数学实验考试.docx

1、数学实验考试玉溪师范学院2013-2014学年上学期数学实验期末考试数学实验报告姓名： 陈维瑾 学号： 2012011148 班级： 2012级1班 专业： 数学与应用数学 完成日期：2014年7月2 成绩评定： 考试要求： 1、数学实验考试要求大家完成一个完整的数学实验报告，单一性（比如数据分析）的实验报告应包含实验目的、实验内容、实验过程及运行结果，结论分析等内容。 2、内容要多样性，所举例子不能偏离实验目的。希望每部分能多举例子，这样更能充实实验内容，所举例子尽量体现数学的应用性，比如，数学分析可以分析自己的成绩等。 3、请在Matlab2009R以上版本上完成实验报告。 4、实验内容应

2、紧扣教学内容，可按符号运算、数值计算、图形设计、数据分析和程序设计等分类做实验报告。相关内容可参看实验3-17，其中实验11、14以及实验18-23可自行选择，但不能照搬课本上的例子。如数据分析的实验内容请选择自己到目前为止的成绩，并对成绩基于Matlab软件平台进行分析。5、实验报告需要上交纸质文件及上交电子文档，请在第十九周周五下午5：00之前上交，纸质文档双面打印即可，注意排版美观大方，体现数学美目录实验1 Matlab软件基础与矩阵基本运算 1实验2 代数基本运算 7实验3 函数及其图形显示 11实验6 定积分的定义与计算 13实验8 常微分方程和人口模型 15实验14 随机模型 23

3、实验1 Matlab软件基础与矩阵基本运算 运算符数学意义运算符数学意义加法运算点出运算减法运算乘幂运算乘法运算左除运算点乘运算右除运算1.2.1 数学运算符号例1.1 要计算解：命令窗口输入 4+5*(8-2)-52/2ans = 21.5000例1.2要计算4+5解：命令窗口输入 4+5*pians = 19.7080例1.3 求在时的值解：在命令窗口输入 x=pi/4; y=cos(x)-log(x)+exp(x)+sqrt(4*x)+asin(x)y = 5.81771.3.1 矩阵输入例 1.4解：在命令窗口输入 A=6,7,8;6,5,4;3,5,8A = 6 7 8 6 5 4

4、3 5 8例 1.5 输入一个4阶单位矩阵、一个5阶正态分布的随机矩阵解：在命令窗口输入 B=eye(4)B = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 randn(5)ans = 0.5377 -1.3077 -1.3499 -0.2050 0.6715 1.8339 -0.4336 3.0349 -0.1241 -1.2075 -2.2588 0.3426 0.7254 1.4897 0.7172 0.8622 3.5784 -0.0631 1.4090 1.6302 0.3188 2.7694 0.7147 1.4172 0.48891.3.3 矩阵基本运算(1)

5、 矩阵加法：; (2) 矩阵乘法：; (3) 数与矩阵的乘法：;（4） 矩阵的转置：; 例1.6, ,c=4计算A+B, AB, cA, A, det(A), inv(A), V,D=eig(A)解：在命令窗口输入 A=2,4;5,3;B=3,5;6,4;c=4; A+Bans = 5 9 11 7 A*Bans = 30 26 33 37 c*Aans = 8 16 20 12 Aans = 2 5 4 3 det(A)ans = -14 inv(A)ans = -0.2143 0.2857 0.3571 -0.1429 V,D=eig(A)V = -0.7071 -0.6247 0.707

6、1 -0.7809D = -2 0 0 71.4.1 关系和逻辑运算1. 关系运算符表1 给出了常用的关系操作符表1 关系运算关系操作符说明关系操作符说明相等大于或等于不相等小于大于小于或等于 表1例 1.7 判断，是否正确，解：在命令窗口输入 sqrt(2576)=25ans = 1 2*5*3=2*(5*3)ans = 1 sqrt(24)=2*sqrt(6)ans = 0表2 MATLAB逻辑操作符逻辑操作符|说明与或非 表2例1.8 (54)&(3=2)ans = 11.4.2 M文件例1.9 用M函数文件绘制当时，在上的图像解：打开M文件编辑调试器窗口，然后输入function y=

