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1、届钻石卡学员I阶段学习计划数学一2013届钻石卡学员I阶段学习计划(数学一)考研产品部 公共课教研中心 数学教研室第一轮复习：基础知识自我复习高等数学计划对应教材:高等数学上册 同济大学数学系编 高等教育出版社 第六版第一周学习任务本周中我们应当学习第一单元:1. 函数的概念及表示方法;2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念;4. 基本初等函数的性质及其图形;5. 极限及左右极限的概念,极限存在与左右极限之间的关系;6. 极限的性质及四则运算法则.第二单元:1. 极限存在的两个准则,会利用其求极限;两个重要极限求极限的方法;2. 无穷小量、无

2、穷大量的概念,无穷小量的比较方法,利用等价无穷小求极限;3. 函数连续性的概念,左、右连续的概念,判断函数间断点的类型;4. 连续函数的性质和初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),会用这些性质.单元学习内容学习知识点习题章节练习题目备注第一单元第一章第1节函数的概念;函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、分段函数和隐函数;初等函数具体概念和形式,函数关系的建立习题114(3) (6)(8),5(3),9(2),15(4),17本节有两部分内容考研不要求,不必学习:1. “二、映射”;2. 本节最后双曲函数和反双曲函数第一章第2节数列

3、极限的定义;数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题121(2) (5)(8)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义;2. 对于用数列极限的定义证明,看懂即可第一章第3节函数极限的概念;函数的左极限、右极限与极限的存在性;函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质,函数极限与数列极限的关系等)习题132,41. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义;2. 对于用函数极限的定义证明,看懂即可第一章第4节无穷小与无穷大的定义;无穷小与无穷大之间的关系习题144,6大家要搞清楚无穷大与无界的关系第一章第5节极限的运算法则(6

4、个定理以及一些推论)习题151(5)(11)(13),3,5有理分式函数当的极限要记住结论,以后直接使用第二单元第一章第6节函数极限存在的两个准则(夹逼定理,单调有界数列必有极限);两个重要极限(注意极限成立的条件,熟悉等价表达式);利用函数极限求数列极限习题161(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)1. 利用单调有界原理推导第二个重要极限可以不用细看;2. “柯西极限存在准则”考研不要求第一章第7节无穷小阶的概念(同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小)及其应用;一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法习题171,2,3(1),4(3)(4)例1和例2中出现的

5、所有等价无穷小都要求熟记第一章第8节函数的连续性,函数的间断点的定义与分类(第一类间断点与第二类间断点);判断函数的连续性和间断点的类型习题183(4),4,5熟记:1. 连续性的定义;2. 间断的定义与间断点的分类第一章第9节连续函数的和、差、积、商的连续性;反函数与复合函数的连续性;初等函数的连续性习题193(4)(6)(7),4(4)(6),6第一章第10节有界性与最大值最小值定理;零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)习题1101,3考研不要求的内容:“三、一致连续性”第一章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题一3(2),9(

6、2)(4)(6),10,13第二周学习任务本周中我们应当学习第三单元:1. 导数和微分的概念、关系,导数的几何意义、物理意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,函数的可导性与连续性之间的关系;2. 导数和微分的四则运算法则,复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式,一阶微分形式的不变性;3. 高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数;4. 会求以下函数的导数:分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数.第四单元:1. 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理,会用这四个定理证明;2. 会用洛必达法则求未定式的极限

7、.单元学习内容学习知识点习题章节练习题目备注第三单元第2章第1节导数的定义、几何意义、物理意义;单侧与双侧可导的关系;可导与连续之间的关系;函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质;按照定义求导及其适用的情形,利用导数定义求极限;会求平面曲线的切线方程和法线方程习题212,6,7,8,13,16(2),17第2章第2节导数的四则运算公式(和、差、积、商);反函数的求导公式;复合函数的求导法则;基本初等函数的导数公式;分段函数的求导习题222(9),3(2),4,7(8), 8(5),11(6)(9)考研不要求的内容:“例17 双曲函数与反双曲函数的导数”第2章第3节高阶导数;n阶导

