Chapter092D实体结构分析.docx

1、Chapter09 2D实体结构分析第9章2D实体结构分析Analysis of 2D Structural Solids很多工程分析的问题可以做适当的简化，简化后的模型计算量会减少，前处理及后处理会跟着简化，也比较容易抓住工程问题的本质。所以一般而言如果可以适当简化，我们都会尽量加以利用。我们知道实际的工程问题都是存在于3D的真实世界的，但是最常用的简化技巧之一是将它简化成2D的问题（另外一个也是很常用的简化技巧是利用其对称性）。什么时候可以简化成2D的问题呢？这是第1节讨论的主题；2D的结构问题可以归纳做3种情况：平面应力问题（plane stress problems）、平面应变问题（p

2、lane strain problems）、及轴对称的问题（axisymmetric problems）；在第1节里我们会对这些名词做一说明。第2节介绍一个典型的2D结构实体元素PLANE42，它可以用来解上述三种2D的问题。第3、4、5节分别用实例来进一步阐述这三种2D的问题，其中第4、5节事实上是针对同一个问题，但是分别model成平面应变及轴对称的问题来解。第6节对ANSYS所提供的2D实体元素做一个浏览，包括结构、热传、流体、电场、及磁场元素。第7节则以一个练习题作为本章的结束。第9.1节 何谓2D结构？When a Structure Modeled as 2D?实际的工程问题都是存

3、在于3D的真实世界中的，什么时候它们可以简化成2D的问题呢？所谓简化成2D的问题是指在处理过程中（包括前处理、解题、及后处理）我们只用到2D的坐标系统（在ANSYS中，永远以X-Y平面来代表这个坐标平面，Z轴称为厚度方向），因为沿着厚度方向只有单一个断面（厚度为0），或是每一个断面都是一样的（意思是几何形状、负载、及结构反应都是一样的）。对结构分析问题而言，2D的问题可以归纳做3种情况：平面应力问题（plane stress problems）、平面应变问题（plane strain problems）、及轴对称的问题（axisymmetric problems）。以下三个小节分别针对这三种情

4、况做一讨论。9.1.1 平面应力问题平面应力问题是指所有应力都发生在同一平面上（假设这个平面为X-Y平面），在Z方向没有任何应力分量，意即 (9.1)在此定义下，虎克定律（Eq. 2.11）简化成 (9.2)注意，Eq. 9.2的前4式表示平面应力问题可以只使用到X-Y坐标系统，第5式则显示Z方向的应变可以由X及Y方向的应力独立计算，这就是我们称之为2D问题的含意。符合Eq. 9.1定义的问题，最通常的例子是一个平面薄板，承受了在同一平面上的力量及边界条件。理论上此薄板的厚度必须是0，Z方向的应力方向才会消失，但是实务上，只要厚度方向没有任何外力及限制而可以依Eq. 9.2第5式自由变形，即可

5、视为平面应力问题。Figure 9-1 Corner BracketFigure 9-1是由ANSYS Tutorials所选出的典型的平面应力的例子（Chapter 2. Structural Tutorial: Static Analysis of a Corner Bracket, Ref. 18）。这是一个托架，厚度为0.5 in，它有两个圆洞，左上角的圆洞被固定着（用螺栓固定、或被焊接在另一物体上），右下角的圆洞上承受了向下的载重（想象一根圆柱形的管子穿过此洞，然后向下施力），我们想要知道这个托架的变形和应力分布。这个问题我们可以model成平面应力的问题，因为厚度方向没有任何外力或

6、限制，所以可以自由变形。我们将在Sec. 9.3再详细讨论如何用ANSYS来分析这个平面应力问题。9.1.2 平面应变问题平面应变问题是指所有应变都发生在同一平面上（假设这个平面为X-Y平面），在Z方向没有任何应变分量，意即 (9.3)在此定义下，虎克定律（Eq. 2.11）简化成 (9.4)注意，Eq. 9.4的前4式表示平面应变问题可以只使用到X-Y坐标系统，第5式则显示Z方向的应力可以由X及Y方向的应变独立计算，这就是我们称之为2D问题的含意。符合Eq. 9.3定义的问题，最通常的例子是一个等断面（假设这个断面在X-Y平面上）而有无限长厚度的结构，承受了在X-Y平面上的力量及边界条件。理