7、ex109(beta)x=-3*pi:0.1:3*pi;y=cos(beta*x).*x.3plot(x,y)将该M函数文件保存为“ex109.m”在Matlab命令窗口输入以下命令： ex109(3)例1.10 下面的程序可用来计算与解：打开M文件编辑调试器窗口，然后输入a=0;b=1;for k=1:10a=a+k;b=b*k;enda,b将该M函数文件保存为“ex110.m”在Matlab命令窗口输入以下命令： ex110ans = 55 3628800例1.11 设求解：打开M文件编辑调试器窗口，然后输入function f=ex111(x)if x=-7)&(x ex111(-10)

8、ans = -0.5000 ex111(1)ans = 1 ex111(4)ans = 1.9601实验2 代数基本运算一、实验目的(1) 学会用MATLAB软件计算整数的整除性的相关性。(2) 学会用MATLAB软件对多项式的相关问题。(3) 解决一些在高等几何二、实验内容判断线性方程是否有解，并求解。二、实验内容（1） 整除的带余除法、最小公倍数、因式分解、因式分解素数分布不定方程求解等。（2） 多项式的带余除法最大公因式最小公倍数因式分解求根有理分式的部分分式分解。（3） 线性方程组解的判定和求解。 例2.1求2002与2014的最大公因数g，并求整数c，d，使得ac+bd=g。解：在命

9、令窗口中输入 g,c,d=gcd(2002,2014)g = 2c = -168d = 167例2.2 求2002与2014的最小公倍数。解：在命令窗口中输入 g=lcm(2002,2014)g = 2016014例2.3 将252785分解为质因数的乘积。解：在命令窗口中输入 f=factor(252785)f = 5 13 3889例2.4 求的根程序：ex204.m文件clear;p=1 -2/3 3 -4/3 4 -1/3 4;rotofx=roots(p)执行结果如下： ex204rotofx = 0.8558 + 0.9967i 0.8558 - 0.9967i 0.0359 +

10、1.3999i 0.0359 - 1.3999i -0.5584 + 0.9327i -0.5584 - 0.9327i所以所求的根为0.8558 + 0.9967i，0.8558 - 0.9967i，0.0359 + 1.3999i，0.0359 - 1.3999i，-0.5584 + 0.9327i，-0.5584 - 0.9327i。例2.5 判断下列方程组是否有解，如果有，利用MATLAB命令求解： 解（1）记此线性方程组的系数矩阵为A，右端项为b，在命令窗口中键入如下命令： A=2 1 1;3 2 5;2 4 5; b=7 22 25; ra=rank(A)ra = 3 rb=ran

11、k(A,b)rb = 3回执结果这表明矩阵A的秩等于他的增广矩阵的秩，所以此纤芯方程组有唯一解，下面对方程组进行求解，在命令窗口中键入下列命令： x=inv(A)*b或 x=Abx = 1.0000 2.0000 3.0000X即是方程的解（2）记此线性方程组的系数矩阵为A，右端项为b，在命令窗口中键入如下命令： A=2 3 -1 4;3 -2 4 -3;6 1 -2 3;1 -2 1 -4; b=3 2 -2 2; ra=rank(A)ra = 4 rb=rank(A,b)rb = 4回执结果这表明矩阵A的秩等于他的增广矩阵的秩，所以此纤芯方程组有唯一解，下面对方程组进行求解，在命令窗口中键

12、入下列命令： x=inv(A)*b或 x=Abx = 0.3254 4.0238 0.5476 -2.2937X即是方程的解实验3 函数及其图形显示一、实验目的(4) 学会用MATLAB软件作平面函数在各种坐标线下的图形。(5) 学会用MATLAB软件作空间函数在各种坐标线下的图形。(6) 解决一些在高等几何中的一元函数与二元函数的图像问题。二、实验内容（1） 实验准备1、 平面空间曲线的表示形式对于平面曲线，常见的有三种表示形式，直角坐标方程参数方程：极坐标方程：表示。2、 MATLAB主要用plot，fplot，plot3三种命令绘制不同的曲线。plot(x,y)作出函数图.注意：用plo

