离散数学第五版清华大学出版社第1章习题解答.docx

1、离散数学第五版清华大学出版社第1章习题解答离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答11 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。分析 首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的 判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。

2、（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然，但是”、“不仅，而且”、“一面，一面”、“和”、“与”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。12 （1）p: 2是无理数，p为真命题。（2）p:5能被2整除，p为假命题。（6）pq。

3、其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而pq为假命题。（7）pq，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命题，q为真命题，因而pq为假命题。（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。（12）pq，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q为假命题，pq为真命题。（13）pq，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于

4、q是假命题，所以，pq为假命题。（14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。（15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。分析 命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。13 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为（1）pq（2）pq（3）pq（4）pq（5）pq（6）pq（7）pq（8）pq以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。分析 本题要求读者记住pq及pq的真值情况。pq为假当且仅当p为真,q为假,而pq为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q

5、都是真命题，在4个蕴含式中，只有（2）pr，其中，p同（1），r：明天为3号。在这里，当p为真时，r一定为假，pr为假，当p为假时，无论r为真还是为假，pr为真。215 （1）pq，其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。（2）pq，其中，p：小王聪明，q：小王用功（3）pq，其中，p：天气冷，q：老王来了（4）pq，其中，p：他吃饭，q：他看电视（5）pq，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（6）pq，其中，p，q的含义同（5）（7）pq，其中，p，q的含义同（5）（8）pq，其中，p：经一事，q：长一智分析 1在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说

6、明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭， q：他一边看电视。2 后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。pq所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p，就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则p”“没有q，就没有p”等都表达了q是p的必要条件，因而都符号化为pq或pq的蕴含式。在（5）

7、中，q是p的必要条件，因而符号化为pq，而在（6）（7）中，p成了q的必要条件，因而符号化为qp。在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。16 （1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。分析 1 （1）中公式含3个命题变项，因而它应该有23=8个赋值：000，3001，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式p(qr)的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。2 在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有24=16个赋值：0000，0001，1111。现在考查0011是它的成假赋值。1.7 （1）

8、，（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。pqrp(pqr)p q r0 0 0 0 10 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1等值演算法p(pqr)p(ppr) （蕴含等值式）(pp)pr （结合律）1qr （排中律）1 （

9、零律）4 由最后一步可知，（1）为重言式。 （2）用等值演算法判（2）为重言式。 (pp)p (p)p （蕴含等值式） pp （等幂律） pp （蕴含等值式） 1 （排中律） （3）用等值演算法判（3）为矛盾式 (pq)q (pq)q （蕴含等值式） pqq （德摩根律） p(qq) （结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 由最后一步可知，（3）为矛盾式。 （5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。 真值表法p q p pqqp(pq)(qp)0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。 主析取范式

10、法 (pq)(qp) (pq)(qp)5(pq)(qp)(pq)qppq(p1)(1q)(p(qq)(pp)q)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)m0m1m2.在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。其余各式的类型，请读者自己验证。分析 1 真值表法判断公式的类别是万能。公式A为重言式当且仅当A的o真值表的最后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真

11、值表的行数较多。2o 用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A为重言式当且仅当A与1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A为非重言式的可满足式了。例如，对（6）用等值演算判断它的类型。(pp)q0q （矛盾律）(pq)(q0) （等价等值式）(0q)(q0) （蕴含等值式）(1q)q （同一律）1q （零律）6q （同一律）到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言

12、式的可满足式。用主析取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n（n为A中所含命题变项的个数）个极小项；A为矛盾式当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项，但不是完全的。当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。用主合取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项，此时记A的主合取范式为1；A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含2n个极大项（n为A中含的命题变项的个数）；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。1

13、.8 （1）从左边开始演算(pq)(pq) p(qq)（分配律）p1 （排中律）p.（同一律）（2）从右边开始演算p(qr)p(qr) （蕴含等值式）(pq)(pr)（分配律）(pq)(pr).（蕴含等值式）（3）从左边开始演算(pq)7(pq)(qp)(pq)(pq)(pq)(p)(qq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq).请读者填上每步所用的基本等值式。本题也可以从右边开始演算(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(qp)(qq)(1pq)(qp)1(pq)(qp)(pq).读者填上每步所用的基本的等值式。1.9 （1）(pq)p)(pq)p

