高等代数数学实验.docx

1、高等代数数学实验高等代数课程实验报告实验1班级2011级1班学号2011040123姓名李丛文实验题目矩阵的基本运算实验目的1. 掌握 Matlab软件的矩阵赋值方法；2. 掌握 Matlab 软件的矩阵加法、数乘、转置和乘法运算；3. 掌握 Matlab 软件的矩阵幂运算及逆运算；4. 掌握 Matlab 软件的矩阵元素群运算；5. 通过 Matlab 软件进一步理解和认识矩阵的运算规则。实验内容(包括分析过程、方法、和代码，结果)1. 利用函数RAND和函数ROUND构造一个5*5的随机正整数矩阵A和B，验证以下等式是否成立：（1） AB=BA;(2) ( A+B)(A-B)=A2-B2;

2、 (3) (AB)T=BTAT 解：在MATLAB软件生成以下矩阵：P=RAND(5，5) % 创建5*5阶元素为从0到1的均匀分布的随机数矩阵A=ROUND(P) %对矩阵P中所有元素进行四舍五入运算显示为：A= 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0从复上述操作，得BB= 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0（1）输入A*Bans = 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 2 3 1 1 1 2 1 1 0 1 0 1 1输入B*Aans = 1 1 1 1

3、0 2 0 2 3 1 2 2 3 1 1 0 0 1 1 0 1 1 2 1 1所以AB与BA不等（2）输入（A+B）*(A-B)ans = 2 0 1 0 -1 1 -1 0 1 1 3 2 3 -2 0 0 -2 0 2 -1 1 1 3 -1 0输入A2-B2ans = 2 0 2 1 1 0 0 -1 -1 0 2 1 2 0 0 1 -1 1 2 0 0 1 1 -1 0所以不成立。(3)输入(A*B)ans = 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 0 2 1 3 1 1 2 0 1 1 1 输入A*Bans = 1 2 2 0 1 1 0 2 0 1 1 2

4、3 1 2 1 3 1 1 1 0 1 1 0 1所以不成立。2. 已知向量a=(1 2 3 4),b=(7 0 1 0),请计算它们的内积。要求：（1） 用矩阵相乘命令计算；（2）用矩阵元素群运算的方法计算。解：（1）输入a=1,2,3,4 ;b=7,0,1,0;a*bans = 10(2) 输入c=a.*b c=7,0,1,0输入a*cans = 103. 已知X【5 3 1；1 -3 -2；-5 2 1】=【-8 3 0；-5 9 0；-2 15 0】，用求逆矩阵和矩阵右除两种方法求矩阵X。解：(1)输入A=【5,3,1;1,-3,-2;-5,2 ,1】; B=【-8,3,0;-5,9,

5、0;-2,15,0】; X=B*A-1X = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.00007.0000 8.0000 9.0000(2)输入X=B/AX = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.00004. 已知BA-B=A,其中B=【1 -2 0；2 1 0；0 0 2】，用求逆矩阵和矩阵左除两种方法求矩阵A。解：(1)输入B=【1，-2,0；2，1,0；0,0,2】；5. 已知A=【1 2 3 4 5；2 3 4 5 1；3 4 5 1 2； 4 5 1 2 3；5 1 2

6、 3 4】，求A5,A-1. 解：输入A=【1,2,3,4,5；2,3,4,5,1；3,4,5,1,2；4,5,1,2,3；5,1,2,3,4】;A5ans = Columns 1 through 2 151500 151375 151375 151875 151875 152375 152375 152250 152250 151500 Columns 3 through 4 151875 152375 152375 152250 152250 151500 151500 151375 151375 151875Column 5 152250 151500 151375 151875 152

7、375输入A-1ans = Columns 1 through 3 -0.1867 0.0133 0.0133 0.0133 0.0133 0.0133 0.0133 0.0133 0.2133 0.0133 0.2133 -0.1867 0.2133 -0.1867 0.0133 Columns 4 through 5 0.0133 0.2133 0.2133 -0.1867 -0.1867 0.0133 0.0133 0.0133 0.0133 0.0133实验结果分析或者实验总结和体会一.笔记；1.在运算符号前加“.”，其含义即为矩阵元素的群运算。Eg. C=A.*B2. 矩阵右除 eg

