,且

8、在(o, +oo)上单调递增，若代1)二0试求满足xf3 T0的才的范围.分析：由于函数没有给出具体的函数式，目标不等式无法直接解出, 形成思维障碍.转换思维角度，注意到f3o表明此函数的自变量与函数值异号，结 合题没条件，即可见运用数形结合思想，构造一个符合条件的简单函数的图像(如图).由 图像立知，满足Xf(x)0的X的取值范围是(一1, 0)U(0, 1).点拨解疑：抽象函数问题常采川特例法解，根据题设构造一个最简单的函数即町例题5.设函数f(0=a+J兀2 4兀,&(力=纟时1,已知圧_4, 0时，恒有fd) Wg3,求实数&的取值范围.分析：即护衣=刊由于参数&取值范围不易由,4时，

9、将原不等式同解变换得到，思路不畅.转换视角，观察不等式结构特征，数形结合，易知变形为不等式 日+ J_兀2 _4兀W 屮1后，可令yi= 7-x2 -4%3由得（卄2尸+#二4 （心0）,表示以点（-2, 0）为圆心，2 为半径的半圆；42式表示斜率为一，截距为1 日的平行直线系，3yr（05 近）,显然直线系中与半圆0相切的直线M（T为切点）即为所 求临界值.如图，设直线的倾斜角为a ,则tan a =-34sin a =075OyB5sin a 29 4在厶屮，0A=0B tana=-X-= 6,2 3要使 g Wgd）恒成立，直线必须位于力T上方或力厂重合.: 1臼26,臼W 5.3.3

10、.逆向思维逆向思维是较高层次的思维方式，也是数学高考思维能力考查的一个耍点.逆向思维包含多种形式，常见形式有：1逆向分析，当肓接证法受阻时，变换视角，从待证结论出发，递次寻找结论成立 的充分（充要）条件，直至题设或显然的数学事实，此执果寻因的证法通常叫分析法，是 不等式证明中的重要间接证法；2逆用知识：当定理、法则、公式顺用不符合题没条件，只有逆向运用才能解题时, 根据题没逆用知识就成为解题的必须策略，但解题成败的关键是对知识能否逆用的认识， 即对定理、公式、法则使用范围的深刻理解：3逆向推求，在一些难度较大的探索型开放题，如存在性问题，从问题结 论出发，假设问题结论存在（成立），结合题设条件

11、，逆向推理或演算，找到确切的数值 或明显的矛盾，使问题获解；4反证法：当结论的正面不易证明时，假定结论反面成立，通过归谬，穷举等严格 推理，引出矛盾，否定“反设”，从而肯定结论正确；5反面求补，当结论的正面比较复杂，而反面比较简单时，求结论的补集.（去杂法），在高考数学解题屮，顺向思考遇到障碍，并经过语言转译，数形结合仍 不奏效时，应积极转换视角，尝试逆向思维.例题6. LL知集合 庐（ x, y） | y=2x,庐&, y）丨（r）2+/=9,求 MC1AH0 的充要条件.分析：易知財九伴0的充要条件是方程组至少有一个实数解，且 （x-a）2y2 =9即+2（1 臼）卅/_9二0至少有一个非

12、负根.由$（）,得臼W5,此时若顺向思维， 则情形较繁，求解困难，若逆向思维，考虑至少有一个非负根的反面是两个负根（只有一 种情形）立知上述方程有两个负根的充要条件应为AO,且必+曲0,心0,即一 2（1吕）0,且90,解得曰V 3,从而知所求充要条件为一3W&W5.例题7.设斤和厂是实数，且厂0使得直线y=kx+1既与圆/+y=r相切，又与双 Illi线有两个交点，试问：直线y=kx+能否经过双曲线的焦点？为 什么？分析：由于两个参数&和r的联系较隐蔽，很难顺向确定，形成思维障碍，若转换思 维角度，用反证法则目标明确，化难为易了.解：不可能，下面用反证法.双曲线xy-r的焦点是F（迈厂,0）

13、,他（迈厂,0）,如果直线尸滋+1过点 F,则有一血阳1二0,即 严（1）41k因为直线尸滋+1与/+/=?圆相切，所以圆心（0, 0）到直线的距离等于半径z;即 有 #工0,故-k2=, （2）Vi+F 厂又因为直线y= kx十1与双|线z y-r相交，故交点坐标（x, y）满足方程组 y = kx+1 （3）-y = r （4）将（3）代人（4）得（1一尸）,一2滋一仃 +r） =0 （5）由直线与双Illi线有两个交点，且对于任意实数乩直线不平行于F轴，故（5）式有两 个不同的实数根,因而1 一#工0,即|川工1但将（1）代入（2）,得（血矿一眉1,即扫1与|川工1矛盾,故直线y= kx

14、+1不口J能过双曲线xy=r的左焦点. 同理可证也不可能过右焦点.3.4.联想迁移联想是一种富于发现、创造功能的思维方式，它把两个不同领域中的事物联系起來进 行思考并由此激发新的认识，促成问题的解决，高考数学解题中思维受阻吋，将题口的条 件和结论，与数学各分支中不同的数学知识，数学方法乃至兄弟学科或现实生活中的其他 知识常识，充分展开接近联想、相似联想、对比联想，改变问题情境，常能有效地使思路 畅通，甚至诱发直觉、顿悟，激发灵感，获得创造性的解法思维求变、求界、多向发散、优化解法足决胜数学高拓展联想空间，促进信息迁移，使问题获得多种不同的解题途径, 考的一个不可缺少的思维策略.例题8.如图，小

15、関圈表示网络的结点，两点Z间 的线段表示它们的网线相联，连线标注的数字表示该网 线单位吋间内可以通过的最人信息量，现从结点A向结 点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递， 则单位时间内传递的最大信息量为分析：这是2001年高考数学选择题第12题，一道颇具时代气息的优秀创新题，属线 性规划范畴，很多考生读不懂题意.如果转换思维角度，广泛联想，可将信息传递联想为 水的流动，这条虚拟的河便化生为熟，立即使你明白最大流量就是每条线路的最小流量的和，从而轻松地获得正确选项为()例题9.函数/U)对于任何 xER,恒有 f(xxAf(x)+f(x),若 /(8)=3,则 Aa/2)分析：由于映射法则/没有给出，直接计算较难，思维受阻，联想fd山)二 恰好是对数函数的一个运算性质，立即思路畅通.由f=3,想到可设A%)=log2%,故得AV2)=-.23.5.归纳猜想归纳是通过分析部分特殊的事例去概括出普遍的结论的一种由特殊到一般的推理方 法，当题目条件抽象性强，不易直接进行演绎推理获得结论时，