第1章引言题解1 用定义验证下列各集合是凸集 1 SX1.docx

1、第1章引言题解1 用定义验证下列各集合是凸集 1 SX1第1章引 言 题 解1. 用定义验证下列各集合是凸集： （1） S=（x1,x2）|x1+2x21,x1-x21； （2） S=（x1,x2）|x2|x1|； （3） S=（x1,x2）|x21+x2210.证（1） 对集合S中任意两点x（1）=x（1）1x（1）2,x（2）=x（2）1x（2）2及每个数0，1，有x（1）+（1-）x（2）=x（1）1+（1-）x（2）1x（1）2+（1-）x（2）2.由题设，有x（1）1+（1-）x（2）1+2x（1）2+（1-）x（2）2=（x（1）1+2x（1）2）+（1-）（x（2）1+2x（2）

2、2）+（1-）=1，x（1）1+（1-）x（2）1-x（1）2+（1-）x（2）2=（x（1）1-x（1）2）+（1-）（x（2）1-x（2）2）+（1-）=1，因此，x（1）+（1-）x（2）S,故S是凸集.（2） 对集合S中任意两点x（1）=x（1）1x（1）2和x（2）=x（2）1x（2）2及每个数0，1，有x（1）+（1-）x（2）=x（1）1+（1-）x（2）1x（1）2+（1-）x（2）2.由题设，有x（1）2+（1-）x（2）2|x（1）1|+（1-）|x（2）1|x（1）1+（1-）x（2）1|,因此x（1）+（1-）x（2）S,故S是凸集.（3） 对集合S中任意两点x（1）=

3、x（1）1x（1）2和x（2）=x（2）1x（2）2及每个数0，1，有x（1）+（1-）x（2）=x（1）1+（1-）x（2）1x（1）2+（1-）x（2）2.由题设，有x（1）1+（1-）x（2）12+x（1）2+（1-）x（2）22=2x（1）21+2（1-）x（1）1x（2）1+（1-）2x（2）21+2x（1）22+2（1-）x（1）2x（2）2+（1-）2x（2）22=2x（1）21+x（1）22+（1-）2x（2）21+x（2）22+（1-）2x（1）1x（2）1+2x（1）2x（2）2102+10（1-）2+（1-）x（1）21+x（2）21+x（1）22+x（2）22102+1

4、0（1-）2+20（1-）=10,因此x（1）+（1-）x（2）S,故S是凸集.2. 设CRp是一个凸集，p是正整数.证明下列集合S是Rn中的凸集： S=x|xRn,x=A, C,其中A是给定的np实矩阵.证对任意两点x（1）,x（2）S及每个数0,1,根据集合S的定义，存在1,2C,使x（1）=A1，x（2）=A2，因此必有x（1）+（1-）x（2）=A1+（1-）A2=A1+（1-）2.由于C是凸集，必有1+（1-）2C,因此x（1）+（1-）x（2）S，故S是凸集.3. 证明下列集合S是凸集： S=x|x=Ay,y0,其中A是nm矩阵,xRn,yRm.证对任意的x（1）,x（2）S及每个

5、数0,1,存在y1,y20,使x（1）=Ay1,x（2）=Ay2,因此有x（1）+（1-）x（2）=Ay1+（1-）y2,而y1+（1-）y20，故x（1）+（1-）x（2）S,即S是凸集.4. 设S是Rn中一个非空凸集.证明对每一个整数k2,若x（1）,x（2）,，x（k）S,则ki=1ix（i）S,其中1+2+k=1（i0,i=1,2，,k）.证用数学归纳法.当k=2时，由凸集的定义知上式显然成立.设k=m时结论成立，当k=m+1时，有m+1i=1ix（i）=mi=1ix（i）+m+1x（m+1）=mi=1imi=1imi=1ix（i）+m+1x（m+1）,其中m+1i=1i=1.根据归纳

6、法假设，x=mi=1imi=1ix（i）S.由于mi=1i+m+1=1,因此mi=1ix+m+1x（m+1）S,即m+1i=1ix（i）S.于是当k=m+1时结论也成立.从而得证.5. 设A是mn矩阵，B是ln矩阵，cRn,证明下列两个系统恰有一个有解： 系统1Ax0,Bx=0,cTx0,对某些xRn.系统2ATy+BTz=c,y0,对某些yRm和zRl.证由于Bx=0等价于Bx0,Bx0.因此系统1有解，即AB-Bx0,cTx0有解.根据Farkas定理，得（ATBT -BT ）yuv=c,yuv0无解.记u-v=z,即得ATy+BTz=c,y0无解.反之亦然.6. 设A是mn矩阵，cRn,

