第六章第3讲等比数列及其前n项和.docx

1、第六章第3讲等比数列及其前n项和第3讲等比数列及其前n项和1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示q(n2，q为非零常数)，或q(nN*，q为非零常数)an是等比数列2等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1(q0)；(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3等比数列及前n项和的性质(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比

2、数列G2ab.(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.1等比数列的三种判定方法(1)定义：q(q是不为零的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1(c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列2求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中

3、联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q1时，Snna1；当q1时，Sn；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论1(必修5 P51例3改编)等比数列an中，a312，a418，则a6等于()A27 B36C. D54解析：选C.法一：由a312，a418，得解得a1，q，a6a1q55.故选C.法二：由等比数列性质知，aa2a4，a28，又aa2a6，a6.故选C.2(必修5 P

4、53练习T4改编)在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()A5 B5C4 D4解析：选C.aa3a72816，a54，又a54，a54.故选C.3(必修5 P61A组T1(2)改编)在正项等比数列an中，a3，S3，则a2 017等于_解析：法一：当公比q1时，S33a13a3，即3成立，q1，当q1时，由a3，S3，得解得q，a16.q0，q1.即a2 017a3.法二：由a3，S3，得解之得或q0，q1.a2 017a3.答案：4(必修5 P68B组T1(1)改编)由正数组成的等比数列an满足a3a832，则log2a1log2a2log2a10_.解析：log2a1log2a2l

5、og2a10log2(a1a10)(a2a9)(a5a6)log2(a3a8)5log222525.答案：255(必修5 P62B组T2改编)等比数列an的前n项之和为Sn，S748，S1460，则S21_.解析：S7，S14S7，S21S14成等比数列，即(S14S7)2S7(S21S14)即(6048)248(S2160)，S2163.答案：63等比数列的基本运算(1)基本量的求解(2015高考全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84(2)待定量的求解等比数列an的前n项之和为Sn3k145n，求k的值与数列an的公比解(1)a

6、13，a1a3a521，33q23q421. 1q2q47.解得q22或q23(舍去) a3a5a7q2(a1a3a5)22142.选B.(2)法一：Sn3k145n，a1S13k19.a2S2S1(3k99)(3k19)80.a3S3S2(3k499)(3k99)400.an是等比数列，aa1a3.即(80)2400(3k19)，解得k1.当k1时，Sn4(15n)a1S116.n2时，anSnSn1165n1，满足n1情况，且5.k1，数列an是公比为5的等比数列法二：当q1时，Snna1，不可能等于3k145n当q1时，由Snqn，与Sn3k145n对比得解得k1，数列an是首项为16，

7、公比为5的等比数列等比数列an的前n项之和为SnABCn，则AB0，且首项为a1ABC，公比为qC.1已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an()A4n B4nC4n1 D4n1解析：选C.(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，故an4n1.2已知S3a210a1，a59，则a1等于()A. B C. D解析：选C.设等比数列an的公比为q，由S3a210a1，得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.3设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k()A4 B5 C6 D7解析：选C.设公比为q，依题意

8、a3a1q24，所以q2，Sk63，因此k6.故选C.等比数列的性质(1)通项的性质(2015高考全国卷)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1 C. D.(2)前n项和的性质设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则 S9S3等于_解析(1)法一： a3a5a4，a3a54(a41)， a44(a41)， a44a440， a42.又 q38， q2， a2a1q2，故选C.法二： a3a54(a41)， a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2， a2a1q，故选C.(2)由等比数列的性质知S3，S6S3，

9、S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.答案(1)C(2)等比数列an的前n项之和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列特别地(S2nSn)2Sn(S3nS2n)1在公比大于1的等比数列an中，a3a772，a2a827，则a12()A96 B64 C72 D48解析：选A.由题意及等比数列的性质知a3a7a2a872，又a2a827，a2，a8是方程x227x720的两个根，或又公比大于1，q68，即q22，a12a2q1032596.2设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40()A150 B200C

10、150或200 D400或50解析：选A.依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030.又S200，因此S2030，S20S1020，S4010204080150.3若等比数列an的前n项和为Sn，且5，则_.解析：设数列an的公比为q，由已知得15,1q25，所以q24，11q411617.答案：17等比数列的判定与证明(2014高考新课标全国卷)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an

11、13an1，得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)注意验证n1的情况(3)根据要求利用整体思想构造等比数列，再求相关的元素问题1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式解：(1)证明：依题意Sn4an3(

12、nN*)，当n1时，a14a13，解得a11.因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)，所以当n2时，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首项为1，公比为的等比数列(2)因为ann1，由bn1anbn(nN*)，得bn1bnn1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11(n2)，当n1时也满足，所以数列bn的通项公式为bn3n11.2已知数列an满足a11，an13an(为常数)且an1是等比数列(1)求的值，并求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项之和为Sn，且bnSnn，求证：.解：(1)a11，an13an，an113(a

13、n)，又an1为等比数列，1，2，当2时，3，则an1是首项为a112，公比为3的等比数列，an123n1，an23n11.(2)证明：Sna1a2an2(3031323n1)n3nn1，bnSnn3n123n1，(1)(1)，0，且aa3a78.则log2a1log2a2log2a9()A8 B9 C10 D11解析：选B. aa3a78.an0.2a258.a52.log2a1log2a2log2a9log2(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5log2(a5)99 log229.3(必修5 P61A组T6改编)已知Sn是等比数列an的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，