7、论上此结构的厚度必须是无穷长，Z方向的应变方向才会消失，但是实务上，只要厚度方向没有任何变形，即可视为平面应变问题。注意，当Z方向被完全限制变形时，Z方向的应力可以依Eq. 9.4的第5式计算。平面应变问题与平面应力问题的差异在于，平面应变是Z方向被完全限制变形，平面应力是Z方向可以完全自由变形。实务上的情形大都不是这两种极端的情形，而是介于这两者之间的；也就是说，你用3D模型所计算的解通常会介于平面应变模型和平面应力模型之间，换句话说平面应变模型和平面应力模型是理论解的上下限！Figure 9-2是由ANSYS Verification Manual所选出的一个典型的平面应变问题（VM25:

8、 Stresses in a Long Cylinder, Ref. 8），这是一个厚壁圆管，外径b、内径a，座落在X-Z平面上，沿着Y方向被限制住变形（想象两端被夹制住，或是整个管子被埋在钢筋混泥土里）。这个厚壁管是用来承受内部大小p的高压气体，而在制造过程中必须承受角速度 的高速旋转。我们希望了解这一个厚壁圆管的应力行为，包括制造过程中，是否超 出其强度。由于Z方向被完全限制了变形，所以这个问题我们可以model成平面应变的问题。我们将在Sec. 9.4再详细讨论如何用ANSYS来分析这个平面应变问题。Figure 9-2 Long Pipe under Pressure9.1.3 轴对称

9、问题轴对称问题普遍存在于真实世界中，所以比较容易理解。当一个结构的几何形状及负载都对着某一轴形成对称的关系时（此时结构反应也是对该轴形成对称），我们称其为轴对称问题。在ANSYS中处理轴对称问题时，我们采用圆柱坐标系统，并且永远以Y轴为对称轴，所以三个坐标分别是R、Y、 ，其中R是远离对称轴的距离， 是围绕对称轴的旋转角度（遵守右手规则）。注意，在ANSYS中，我们还是以X、Y、Z来表示R、Y、 ，意即X表示R、Z表示 ，这是轴对称问题专用的坐标系统，请勿和Sec. 5.4所讨论的坐标系统混淆。在轴对称问题中，结构的几何形状、负载、及反应都是对着Y轴形成对称，意即每一个 = constant（

10、即Z = constant）的断面应该都有一样的几何形状、负载、及反应，而且是左右对称的，所以当我们在建构分析模型或检视解答时，只要利用到R-Y平面的右半边即可，这就是为什么我们将轴对称问题视为2D的原因。注意，处理轴对称问题时，你必须将R-Y平面上的每一个entity视为环绕Y轴一周的entity，例如一个2D的元素必须是为一个环元素，一个集中载重P必须是为平均分布在圆周上而总重为P的载重。最后强调一点，轴对称也影射着在 方向没有任何变形（若有变形就破坏了轴对称了），意即 (9.5)但是类似Eq. 9.4第5式，轴对称问题的 方向通常有应力存在，称为环应力（hoop stress），而且常常

11、是我们最关心的应力方向。Figure 9-2的问题事实上也可以model成轴对称的问题，因为其结构形状及负载都是以圆管中心轴为对称的。我们将在Sec. 9.5再详细讨论如何用ANSYS来分析这个轴对称问题。第9.2节 PLANE42：2D实体结构元素PLANE42: 2D Structural Solid Element9.2.1 PLANE42元素描述Figure 9-3 PLANE42 ElementPLANE42（Figure 9-3）是最基本的2D结构实体元素，它有四个边，所以又称为四边形（quadrilateral）元素。它在四个顶点各有一个节点：I, J, K, L，每个节点有两个