14、 （蕴含等值式）(pq)p) （德摩根律） pqp （结合律、交换律）(pp)q （矛盾式）0. （零律）8由最后一步可知该公式为矛盾式。（2）(pq)(qp)(pq)(pq)p) （蕴含等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。（3）(pq)(qp)(pq)(qp) （蕴含等值式）(pq)(qp) （蕴含等值式）(pq)qp （德摩根律）qp （吸收律）pq. （交换律）由最后一步容易观察到，11为该公式成假赋值，因而它不是重言式，又00，01，10为成真赋值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可满足式。1.10 题中给出的F，G，H，R都是2元真值函数

15、。给出的5个联结词集都是全功能集，可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。（1）设A=(pq)，易知A是,中公式且与F等值，即FA.（2）设B=pq，易知B是,中公式且与F等值，即FB.（3）设C=(pq)，易知C是,中公式，且FC.（4）设D=(p(qq)(p(qq)，易知D为中公式，且FD.（5）设E=(pp)q，易知E为中公式，且FE.分析 1 只要找到一个联结词集中与F等值的公式，经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F等值的公式。例如，已知A=(pq)是,公式，且FA。进行以下演算，就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。对 A进行等值

16、演算，消去联结词，用，取代，得9A=(pq)(pq)pq记为B.则B为,中公式，且FB。再对A进行等值演算，消去，用，取代，得A=(pq)(pq)记为C.则C为,中公式，且FC。再对B进行演算，消去，用取代，在演算中，注意，对于任意的公式A，有A(AA)AA.B=pq p(qq)(p(qq)(p(qq)(p(qq)(p(qq)记为D.则D为中公式，且FD.再对C进行演算，消去,用取代，在演算中注意，对于任意的公式AA(AA)AA.C=(pq)pq(pp)q记为E.则E为中公式，且FE.2 开始找一个与某真值函数等值的公式的方法，除观察法外，就是根据10该真值函数的真值表，求它的主析取范式，而后

17、进行等值演算即可。例如，由G的真值表可知G的主析取范式为m1m3，于是Gm1m3(pq)(pq)(pp)qq.由于公式q不带联结词，所以，它应该为任何联结词集中的合式公式。3 在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。例如，取A=qq.(,中公式)B=qq.(,中公式)C=qq.(,中公式)D=(qq)(qq).(中公式)E=(qq)(qq).(中公式)则GABCDE,对于同一个真值函数G，找到与它等值的形式各异的公式。对于H和R，请读者自己去完成。1.11 （1）对C是否为矛盾式进行讨论。当C不是矛盾式时，ACBC，则一定有AB，这是因为，此时，ACA,BCB，所以，有AACBB必

18、有AB而当C不是矛盾式时，ACBC，不一定有AB，举反例如下：设A,B,C均为含命题变项p,q的公式，A，B，C及AC,BC的真值表如表1.4所示，从表1.4可看出，ACBC，但AB。表1.411p q A B C AVC BVC0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 01 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1(2) 对C是否为重言式进行讨论:若C为重言式,则ACA,CB,于是AACBCB.因而有AB当 C 不是重言式时,请读者举反例说明, ACBC时, 不一定有AB.(3) 若AB,则AB.证明如下:AA (双重否定律)B(AB)B(双重否定律)所以AB1.12 (1)

19、 设(1)中公式为A.A(p(qr)(pqr)A(p(qr)(pqr)Ap(qr)(pqr)A(pq)(qr)(pqr)A(pq(rr)(pqr)r)(pqr)(pqr)(pqr)Am0m1m712于是,公式A的主析取范式为m0m1m2m7易知,A的主合取范式为M3M4M5M6A的成真赋值为000, 001, 010, 111A的成假赋值为011,100,101,110(2)设(2)中公式为BB(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)qpqp (吸收律)(pq)p(qp)(pq)p(pq)(pq)m0m2m3所以,B的主析取范式为m0m2m3.B的主合取范式为M