14、下列结论正确的是()Aa1，a7，a4成等差数列 Ba1，a7，a4成等比数列Ca1,2a7，a4成等差数列 Da1,2a7，a4成等比数列解析：选A.显然q1时不合题意，依题意得S3S62S9，即(1q3)(1q6)(1q9)1q32q6a1a1q32a1q6a1a42a7，a1，a7，a4成等差数列故选A.二、填空题4(必修5 P53A组T1(4)改编)在等比数列an中，an0，a5a115，a4a26，则a3_.解析：a5a115，a4a26.a1q4a115，a1q3a1q6，且q1.得，即2q25q20，q2或q，当q2时，a11；当q时，a116(舍去)a31224.答案：45(必

15、修5 P68B组T2改编)在等比数列an中，an0，1成等差数列，且a12a22.则数列an的通项公式为_解析：设等比数列an的公比为q，由an0知q0，依题意(1)，即a1a2a1a2a1q1q.又a12a22a12a1q2，由，解得，或(舍)，数列an的通项公式为ann1.答案：ann1三、解答题6(必修5 P69B组T6改编)已知数列an中，a11，a22，an22an13an.(1)求证：an13an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：a11，a22，an22an13an，an23an1an13an(an13an)a23a11.数列an13an是首项为1，公比为1的等

16、比数列(2)由(1)得an13an(1)n，两边同除以3n1()n，则有()1，()2，()n1.(n1)(n1)得()()2()n1()n，an3n(1)n，an的通项公式为an3n(1)n3n(1)n一、选择题 1等比数列an中a13，a424，则a3a4a5()A33 B72 C84 D189导学号03350455解析：选C.在等比数列an中，q38，所以q2，直接计算得a312，a548，故a3a4a584，故选C.2在等比数列an中，若a4，a8是方程x24x30的两个根，则a6的值是()A B C. D3导学号03350456解析：选C.由题意知a4a83，所以aa4a83，解得a

17、6，又a4a84，所以a40，a80，当a6时，aa4a60，所以舍去负值，得a6.故选C.3设等比数列an的前n项和为Sn，若a36，S318，则公比q的值为()A1 BC1或 D1或导学号03350457解析：选C.由a36，S318，得，解得q或q1，经检验知都满足题意故选C.4已知an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和若a2a416，S37，则S4()A15 B31 C63 D.导学号03350458解析：选A.因为数列an中各项均为正数，所以a34，设数列的公比为q，由S37，得S23，即a1(1q)3，又a3a1q24，所以(1q)3，解得q(舍去)或q2，所以a4a3q8，

18、所以S4S3a415.故选A.5已知等比数列an的前n项和为Sn，若S2n4(a1a3a5a2n1)，a1a2a327，则数列an的通项公式是()Aan3n1 Ban23n1Can3n1 Dan3n导学号03350459解析：选C.由a1a2a327，得a27，所以a23，因为S2n4(a1a3a5a2n1)，所以n1时，有S2a1a24a1，得a11，从而公比q3，所以ana1qn13n1.故选C.6设等比数列an的前n项和为Sn，若8a2a50，则下列式子中数值不能确定的是()A. B. C. D.导学号03350460解析：选D.由8a2a50，得8，设数列an的公比为q，则q38，所以

19、q2，所以q24，q2，而的数值不能确定故选D.二、填空题7已知公差不为0的等差数列an满足a1，a3，a9成等比数列，Sn为数列an的前n项和，则_.导学号03350461解析：设公差为d，则(a12d)2a1(a18d)，a1dd2.又d0，a1d，则3.答案：38在数列an中，已知a24，a315，且数列ann是等比数列，则an_.导学号03350462解析：设数列ann的公比为q，则q3，所以ann(a22)3n263n223n1，所以an23n1n.答案：23n1n9若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.导学号033504

20、63解析：因为a10a11a9a122a10a112e5.所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550.答案：50三、解答题10已知数列an满足递推关系式an2an11(n2)，其中a415.(1)求a1，a2，a3；(2)求数列an的通项公式；(3)求数列an的前n项和Sn.导学号03350464解：(1)由an2an11及a415知a42a31，解得a37.同理得a23，a11.(2)由an2an11知an12an12，an12(an11)a

21、n1构成以a112为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1.(3)an2n1，Sna1a2a3an(211)(221)(231)(2n1)(2122232n)nn2n12n.11数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)(1)求数列an的通项an；(2)求数列nan的前n项和Tn.导学号03350465解：(1)an12Sn，Sn1Sn2Sn，3，又S1a11，数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，即Sn3n1(nN*)当n2时，an2Sn123n2(n2)，an(2)Tna12a23a3nan，当n1时，T11；当n2时，Tn14306312n3n2，3Tn3431

22、6322n3n1，得：2Tn242(31323n2)2n3n122n3n11(12n)3n1.Tn3n1(n2)又T1a11也满足上式，Tn3n1(nN*)12已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明Sn(nN*)导学号03350466解：(1)设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4.可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)证明：Sn1n，Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.