12、自由度UX, UY。PLANE42可以退化成三角形（triangular）元素，如Figure 9-3右图所示，但是这种线性的结构三角形元素通常是要尽量避免的，因为它的收敛性通常很差，意即必须使用非常细小的元素才能达到要求的精度；SOLID45退化成四面体时也有类似行为。PLANE42基本和SOLID45是完全一样的，只不过前者是2D元素，而后者是3D元素。PLANE42可以用来model前一节所提到的3种2D问题：平面应力问题、平面应变问题、及轴对称问题（利用KEYOPT(3)来选择）。9.2.1 PLANE42输入数据Figure 9-4是PLANE42的输入数据，看起来和SOLID45是

13、非常类似的。KEYOPT(3)是用来指定2D问题的类别（平面应力、平面应变、或轴对称问题）。KEYOPT(3) = 0或3时是平面应力问题，两者的差异在于当KEYOPT(3) = 0时，ANSYS假设厚度是1个单位厚，当KEYOPT(3) = 3时，你可以经由real constant输入厚度。KEYOPT(3) = 1时是轴对称问题，意即围绕对称轴一周。KEYOPT(3) = 2时是平面应变问题，厚度假设是1个单位厚。当作用一集中载重时（譬如使用F命令），厚度方向的尺度观念变成非常重要。举个例子来说，假设作用了100 N在某一节点上，对KEYOPT(3) = 0而言，此100 N是分布在厚度

14、一个单位上；对KEYOPT(3) = 1而言，此100 N是分布在整个圆周上；对KEYOPT(3) = 2而言，此100 N也是分布在厚度一个单位上；而对KEYOPT(3) = 3而言，此100 N是分布在你所输入的厚度上。对分布在表面的压力而言，就比较不会混淆，因为分布在表面的压力永远以单位面积上的力（譬如N/m2）来表示。Figure 9-4 PLANE42 Input Summary第9.3节 实例：平面应力问题Example: Plane Stress Case9.3.1 问题描述虽然我们在Sec. 9.1.1大致描述了Figure 9-1的问题，但是我们还是再更完整地描述一次这个例子

15、。Figure 9-1（Chapter 2. Structural Tutorial: Static Analysis of a Corner Bracket, Ref. 18）是一个托架，材料是钢铁，厚度为0.5 in，它有两个圆洞，左上角的圆洞被固定着（用螺栓固定、或被焊接在另一物体上），右下角的圆洞上承受了向下130 lb的载重（想象一根圆柱形的管子穿过此洞，然后向下施力），我们想要知道这个托架的变形和应力分布。这个问题我们可以model成平面应力的问题，因为厚度方向没有任何外力或限制，所以可以自由变形。做为 一个练习，假设130 lb的载重是不均匀的分布在圆洞的下半部，从50 psi增

16、加到500 psi又从500 psi减至50 psi（总力是130 lb）。9.3.2 ANSYS ProcedureProcedure 9-1 Static Analysis of a Corner Bracket0102030405060708091011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253FINISH/CLEAR/TITLE, Corner Bracket (in-lbf-s)/PREP7 ET, 1, PLANE82, 3 R, 1, 0.5 MP, EX

17、, 1, 30E6 MP, NUXY, 1, 0.27 RECTNG, 0, 6, -1, 1 RECTNG, 4, 6, -3, -1 PCIRC, 1 WPOFFS, 5, -3 PCIRC, 1 AADD, ALLWPOFFS, -5, 3 PCIRC, 0.4 WPOFFS, 5, -3 PCIRC, 0.4 ASBA, 5, ALL LFILLT, 8, 17, 0.4 AL, 12, 13, 14 AADD, ALL APLOT /PNUM, LINE, ON /PNUM, KP, ON LPLOT /PNUM, DEFAULT SMRTSIZE, 5 AMESH, ALL EPL

18、OT FINISH/SOLU DK, 7, ALL, 0, 1 DK, 9, ALL, 0, 1 DK, 10, ALL, 0, 1 DK, 12, ALL, 0, 1 SFL, 10, PRES, 50, 500 SFL, 11, PRES, 500, 50 /PBC, U, ON /PSF, PRES, NORM, 2 APLOT SOLVE FINISH/POST1 PLDISP, 2 PLNSOL, S, EQV第6行（ET）是使用PLANE82，KEYOPT(3) = 3，也就是告诉ANSYS这是一个平面应力问题，厚度将以real constant输入。注意，PLANE82与PLAN