13、t命令得到的函数图形使用直线段连接相邻节点的折线图；polar（s，t）绘制极坐标；plot3（x，y，z）绘制参数方程给出的空间曲线；fplot（fun），a,b,c,d用于绘制函数fun所在的平面区域。例3.1 做分段函数 的图像解：程序：ex301.m文件x1=-5:1/50:0;y1=sin(x1);x2=0:1/50:5;y2=log(x2);plot(x1,y1,x2,y2),gtext(y=sinx),gtext(y=ln x)xlabel(x);ylabel(y);执行结果如图 ex301例 3.2 ：作空间曲面 ，的图形解：程序：ex302.m文件x=-8:1:8;y=x;X

14、,Y=meshgrid(x,y);R=sqrt(X.2+Y.2)+eps;图 3.1Z=tan(R)./R;mesh(X,Y,Z) xlabel(x);ylabel(y); zlabel(z);grid onbox on ex302再画出等高线图 contour(X,Y,Z,30)图 3.2分别如图3.1、3.2例3.3 做出单叶双曲面：的图形，其参数方程为x=3usinv ; y=2ucosv ; z=tanu ;解：程序：ex303.m文件ezmesh(3*sec(u)*sin(v),2*sec(u)*cos(v),tan(u),0,2*pi,0,2*pi)执行结果如图 ex303实验6定

15、积分的定义与计算一、 实验目的(一) 加深定积分概念的理解。(二) 学会用MATLAB计算定积分（数值近似计算和符号演算）。二、 实验内容(一) 用数值计算和图形展示相结合的方法研究函数的积分和随分割细度的变化趋势。(二) 用数值方法和符号演算法计算定积分。三、 实验准备(一) 定积分的定义。(二) 定积分的几何意。(三) 定积分存在的两个充分条件。例6.1 求积分解：程序：ex601.m文件clear all;f=inline(exp(2*x)*cos(x).3);a=0;b=1;n=30;x=;x(1)=a;for k=1:9 x(n+1)=b;s=0; for i=1:n-1 x(i+1

16、)=(i+rand()*(b-a)/n; end for i=1:n dxi=x(i+1)-x(i); c=x(i)+dxi*rand(); s=s+f(c)*dxi; end fprintf(n=% g,s=% gn,n,s); n=n*3;end运行结果为n= 30,s= 1.57241n= 90,s= 1.57064n= 270,s= 1.57072n= 810,s= 1.5707n= 2430,s= 1.5707n= 7290,s= 1.5707n= 21870,s= 1.5707n= 65610,s= 1.5707n= 196830,s= 1.5707重复运行上述程序得到结果如下表n

17、第一次第二次第三次第四次301.572411.565351.572621.57323901.570641.570411.57141.569142701.570721.570691.570511.57076218701.57071.57071.57071.5707656101.57071.57071.57071.57071968301.57071.57071.57071.5707从上表中更可以发现每次得到的数据是不同的，但差异不大，从当n=21870时开始，每次运行结果都是1.5707，则可以推断该定积分是存在的，其值约为1.5707.例6.2 设求，并从图形上来观察随分割点的增多，积分和是否越

18、来越接近定积分的值。解：首先编写一个M文件djfdf.m如下，功能是实现定积分定义的全部过程：function s=djfdf(f,a,b,n)close;h=(b-a)/n;s=0;for i=1:n x(1)=a+(i-1)*h;x(2)=a+i*h; x(3)=x(2);x(4)=x(1); t=(x(3)+x(4)/2;y(3)=feval(f,t); y(4)=y(3);s=s+h*y(3); fill(x,y,0 0 1*i/n);hold on;endfplot(f,a,b);hold off下面是yest.m文件，用来调用difdf.m文件，动态演示定积分。clear all;

19、clcfor n=1:20; f=inline(cos(x); djfdf(f,0,2*pi,n) pause(0.5)end运行yest.m程序修改pause（0）降低停留时间，再分别取n值为100和600个分割点，得到下图所示 (3)(2)(1)图中阴影部分为积分和，图（1）分割点为20边界比较粗糙，图（2）分割点为100,边界已经比较光滑，图（3）分割点为600此时边界已经接近为光滑的曲线，与y=sin x基本重叠。这说明此时用积分和近似定积分产生的误差已经非常小。实验8 常微分方程和人口模型一、 实验目的(一) 了解常微分方程的基本概念。(二) 了解常微分方程的解析解。(三) 了解常微