8、. P=B/A3. 矩阵左除 eg. Q=AB 4. 矩阵同行元素以逗号或空格分割 eg.A=9,3,2;6,5,6;6,6,0 行与行之间必须用分号或回车分隔 eg.A=9 3 2;6 5 6;6 6 0 二.心得与体会 通过这次实验，我学会了用MATLAB来生成矩阵以及矩阵的基本运算法则，也见识了用matlab生成矩阵的简单与必要，深刻体会到矩阵的运算的简便。在这次实验中，我学会了用matlab的命令生成矩阵，以及进行一些简单的矩阵运算。 实验2实验题目行列式与方程组求解实验目的1，掌握matlab命令求解行列式2，熟练用matlab求解矩阵的秩与矩阵的基本变换3，熟练用matlab求解满

9、秩线性方程组的解的各种方法4，熟练用matlab使用符号变量的应用实验内容(包括分析过程、方法、和代码，结果)1. 利用函数randn和函数round构造一个6*6的随机整数矩阵A，验证矩阵A行列式满足下列性质：（1） B=AT,验证B=A;（2） 把矩阵A的第2行和第5行进行对调后的矩阵B，验证B=-A;（3） 把矩阵A的第3列加到第1列后的矩阵为B，验证B=A。解：（1）输入A=round(randn(6,6)A = Columns 1 through 5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 -1 1 -1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 0 1 1 0 -1 0 -1 0 -1

10、-2 Column 6 1 -1 0 0 0 -1输入B=AB= Columns 1 through 5 0 0 -1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 -1 -1 1 0 0 -1 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 -1 0 0 0 Column 6 0 -1 0 -1 -2-1(2)a=A(2,:) b=A(5,:)c=A(2,:)=aB=c(5,:)=b验证即可(3)a=A(:,3)b=A(:,1)c=a+bB=A(:,1)=c验证即可2. 构造5阶方阵A，验证公式：AA*=A*A=AI,其中A*为矩阵A的伴随矩阵，I为同阶单位矩阵。解：输入：for i=1:5 for j=1:5

11、 T=A; T(i,:)=; T(:,j)=; AA(j,i)=(-1)(i+j)*det(T); end end输入I=【1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0;0,0,0,1,0;0,0,0,0,1】A*AAAA*AA*I3.求解非齐次线性方程组（-23X1-13X2+14X3+14X4-7X5=-104;-2X1-2X2+X3+6X4-14X5=-114;-4X1-5X2-9X3+2X4-9X5=-212;-4X1-7X2+X3+0X4+0X5=-56;9X1-X2+X3-9X4+10X5=120)解A=-23,-13,14,14,-7;-2,-2,1,6,-14;-

12、4,-5,-9,2,-9;-4,-7,1,0,0;9,-1,1,-9,10A =-23 -13 14 14 -7 -2 -2 1 6 -14 -4 -5 -9 2 -9 -4 -7 1 0 0 9 -1 1 -9 10b=-104,-114,-212,-56,120b = -104 -114 -212 -56 120 x=inv(A)*b4. 求下列矩阵的逆：（1）（-10 16 20 5 -5；6 -17 -12 -1 26；11 5 13 7 -11；22 -20 -14 6 -1；4 -5 -11 -3 -9）（2）（5 3 1 -7 -10；2 -18 -5 3 15；-6 0 3 2

13、 -11；-1 -7 0 0 0；12 -10 -10 1 10）解：(1)A=-10,16,20,5,-5;6,-17,-12,-1,26;11,5,13,7,-11;22 -20,-14,6,-1;4,-5,-11,-3,-9A = -10 16 20 5 -5 6 -17 -12 -1 26 11 5 13 7 -11 22 -20 -14 6 -1 4 -5 -11 -3 -9inv(A)ans = 1.0e+004 * 0.8908 0.8394 0.3727 -0.2842 1.5061 2.9041 2.7365 1.2150 -0.9265 4.9100 -2.0948 -1.

