完整版考研数学公式推导.docx

1、完整版考研数学公式推导积化和差积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式. 公式sinsin=-cos（+)cos()/2（注意此公式前的负号）coscos=cos(+)+cos（-）/2sincos=sin(+)+sin(）/2cossin=sin（+）sin()/2 证明积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:sinsin=-1/2cos(+）cos(-)=1/2（coscossinsin)-（coscos+sinsin）=-1/2-2sinsin其他的3个式子也是相同的证明方法。 作用积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为

2、另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式化为10k*sinsin的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。和差化积 正弦、余弦的和差化积指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin +sin =2sin（+）/2cos（-）/2sin -sin =2cos（+)/2sin()/2cos +cos

3、 =2cos(+）/2cos(-）/2cos cos =2sin(+)/2sin（-)/2以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程sin +sin =2sin（+)/2cos（-）/2的证明过程因为sin(+)=sin cos +cos sin ，sin(-)=sin cos -cos sin ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin（+）+sin（）=2sin cos ，设 +=，=那么=(+)/2， =（-）/2把,的值代入,即得sin +sin =2sin（+)/2 cos(-）/2 正切的和差化积tantan=sin（）/（coscos)(附证明)cotcot=sin(）/（s

4、insin)tan+cot=cos（）/(cossin）tancot=-cos(+)/（cossin）证明：左边=tantan=sin/cossin/cos=(sincoscossin)/（coscos)=sin()/（coscos)=右边等式成立 注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正,正在前,余加余，余并肩 正减正,余在前,余减余，负正弦 反之亦然生动的口诀：（和差化积）帅+帅=帅哥帅帅=哥帅咕+咕=咕咕哥哥=负嫂嫂反之亦然sinx*siny=？ 正余弦的和差化积和积化和差公式常用的诱导公

5、式有以下几组: 公式一: 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k)cot 公式二: 设为任意角,+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin(）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系: sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin(）sin cos(）cos tan（）tan cot（)cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与

6、的三角函数值之间的关系： sin(2）sin cos(2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六: /2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2)sin tan(/2）cot cot（/2）tan sin（/2)cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k/2（kZ）的个三角函数值， 当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变； 当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincos；cossin;tancot,cottan。 （奇变偶不变） 然后在前面加上把看成锐

7、角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2)sin（4/2),k4为偶数，所以取sin。 当是锐角时,2（270，360)，sin(2）0，符号为“”。 所以sin(2）sin 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把视为锐角时,角k360+（kZ)，-、180，360 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦;三为切；四余弦” 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“； 第二象限内只有正弦是“，其余全部是“; 第三象限内切函数是“”

8、，弦函数是“”； 第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“” 上述记忆口诀，一全正，二正弦，三正切,四余弦 其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系: sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方关系： sin2（)cos2()1 1tan2(）sec2() 1cot2()csc2() 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。 （1）倒数关系:对角线上两个函数互为倒数；

9、(2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式. （3)平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin(）sincoscossin sin（）sincoscossin cos(）coscossinsin cos（)coscossinsin tantan tan（）- 1tan tan tantan tan(）- 1tan tan 倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin22

10、sincos cos2cos2()sin2（）2cos2（）112sin2（） 2tan tan2- 1tan2() 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1cos sin2（/2）- 2 1cos cos2（/2）- 2 1cos tan2（/2)- 1cos 万能公式 万能公式 2tan（/2） sin- 1tan2（/2） 1tan2(/2） cos- 1tan2（/2） 2tan(/2) tan- 1tan2(/2） 万能公式推导 附推导: sin2=2sincos=2sincos/(cos2（)+sin2（)。.。.*, （因为cos2()+sin2（)=1） 再把*

11、分式上下同除cos2(），可得sin2tan2/(1tan2（）) 然后用/2代替即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到. 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin33sin4sin3（） cos34cos3(）3cos 3tantan3（） tan3- 13tan2(） 三倍角公式推导 附推导： tan3sin3/cos3 (sin2coscos2sin）/(cos2cos-sin2sin) (2sincos2(）cos2()sinsin3（)）/(cos3（）cossin2()2sin2(）cos) 上下同除以cos3（)，得： tan3(3tanta

12、n3（)/（1-3tan2() sin3sin(2）sin2coscos2sin 2sincos2（)（12sin2()sin 2sin2sin3（）sin2sin2（) 3sin4sin3（) cos3cos（2)cos2cossin2sin （2cos2（）1）cos2cossin2() 2cos3(）cos（2cos2cos3()） 4cos3（）3cos 即 sin33sin4sin3() cos34cos3（)3cos 三倍角公式联想记忆 记忆方法:谐音、联想 正弦三倍角:3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数），所以要“挣钱”(音似“正弦”） 余弦三倍角：4元3角 减 3元(减完之