8、数的求法(归纳法,莱布尼兹公式)习题231(3), 3(2),4(1),8,10(2) ,例3例4例5的结论要求记住,以后可直接利用第2章第4节隐函数的求导方法,对数求导法;由参数方程确定的函数的求导方法习题241(1),2,3(4),4(1),5(2),10考研不要求的内容: “三、相关变化率”第2章第5节函数微分的定义,几何意义;基本初等函数的微分公式;微分运算法则,微分形式不变性习题252,6考研不要求的内容:“四、微分在近似计算中的应用”第2章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题二1,3,6(1),7,11,13,14第四单元第3章第1节费马定理、罗尔定

9、理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义;构造辅助函数习题316,8,11(1)(2), 12,15第3章第2节洛必达法则及其应用习题321(10)(13)(15),4第3章第3节泰勒中值定理;麦克劳林展开式习题335,7,10(2) (3)不用仔细看的内容:泰勒中值定理的证明第三周学习任务本周中我们应当学习第五单元:1. 函数极值的概念,用导数判断函数的单调性,用导数求函数的极值,会求函数的最大值和最小值;2. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点,会求函数的水平、铅直和斜渐近线;3. 曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径;4. 原函数、不定积分的概念;5. 不定积分

10、的基本公式,不定积分的性质,不定积分的换元积分法.第六单元:1. 不定积分分部积分法;2. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.单元学习内容学习知识点习题章节练习题目备注第五单元第3章第4节函数的单调区间,极值点;函数的凹凸区间,拐点习题343(6),5(4),6,9(5) ,10(3),121. 总结求单调区间的步骤;2. 总结求拐点的步骤第3章第5节函数极值的存在性:一个必要条件,两个充分条件;最大值最小值问题;函数类的最值问题和应用类的最值问题习题351(8) ,4(3),10,111. 总结求极值与最值的步骤;2. 例5例6不用看;3. 例7需重点搞懂第3章第6节利用导数

11、作函数图形(一般出选择题):函数的间断点、和的零点和不存在的点,渐近线;由各个区间内和的符号确定图形的升降性、凹凸性,极值点、拐点习题361,4第3章第7节弧微分;曲率的定义,曲率的计算公式;曲率圆、曲率半径习题3751. 记住“弧微分公式”和“曲率计算公式”;2. 考研不要求的内容:“四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线”第3章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17第4章第1节原函数和不定积分的概念与基本性质(之间的关系,求不定积分与求微分或求导数的关系);基本的积分公式;原函数的存在性、几何意义和

12、力学意义习题411(1),2(1)(6)(8)(13)(17)(19)(21) (25),5熟记“基本积分表”,公式113第4章第2节第一类换元积分法(凑微分法);第二类换元积分法习题422(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16) (17) (19)(21)(30)(32)(34)(36)(37)1. 注意:204页小字部分不用看;2. 熟记P205公式1624第六单元第4章第3节分部积分法习题432,5,6,9,14,17,18,19,22,24第4章第4节有理函数积分法,可化为有理函数的积分习题442,4,8,20,23注意:仅“例4”不在考研范围之内第4章总复习题总结归纳本章的基

13、本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题四1,2,5,9,10,12,14,16,21,23,33,35,38第四周学习任务本周中我们应当学习第六单元:3. 定积分的概念和性质,定积分中值定理;4. 积分上限的函数的概念和它的导数,牛顿-莱布尼茨公式.第七单元:1. 定积分的换元积分法与分部积分法;2. 反常积分的概念与计算;3. 用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等,函数的平均值单元学习内容学习知识点习题章节练习题目备注第六单元第5章第1节定积分的定义与性质(7个性质);函数可积的两个充分条件习题51

14、2(1),3(2)(3),11,12(2),13(5)考研不要求的内容:“三、定积分的近似计算”第5章第2节积分上限函数及其导数;牛顿莱布尼兹公式习题525(2),6(5)(8)(11)(12),9(2),10,12,13可以不看的内容:1. “一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系”;2. “例5”第七单元第5章第3节定积分的换元法;定积分的分部积分法习题531(2)(4)(6)(10)(12)(19)(21)(24)(26) ,5,6,7(11) 以后可以直接使用的结论:例5,例6,例7,例12第5章第4节无穷限的反常积分;无界函数的反常积分习题541(4)(8)(10),2第5章