20、1B的成真赋值为00,10,11.B的成假赋值为01.(3)设(3)中公式为C.C(pq)qr(pq)qr13 p(qq)rp0r0.所以,C的主析取范式为0.C的主合取范式为M0M1M2M3C的成假赋值为00,01,10,11C无成真赋值,C为矛盾式.分析 1设公式 A 中含n(n1)个命题变项,且 A 的主析取范式中含l(0l2n)个极小项,则A的主合邓范式中含2nl个极大项,而且极大项的角标分别为0到2n1这2n个十进制数中未在A的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.在(1)中,n=3,A的主析取范式中含4个极小项,所以,A的主合取范式中必含234=4个极大项,它们的角标为0到7中

21、未在主析取范式的极小项角标中出现过的3,4,5,6. 这样,只要知道A的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在(2),(3)中情况类似.2 A的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为A的成真赋值.在(1)中,由于主析取范式中的极小项角标分别为 0,1,2,7,它们的二进制表示分别为000,001,010,111,所以,A 的成真赋值为以上各值.类似地,A 的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A的成假赋值.1.13 (1) 首先求p(qr)的主析取范式.p(qr)p(qr)pqr).由于演算过程较长,可以分别先求出由p,q,r派生的极小项.注意,本公式中含3个命题变项,所以,极小

22、项长度为3.14pp(qq)(rr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m0m1m2m3p(pp)q(rr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m0m1m4m5r(pp)(qq)r(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m1m31m5m7p(qr)m0m1m2m3m4m5m7类似地,可求出q(pr)主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知,(p(qr)(q(pr).(2) pq(pq)pq(p(qq)(pp)q)(pq)(pq)(pp)(pq)(pq)(pq)(pp)15m0m1m2.pq(pq)pqm0.由于pq与pq的主析取范式不同.因而它们不等值,即pq pq.1

23、.14 设p:A输入;设q:B输入;设r:C输入;由题的条件,容易写出FA,FB,FC的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的中的公式即可.表1.5 p qrFFFABC 0 00 0 0 0 0 01 00 1 0 10 0 1 0 0 11 0 1 0 1 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 101 0 0 1 11 1 0 0FA(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pq)(rr)(pq)(rr)(pq)(pq) p16(pq)(pq)(pq)(pq)(pp)FB(pqr)(pqr)(pq)(rr)(pq)(pq)(pq) p

24、q) p(qq).FC (ppr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pq)(pq)(rr)分析 在将公式化成或中公式时,应分以下几步:(1)先将公式化成全功能集,中的公式.(2) 使用A(AA)AA,17或A(AA)AA.使用双重否定律AB(AB)(AB)(AB)(AB)或AB(AB)(AB)(AB)(AB)使用德摩根律AB(AB)(AB)AB(AA)(BB)或AB(AB)(AB)AB(AA)(BB)115 设p：矿样为铁；q：矿样为铜；r：矿样为锡.设F1(甲全对)(乙对一半)(丙全错)，(pq)(pr)(pr)(pr)(pqprpr)(pqprpr)000.F2(甲全对)

25、(乙全错)(丙对一半)(pq)(pr)(pr)(pr)18(pqprpr)(pqprpr)000F3(甲对一半)(乙全对)(丙全错)(pq)(pq)(pr)(pr)(pqprpr(pqprpr)(pqr)0pqr.F4(甲对一半)(乙全错)(丙全对)(pq)(pq)(pr)(pr)(pqrpr(pqprpr)0(pqr) pqr.F5(甲会错)(乙对一半)(丙全对)(pq)(pr)(pr)(pr)(pqprpr(pqprpr)000.F6(甲全错)(乙全对)(丙对一半)(pq)(pr)(pr)(pr)19(pqprpr(pqprpr)000.设F(一人全对)(一人对一半)(一人全错)则F为真命题，并且FF1F2F3F4F5F6(pqr)(pqr)1.但，矿样不可能既是铜又是锡，于是q,r中必有假命题，所以pqr0,因而必有pqr1.于是，必有P为真，q与r为假，即矿样为铁。1.16 令p：今天