19、E42几乎是完全一样的，唯一的差异在于PLANE82是二阶元素（PLANE42是一阶元素）。这个例子采用PLANE82而非PLANE42的原因是我们打算用free mesh， free mesh常常会产生一些三角形的元素，而三角形的PLANE42是我们要尽量避免的（Sec. 9.2.1）。第7行（R）是以real constant输入托架厚度。第11行至第25行是建构实体模型。上一章的实例（Sec. 8.2）基本上是以bottom-up的方式去建构实体模型，这里我们则来练习top-down的方式。第11、12行（RECTNG）分别建立两个矩形（构成L形托架）；第13、15行（PCIRC）分别建

20、立两个圆形，代表托架半圆形的两端；第16行（AADD）将此四个areas联集起来，至此实体模型应该如Figure 9-5所示。第19、21行（PCIRC）建立了两个圆，代表两个圆洞；第22行（ASBA）将刚才联集的area减去这两个圆洞。第23行（LFILLT）是在建立一个填角（fillet）的line，而第24行（AL）才是建立这个填角。第25行（AADD）将刚才的area和这个填角联集起来。至此完成了实体模型的建构。第29行（LPLOT）将此实体模型以线的方式画出来，如Figure 9-6所示。第31行（SMRTSIZE）指定mesh的粗细，第32行（AMESH）去切割网格（内定是free

21、 mesh），第33行将网格画出来，如Figure 9-7所示。 Figure 9-5Figure 9-6Figure 9-7第38至43行是指定边界条件：左上角的圆洞四周围被固定着，右下角的圆洞下半部承受了不均匀的分布载重。做为练习，我们将把这些边界条件指定在实体模型上（ANSYS在解题前会自动移转至分析模型）。首先我们先来固定左上角的圆洞。如果你仔细检查Figure 9-6的左上角圆洞，你会发现圆周上只有四个keypoints（分别在圆的四分点上）。第38至41行（DK）是固定住左上角圆洞的四个keypoints，但是除了这四个keypoints相对的节点外，我们还希望其他沿着圆周的节点也

22、被固定，这就是DK命令第5个参数的用途：延伸此边界条件至其他节点。接下来我们来处理右下角圆洞上的载重。如果你仔细检查Figure 9-6的右下角圆洞，你会发现圆周是由四个lines构成。第42、43行是分别指定压力给圆洞下半布的两个lines，由左至右压力从50 psi变化到500 psi，又从500 psi到50 psi。第47行（SOLVE）进行分析工作。第52行（PLDISP）把变畏途出来，如右Figure 9-8所示，变形是蛮合理的，最大变位可。假设这个托架的材料是低碳钢，破坏是属于延展性的，所以第53行（PLNSOL）印出等效应力，如Figure 9-9所示，此应力可以和降伏应力做比

23、较，用来判断该点是否破坏（参阅Eq. 4.7）。最大应力出现于左上角圆洞的四周，约3000 psi。当然也要注意stress singularity的问题。如果你要检视网格够不够细或粗，可以用PLESOL命令来看其应力连续性足不足够。Figure 9-8Figure 9-9第9.4节 实例：平面应变问题Example: Plane Strain Case9.4.1 问题描述我们在Sec. 9.1.2大致描述了Figure 9-2的问题，这里我们还是再更完整地描述一次这个例子。Figure 9-2（VM25: Stresses in a Long Cylinder, Ref. 8）是一个厚壁圆管

24、，材料是钢铁，其断面外径b = 8 in、内径a = 4 in，沿着长度方向被完全限制住变形（想象两端被夹制住，或是整个管子被埋在混拟土里）。这个厚壁管是用来承受内部p = 30,000 psi的高压气体，而在制造过程中必须承受角速度 = 1000 rad/s（相当于约10,000 rpm）的高速旋转。我们希望了解这一个厚壁圆管的应力行为，包括在制造过程中及使用阶段。9.4.2 ANSYS ProcedureProcedure 9-2 Long Pipe under Pressure Modeled as Plane Strain01020304050607080910111213141516