15、总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题五1(1) (2) (4) ,3(2),4(2),10(7) (9)(10),11,12,13,14第6章第1节元素法第6章第2节求平面图形的面积(直角坐标情形、极坐标情形);旋转体的体积及侧面积;平行截面面积为已知的立体的体积;平面曲线的弧长习题621(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1)(3),16,19,21能够自己推导各个计算公式第6章第3节用定积分求功、水压力、引力习题635,11第6章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题六2,3,5第五周学习任务本周中我们应当学习

16、第八单元:1. 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;2. 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法;3. 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程的解法;4. 可降阶微分方程:的解法;5. 线性微分方程解的性质及解的结构;6. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法;7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;8. 会解欧拉方程第九单元:1. 二元函数的概念与几何意义;2. 二元函数的极限与连续的概念,有界闭区域上连续函数的性质;3. 多元函数偏导数和全微分的概念,全微分存在的必要条件和充分条件,全微分形式的不变性,会求全微分;4

17、. 多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法;5. 隐函数存在定理,计算多元隐函数的偏导数.单元学习内容学习知识点习题章节练习题目备注第八单元第7章第1节微分方程的基本概念:微分方程,微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解习题711(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2)第7章第2节可分离变量的微分方程的概念及其解法习题721(1)(3)(4)(7),2(3),4,6可以不用看的内容:例2例3例4第7章第3节一阶齐次微分方程的形式及其解法习题731(1)(4),2(1) ,3考研不要求的内容:“二、可化为齐次的方程”第7章第4节一阶线性微分方程的形式和解法;伯努利方程的形式和解法习题741

18、(2)(3)(7)(10),2(1)(4),3,4,7(3),8(5)可以不用看的内容:例2第7章第5节用降阶法解下列微分方程:,和习题751(1)(4)(7),2(2),3可以不用看的内容:例2例4例6第7章第6节n阶线性微分方程的形式;线性微分方程的解的结构:齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质习题761(1)(3)(6),4(2),可以不用看的内容:1.“一、二阶线性微分方程举例”;2.“三、常数变易法”第7章第7节特征方程;特征方程的根与微分方程通解中的对应项;微分方程的通解习题771(1)(4)(5),2(2) (3)可以不用看的内容:例4例5第7章第8节二阶常系数非齐次线

19、性微分方程,其中自由项为:多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积习题781(1)(3)(7) (9),2(2) ,6可以不用看的内容:例5第7章第9节欧拉方程的形式和通解习题796第7章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题七1(1)(2)(3)(4),2,3(1)(2)(7), 4(4),7第九单元第9章第1节二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理习题912,5(1)(2),6(1)(4),7(1),8考研不要求的内容:1.“一、平面点集 n维空间”;2.本节最后“性质3(一致连续性定理)”第9章第2节偏导数的概念,高阶偏导数

20、的求解习题921(4)(5)(6),4,6(2),8,9(2) 第9章第3节全微分的定义,可微分的必要条件和充分条件习题931(1) (4) ,2,3,51.可不看的内容:“定理2”的证明过程;2.考研不要求的内容:“二、全微分在近似计算中的应用”第9章第4节多元复合函数求导法则(共3个定理);全导数;全微分形式不变性习题942,4,6,8(1), 10,12(1) 第9章第5节一个方程的情形(定理1,定理2);方程组的情形(定理3)习题951,4,6,8,10(1)“二、方程组的情形”的学习:“隐函数存在定理3”不必记忆,仅要求看懂P87第3行至第7行的推导过程,会用该推导方法求解方程组情形

21、的隐函数的导数第六周学习任务本周中我们应当学习第九单元:6. 会求空间曲线的切线和法平面方程,会求曲面的切平面和法线方程;7. 方向导数与梯度的概念和计算;8. 多元函数极值和条件极值的概念,二元函数极值存在的必要条件、充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值.第十单元:1. 二重积分的概念和性质,二重积分的中值定理;2. 会利用直角坐标、极坐标计算二重积分.第十一单元:1. 常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,级数的基本性质及收敛的必要条件;2. 几何级数与级数的收敛与发散的条件;3. 正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根