14、9739 -0.8764 0.6683 -3.5417 1.6579 1.5622 0.6936 -0.5289 2.8030 0.7902 0.7446 0.3306 -0.2521 1.3360(2)A=5,3,1,-7,-10;2,-18,-5,3,15;-6,0,3,2,-11;-1,-7,0,0 0;12,-10,-10,1,10A = 5 3 1 -7 -10 2 -18 -5 3 15 -6 0 3 2 -11 -1 -7 0 0 0 12 -10 -10 1 10inv(A)ans =1.0e+015 * -0.4193 -0.7402 -0.4535 1.4491 0.192

15、1 0.0599 0.1057 0.0648 -0.2070 -0.0274 -0.5990 -1.0574 -0.6478 2.0701 0.2744 -0.3594 -0.6344 -0.3887 1.2421 0.1647 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.00005.求下了含符号变量的行列式，并要求把结果因式分解。（1）（1-a a 0 0 0;-1 1-a a 0 0;0 -1 1-a a 0;0 0 -11-a a;0 0 0 -1 1-a） (2)(a b b b;a b a a;a a b a;b b b a) (3)(1 1 1 1;a b

16、c d;a2 b2 c2 d2;a4 b4 c4 d4)解：(1)clear，clcsyms aA=1-a,a,0,0,0;-1,1-a,a,0,0;0,-1,1-a,a,0;0,0,-1,1-a,a;0,0,0,-1,1-aA = 1-a, a, 0, 0, 0 -1, 1-a, a, 0, 0 0, -1, 1-a, a, 0 0, 0, -1, 1-a, a 0, 0, 0, -1, 1-aD=det(A) D=1-a+a2-a3+a4-a5f=factor(D) f=-(a-1)*(1+a+a2)*(1-a+a2)(2) clear,clc syms a b A=a,b,b,b;a,b

17、,a,a;a,a,b,a;b,b,b,aA = a, b, b, b a, b, a, a a, a, b, a b, b, b, a D=det(A) D =-a4+4*b*a3-6*b2*a2+4*a*b3-b4 f=factor(D) f =-(a-b)4(3)clear,clc syms a b c dA=1,1,1,1;a,b,c,d;a2,b2,c2,d2;a4,b4,c4,d4A = 1, 1, 1, 1 a, b, c, d a2, b2, c2, d2 a4, b4, c4, d4D=det(A)D=b*c2*d4-b*d2*c4-b2*c*d4+b2*d*c4+b4*c*d

18、2-b4*d*c2-a*c2*d4+a*d2*c4+a*b2*d4-a*b2*c4-a*b4*d2+a*b4*c2+a2*c*d4-a2*d*c4-a2*b*d4+a2*b*c4+a2*b4*d-a2*b4*c-a4*c*d2+a4*d*c2+a4*b*d2-a4*b*c2-a4*b2*d+a4*b2*cf=factor(D)f =-(d-c)*(b-c)*(b-d)*(-c+a)*(a-d)*(a-b)*(a+d+c+b)实验结果分析或者实验总结和体会1笔记算法：A-1。下面分别给出求逆矩阵的其它方法。（1）Matlab 软件定义了矩阵的左除运算和右除运算，给矩阵运算带来了很大的方便。从公式

19、A1A = I 出发，等式两边同时右除矩阵A，得“ A1 = I / A”，从而求得矩阵A 的逆阵；若从公式AA1 = I 出发，等式两边同时左除矩阵A，得“ A1 = A I ”，同样可以求得矩阵A 的逆阵。需要注意的是，左除和右除不仅是矩阵的左右位置不同，其运算符号也是不同的。（2）用笔来计算一个具体n 阶方阵A 的逆阵时，往往采用初等行变换法，即：是把n 阶矩阵A和n 阶单位矩阵I 并排放在一起，然后对n2n 矩阵(A | I )做初等行变换，当其变为最简行阶梯矩阵时，如果该矩阵的前n 列为单位矩阵I ，则该矩阵的后n 列就是矩阵A 的逆矩阵A1；如果该矩阵的前n 列不是单位矩阵I ，则