20、分方程的数值解。(四) 学习掌握MATLAB软件有关的命令。二、 实验内容 常微分方程的解析解。例8.1 求下列方程的解，先求解析解，再求数值解，并作解函数的曲线图进行比较（1）解：求解析式 y=dsolve(Dy=-2*y+x2+1,y(0)=1,x)y=exp(-2*x)/4-x/2+x2/2+3/4（2）求数值解，先编写M函数文件dyex801.mfunction dy=dyex801(x,y)dy=-2*y+x2+1; (3)将解析式和数值解画在同一坐标面上，以比较数值解的误差，编写M文件ex301.m:x1,y1=ode45(dyex801,0,1,1);x=0:0.1:1;y=ex

21、p(-2*x)/4-x/2+x.2/2+3/4;plot(x,y,x1,y1,ro);legend(解析解,数值解);title(微分方程解析解与数值解对比图);xlabel(x);ylabel(y); ex801单位：万人例8.2 综合题（一）、 表1是我国大陆人口5次普查的统计资料，亲对有关数学模型的参数进行拟合，分析结果，并与表2加以对比，最后对我国2010年的人口给出预报，并于第6次人口普查统计加以对比 。（二）、 利用表二算出每一年的增长率，并利用该数据1. 计算均值标准差极差偏差峰度，并画出直方图；2. 检验分布的正态性；3. 若检验符合分布，估计正态分布的参数并检验参数。年分19

22、53表1 我国人口5次普查表1964198219902000总人数5943569458100818113368126583年份总人口表2 我国人口抽样调查推算表年份总人口年份总人口单位：万人年份总人口19495416719626729519759242019881110261950551961963691721976937171989112704195156300196470499197794974199011433319525748219657253819789625919911158231953587961966745421979975421992117171195460266196776

23、368198098705199311851719556146519687853419811000721994119850195662828196980671198210165419951211211957646531970829921983103008199612238919586599419718522919841043571997123626195967207197287177198510585119981248101960662071973892111986107507199912590919616585919749085919871093002000126583解：（一）（1）计算19

24、50年到2000年的人口五年增长率 x=55196 61465 66207 72538 82992 92420 98705 105851 114333 121121 126583;for i=1:10r(i)=(x(i+1)-x(i)/x(i);endrr = 0.1136 0.0771 0.0956 0.1441 0.1136 0.0680 0.0724 0.0801 0.0594 0.0451 mean(r)ans = 0.0869 std(r)ans = 0.0298这50年时间内，我国人口五年增长率的平均值为0.0869，标准差为0.0298（2）1950-2000年我国五年人口增长岁

25、人口变化的变化图像 x=55196 61465 66207 72538 82992 92420 98705 105851 114333 121121 126583;for i=1:10r(i)=(x(i+1)-x(i)/x(i);end x1=x(2:11); plot(x1,r)得到如图同样的，上图可以看出1950年至2000年我国五年人口增长率随着人口增加而呈现出线性下降的趋势。（3）对参数进行拟合定义参数r和的函数文件，文件名称为xt.m。为了减小数字将数据单位改为百万人。function f=xt(g)t=0:10;x=55.196 61.465 66.207 72.538 82.99

26、2 92.420 98.705 105.851 114.333 121.121 126.583;f=x-g(1)./(1+(g(1)./55.196-1).*exp(-g(2).*t);编写执行文件ex802.mg0=150,0.2;g=lsqnonlin(xt,g0)t=0:10;y=1950+5.*tf=g(1)./(1+(g(1)./55.196-1).*exp(-g(2).*t)g = 195.0166 0.1572y = Columns 1 through 10 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 Column 11 2

27、000f = 55.1960 61.6232 68.4325 75.5680 82.9599 90.5269 98.1793 105.8235 113.3661 120.7187 127.8018结果与表1对比，发现，相差不大。（4）模型检验首先在文件xt.m中修改数据如下function f=xt(g)t=0:9;x=55.196 61.465 66.207 72.538 82.992 92.420 98.705 105.851 114.333 121.121;f=x-g(1)./(1+(g(1)./55.196-1).*exp(-g(2).*t);在文件ex802.m中修改数据如下g0=150,0.2;g=lsqnonlin(xt,g0);xm=