22、值判别法;4. 交错级数和莱布尼茨判别法;5. 任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系;6. 函数项级数的收敛域及和函数的概念;7. 幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;8. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和;9. 函数展开为泰勒级数的充分必要条件;10. , , ,及的麦克劳林(Maclaurin)展开式,会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.单元学习内容学习知识点习题章节练习题目备注第九单元第9章第6节空间曲线的切线与法平面,曲线在一点处的切向量;曲面的切平面与

23、法线,曲面在一点处的法向量习题963,6,8考研不要求的内容:“一、一元向量值函数及其导数”第9章第7节方向导数的概念,方向余弦;方向导数与可微的关系;梯度的概念与计算公式习题972,5,8考研不要求的内容:例6以后的内容(例6需要学习)第9章第8节多元函数极值、极值点的概念;多元函数极值的必要条件、充分条件;条件极值,拉格朗日乘数法习题981,2,6,9,11考研不要求的内容:例9第9章第9节二元函数的二阶泰勒公式习题991考研不要求的内容:“二、极值充分条件的证明”第9章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题九1,2,5,6(2),8,9,11,15,18第十

24、单元第10章第1节二重积分的定义、几何意义二重积分的性质(6个);二重积分的中值定理习题1012,4(1)(2)(3), 5(1)(4)第10章第2节利用直角坐标计算二重积分;利用极坐标计算二重积分习题1021(1)(4),2(1)(3),4(1)(3),6(1)(2)(6),11(1)(3),12(1)(3),13(1)(3),14(1)(3)考研不要求的内容:“三、二重积分的换元法”第十一单元第12章第1节常数项级数的概念;收敛级数的基本性质;等比级数(几何级数)敛散性的判别;级数收敛的必要条件习题1212(3)(4),3(1)(2) ,4(1) (2)(5)考研不要求的内容:“三、柯西审

25、敛原理”第12章第2节正项级数及其审敛法(正项级数收敛的充要条件,比较审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式,比值审敛法、根值审敛法,极限审敛法);p级数敛散性的判别;交错级数及其审敛法(莱布尼茨定理);绝对收敛与条件收敛习题1221(1)(4)(5) ,2(1)(4) ,3(1) (3) ,4(1) (3)(5) ,5(2)(3) (5)考研不要求的内容:“绝对收敛级数的性质”第12章第3节函数项级数的概念;幂级数及其收敛性(阿贝尔定理及其推论,幂级数的收敛半径);幂级数的运算(幂级数的和函数的性质)习题1231(1) (2) (3) (6) ,2(1) (2) 第12章第4节泰勒级数、麦克劳

26、林级数;把函数展开成幂级数的步骤;、的麦克劳林展开式;用间接法把函数展开成幂级数习题1242(1)(2)(4) ,4,5,6熟记以下公式,以后直接使用:公式(7)公式(12)第七周学习任务本周中我们应当学习第十二单元:1. 傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式;2. 空间直角坐标系,向量的概念及其表示;3. 向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),两个向量垂直、平行的条件;4. 单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达式,用坐标表达式进行向量运算;5. 平面方程和直线方程及

27、其求法;6. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会判断平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等);7. 会求点到直线以及点到平面的距离;8. 根据二次曲面的方程能判断出它的图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9. 会求空间曲线在坐标平面上的投影;10. 三重积分的概念和性质;11. 会利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分;12. 会用重积分计算曲面的面积、质心、形心、转动惯量、功.单元学习内容学习知识点习题章节练习题目备注第十二单元第12章第7节三角级数 三角函数系的正交性;函数展开成傅里叶级数(收敛定理,狄利克雷充分条件);正弦级数和余弦级数习题1271(1)(2) ,2(1) (3) ,6第12章第8节周期为2l的周期函数的傅里叶级数习题1281(1),2(1) 考研不要求的内容:“二、傅里叶级数的复数形式”第12章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题十二