25、171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576FINISH/CLEAR/TITLE, STRESSES IN A LONG CYLINDER/UNITS, BIN/PREP7 ET, 1, PLANE42, 2 MP, EX, 1, 30E6 MP, DENS, 1, .00073 MP, NUXY, 1, 0.3 CSYS, 1 K, 1, 4, 0 K, 2, 8, 0 K, 3, 4, 45 K,

26、 4, 8, 45 A, 3, 1, 2, 4 ESIZE, .25 MSHKEY, 1 MSHAPE, 0, 2D AMESH, 1 NROTAT, ALL FINISH/SOLU NSEL, S, LOC, Y, 0 NSEL, A, LOC, Y, 45 D, ALL, UY, 0 NSEL, S, LOC, X, 4 SF, ALL, PRES, 30000 ALLSEL /PBC, U, ON /PSF, PRES, NORM, 2 EPLOT SOLVE NSEL, S, LOC, X, 4 SF, ALL, PRES, 0 ALLSEL OMEGA, 1000 SOLVE FIN

27、ISH/POST1 SET, 1 PLDISP, 2 RSYS, 1 PLNSOL, S, X PLNSOL, S, Y PATH, R-DIR, 2 PPATH, 1, 4, 0 PPATH, 2, 8, 0 PDEF, R-STRESS, S, X PDEF, H-STRESS, S, Y /GRID, 1 /AXLAB, Y, STRESS /TITLE, STRESS UNDER PRESSURE PLPATH, R-STRESS, H-STRESS SET, 2 PLDISP, 2 PLNSOL, S, X PLNSOL, S, Y PDEF, R-STRESS, S, X PDEF

28、, H-STRESS, S, Y /TITLE, STRESS UNDER ROTATION PLPATH, R-STRESS, H-STRESS由于长度方向被完全限制了变形，所以这个问题我们可以model成平面应变的问题。我们可以在X-Y平面上建立如Figure 9-2上图的断面（Figure 9-2上的Z轴改为Y轴并且改为向上），但是在此断面上还有一些对称条件，我们打算来利用这些对称条件，所以我们的分析模型会像Figure 9-10的样子。注意，Figure 9-10是取一个断面的八分之一。事实上，通过圆心的任何平面都是此断面的对称面，但是2D的问题我们至多只能取两个对称面，所以这个分析模

29、型取多大都可以，在此我们取45度的扇形断面。注意，扇形断面的两条直线代表两个对称面。这个模型所使用的长度单位是in（英吋），重量单位是lb（英磅）。此外，我们选用圆管中心为原点。Figure 9-10第8行（ET）将PLANE42元素建立在ET Table中，KEYOPT(3)输入2是指定平面应变元素。第9、10、11行（MP）建立MP Table，其中第10行是输入质量密度（mass density），钢铁是0.00073 slug/in3。需要输入质量密度是因为我们会使用到OMEGA命令，ANSYS必须利用质量密度来计算离心力。第13行（CSYS）指定结构的坐标系统是使用极坐标系统（亦即X

30、-Y代表R- ）。第14、15、16、17（K）行定义四个keypoints作为扇形的四个顶点，然后第18行（A）利用这四个顶点围成一个area。第20行（ESIZE）指定元素的大小，第21行（MSHKEY）指定使用mapped mesh，第22行（MSHAPE）行指定使用四边形的元素。第23行（AMESH）才是真正执行网格切割的工作。第24行（NROTAT）是将节点坐标系统（Nodal CS）旋转至平行目前的Global CS，也就是节点坐标系统的X轴平形于R轴、Y轴平形于 轴。我们将节点坐标系统旋转的原因是因为等一下我们要指定压力于内壁所有节点上面，而节点上的载重是参照Nodal CS的。进入/SOLU模块（第27行）后，第29、30、31行是指定扇形的两条直线是对称面；注意，第31行可以用DSYM, SYMM, Y, 1命令取代。第33、34、35是作用30000 psi的压力在圆管内壁上。第33行（NSEL）选出圆管内壁的所有节点，第34行（SF）将30000 psi的压力作用在内壁上。第39行（EPLOT）将网格图画出来，如Fig