20、矩阵A不可逆。（3）根据AA* = A*A = A I ，可以得到求逆矩阵公式：AA A*1 = ，其中A*为矩阵A的伴随矩阵。2心得与体会 这次实验主要是是对行列式与线性方程组的联系进行讲解,解释了行列式与方程组之间的关系，为我们解决方程组的新解法，为解决线性方程提供了更简洁的计算方法。为我们的学习提供了极大地帮助。实验3实验题目向量组的线性相关性及方程组的通解实验目的1掌握matlab软件分析向量组线性相关的方法；2 掌握matlab软件求解线性方程组通解的各种方法；3通过matlab软件进一步理解和认识齐次线性方程组解空间的概念实验内容(包括分析过程、方法、和代码，结果)1、求非齐次线性

21、方程组的通解A=2 4 -1 4 16;-3 -6 2 -6 -23;3 6 -4 6 19;1 2 5 2 19b=-2;7;-23;43R,s=rref(A,b) %将增广矩阵的行最简形矩阵赋给Rm,n=size(A) x0=zeros(n,1) %将特解x0初始化为n维零向量；r=length(s)x0(s,:)=R(1:r,end) %将矩阵R的最后一列按基准元素的位置给特解x0赋值null(A,r)2.将矩阵化为最简行阶梯形矩阵。程序运行结果A=7 1 -1 10 1;4 8 -2 4 3;12 1 -1 -1 5;rref(A)3. 求解线性方程组程序结果如下：B=1 3 -2 4

22、 1 7;2 6 0 5 2 5;4 11 8 0 5 3;1 3 2 1 1 -2rref(B)B = 1 3 -2 4 1 7 2 6 0 5 2 5 4 11 8 0 5 3 1 3 2 1 1 -2ans = 1.0000 0 0 -9.5000 4.0000 35.5000 0 1.0000 0 4.0000 -1.0000 -11.0000 0 0 1.0000 -0.7500 0 -2.2500 0 0 0 0 0 0所以原方程组等价于方程组 故方程组的通解为： ，其中 4. 解方程。 解： 求解符号行列式的方法，编写M文件如下la01.m clear all 清除各种变量sym

23、s x 定义x为符号变量A=3 2 1 1;3 2 2-x2 1;5 1 3 2;7-x2 1 3 2 给矩阵A赋值D=det(A) 计算矩阵A的行列式Df=factor(D) 对行列式D进行因式分解X=solve(D) 求解方程“D0”的解在matlab命令窗口中输入： la01.m运行结果为： A = 3, 2, 1, 1 3, 2, 2-x2, 1 5, 1, 3, 2 7-x2, 1, 3, 2 D =-6+9*x2-3*x4f =-3*(x-1)*(x+1)*(x2-2)X = -1 1 2(1/2) -2(1/2) 实验结果分析或者实验总结和体会一笔记1.length(s) 计算向

24、量s 的长度，即向量s 的维数。2.end 矩阵的最大下标，即：最后一行或最后一列。3.null(A,r) 计算齐次线性方程组Ax0 的基础解系4.x0=Ab 求非齐次线性方程组Axb 的一个特解x05.fprintf 按指定格式写文件，和C 语言功能类似。6.find(s) 计算向量s 中非零元素的下标7.subs(A,k,n) 将A 中的所有符号变量k 用数值n 来替代二心得与体会 通过这次实验我对向量组的相关性及方程组的通解的问题有了更深刻的认识与理解，对向量组线性相关的方法，解线性方程组都有极大地帮助，对我们进一步理解和认识齐次线性方程组解空间的概念。对方程组问题的认识有更深的认识,对

25、我们解决方程问题有极大地帮助。综合实验实验题目综合实验：实验目的1、表14.3 给出了平面坐标系中六个点的坐标。 表 14.3 六点数据表x012345y-7500840134413440实验内容(包括分析过程、方法、和代码，结果)（1）请过这六个点作一个五次多项式函数p5 (x) = a0 + a1x + a2x + a3x + a4x + a5x ，并求当x = 1时的函数值 ( ) 5 p 1 。用 MATLAB 绘制多项式函数 5p (x)曲线、已知点及插值点 (-1,)。 （2）请根据这六个点，拟合一个三次多项式函数2 3p3 (x) = a0 + a1x + a2x + a3x 。并用MATLAB 绘制多项式函数3p (x)曲线及已知点。解：（1）根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入四次多项式函数，可以得到如下线性方程组： 实验结果分析或者实验总结和体会