13、后还有“余”） 注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。 和差化积公式 三角函数的和差化积公式 sinsin2sin-cos- 2 2 sinsin2cos-sin- 2 2 coscos2cos-cos- 2 2 coscos2sin-sin- 2 2 积化和差公式 三角函数的积化和差公式 sin cos0。5sin（)sin(） cos sin0.5sin（）sin（） cos cos0。5cos（)cos(） sin sin 0.5cos（)cos（） 和差化积公式推导 附推导： 首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosasinb,sin（a-

14、b）=sinacosb-cosasinb 我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb 所以,sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b）/2 同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin（a+b）-sin（ab)/2 同样的，我们还知道cos(a+b）=cosa*cosbsinasinb,cos（ab）=cosacosb+sinasinb 所以，把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb 所以我们就得到，cosacosb=(cos（a+b)+cos（ab)）/2 同理，两式相减我们就得到sina*sin

15、b=（cos(a+b）-cos(a-b)）/2 这样，我们就得到了积化和差的四个公式: sinacosb=(sin(a+b)+sin（a-b)）/2 cosasinb=（sin(a+b)sin（ab)/2 cosa*cosb=（cos(a+b)+cos（a-b)）/2 sinasinb=-(cos（a+b）-cos（a-b)）/2 好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。 我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=（x-y)/2 把a,b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式： sinx+siny=2sin（x+

16、y)/2）cos(xy)/2) sinxsiny=2cos（x+y)/2)*sin（x-y)/2） cosx+cosy=2cos（(x+y）/2）*cos（(xy)/2） cosx-cosy=2sin（(x+y）/2)sin(（x-y)/2） 和差化积公式： sin+sin=2sin（+）/2cos（)/2 sin-sin=2cos（+）/2sin（-）/2 cos+cos=2cos(+）/2cos()/2 cos-cos=2sin(+)/2sin（-)/2 和差化积公式由积化和差公式变形得到. 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程： sin（+）=si

17、ncos+cossin，sin（-）=sincoscossin 把两式相加得到:sin（+）+sin（)=2sincos 所以，sincos=sin（+）+sin（)/2 同理,把两式相减，得到：cossin=sin（+）-sin(）/2 cos（+）=coscos-sinsin,cos（）=coscos+sinsin 把两式相加，得到：cos(+)+cos(）=2coscos 所以,coscos=cos（+)+cos(）/2 同理,两式相减，得到sinsin=-cos(+)cos（-)/2 这样,得到了积化和差的四个公式: sincos=sin（+)+sin（)/2 cossin=sin(+

18、)-sin（）/2 coscos=cos（+）+cos(-）/2 sinsin=-cos（+)-cos(-)/2 有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。我们把上述四个公式中的+设为,-设为, 那么=(+）/2，=（-)/2 把，分别用，表示就可以得到和差化积的四个公式: sin+sin=2sin(+)/2cos（-）/2 sinsin=2cos（+）/2sin（)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 coscos=-2sin(+）/2sin(-）/2 正余弦公式 三角函数的积化和差公式sincos= 1/2sin（+)+sin（）cos

19、sin= 1/2sin(+）sin（-)coscos= 1/2cos(+）+cos(-)sinsin= 1/2cos(+)-cos（-)三角函数的和差化积公式sin+sin = 2sin(+)/2 cos（）/2 sinsin = 2cos(+）/2 sin(-)/2 cos+cos = 2cos（+)/2 cos(-)/2coscos = -2sin(+)/2 sin(）/2有相关的口诀 正加正，正在前,正减正，余在前 余加余，余并肩,余减余，负正弦 反之亦然360=2 360用角度表示的一个圆周角的角度，而2是用弧度表示的圆周角（即该角度所在的弧长是半径的多少倍：弧长/半径。如360是整圆

20、，所在的弧长是2r,半径是r,所以弧度为:2r/r=2）两者是相同的量不同单位的表示形式在公式里看具体是用弧度还是角度，如果前面是用弧度就应用2,如果用的是角度就应用360详细讲解正余弦诱导公式解题过程诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。)sin(）sincos（）costan（）tancot(）cotsin(/2）coscos（/2）sintan(/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2)cotcot（/2)tansin（)sincos（）costan（）tancot(）cotsin(）sincos（）costan（）tancot（)cotsi

21、n（3/2)coscos(3/2）sintan（3/2)cotcot(3/2)tansin（3/2）coscos(3/2)sintan（3/2）cotcot（3/2)tansin（2）sincos（2）costan（2)tancot（2）cotsin（2k）sincos（2k）costan(2k）tancot（2k）cot（其中kZ)两角和与差的三角函数公式万能公式sin(）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（)coscossinsintan（）(tantan）/(1tantan)tantantan（）1tantan2tan（/2

22、）sin-1tan2（/2）1tan2（/2）cos-1tan2(/2)2tan（/2)tan-1tan2(/2）半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin22tantan21tan2sin33sin4sin3cos34cos33cos3tantan3tan3-13tan2三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinsin2sincos22sinsin2cos-sin22coscos2coscos22coscos2sinsin-122sincossin(）sin（）21cossin-sin（）sin(）21coscos-cos（)cos（)21sinsin-cos（)cos（）2化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式）