7、则下列两个系统恰有一个有解： 系统1Ax0,x0,cTx0,对某些xRn.系统2ATyc,y0,对某些yRm.证若系统1有解，即A-Ix0,cTx0有解，则根据Farkas定理，有（AT -I）yu=c，yu0无解，即ATy-u=c,y0,u0无解，亦即ATyc,y0无解.反之，若ATyc,y0有解，即ATy-u=c,y0, u0有解，亦即（AT -I）yu=c，yu0有解.根据Farkas定理，有A-Ix0,cTx0无解，即Ax0,x0,cTx0无解.7. 证明Ax0,cTx0有解.其中A=1-21-111，c=210.证根据Farkas定理，只需证明ATy=c,y0无解.事实上，ATy=c

8、, 即1-1-2111y1y2=210.对此线性方程组的增广矩阵做初等行变换： 1-12-2111101-120-1502-21-1201-5008.此线性方程组ATy=c的系数矩阵与增广矩阵的秩不等，因此无解，即ATy=c，y0无解.根据Farkas定理，Ax0,cTx0有解.8. 证明下列不等式组无解： x1+3x20,3x1-x20,17x1+11x20.证将不等式组写作Ax0,其中A=133-1-17-11.根据Gordan定理，只需证明ATy=0，y0,y0有解.对系数矩阵AT做初等行变换： 13-173-1-1113-170-104010-501-4.ATy=0的同解线性方程组为y

9、1=5y3,y2=4y3,y3任意.显然ATy=0，y0,y0有解.根据Gordan定理，原来的不等式组无解.9. 判别下列函数是否为凸函数： （1） f（x1,x2）=x21-2x1x2+x22+x1+x2； （2） f（x1,x2）=x21-4x1x2+x22+x1+x2； （3） f（x1,x2）=（x1-x2）2+4x1x2+ex1+x2； （4） f（x1,x2）=x1e-（x1+x2）； （5） f（x1,x2,x3）=x1x2+2x21+x22+2x23-6x1x3.解（1） 2f（x）=2-2-22为半正定矩阵，故f（x1,x2）是凸函数.（2） 2f（x）=2-4-42为不定

10、矩阵，故f（x1,x2）不是凸函数.（3） fx1=2（x1-x2）+4x2+ex1+x2,fx2=-2（x1-x2）+4x1+ex1+x2,2fx21=2+ex1+x2，2fx1x2=2fx2x1=2+ex1+x2，2fx22=2+ex1+x2，因此Hesse矩阵2f（x）=2+ex1+x22+ex1+x22+ex1+x22+ex1+x2=（2+ex1+x2）1111为半正定矩阵，因此f（x）是凸函数.（4） fx1=e-（x1+x2）-x1e-（x1+x2）=（1-x1）e-（x1+x2）,fx2=-x1e-（x1+x2）,2fx21=（x1-2）e-（x1+x2）,2fx1x2=2fx2

11、x1=（x1-1）e-（x1+x2）,2fx22=x1e-（x1+x2）,于是Hesse矩阵2f（x）=e-（x1+x2）x1-2x1-1x1-1x1为不定矩阵，故f（x）不是凸函数.（5） f（x）的Hesse矩阵为2f（x）=41-6120-604.做合同变换： 41-6120-60440007432032-540007000-447.由此可得2f（x）为不定矩阵，因此f（x）不是凸函数.10. 设f（x1,x2）=10-2（x2-x21）2,S=（x1,x2）|-11x11,-1x21,f（x1,x2）是否为S上的凸函数？解fx1=8x1（x2-x21）,fx2=-4（x2-x21）,2

12、fx21=8（x2-3x21）,2fx1x2=2fx2x1=8x1,2fx22=-4,函数f（x1,x2）的Hesse矩阵为2f（x）=8（x2-3x21）8x18x1-4.易知2f（x）在集合S上不是半正定矩阵，如在点（0，1）处的Hesse矩阵是800-4，是不定矩阵.因此f（x1,x2）不是S上的凸函数.11. 证明f（x）=12xTAx+bTx为严格凸函数的充要条件是Hesse矩阵A正定.证先证必要性.设f（x）=12xTAx+bTx是严格凸函数.根据定理1.4.14，对任意非零向量x及x-=0，必有f（x）f（0）+f（0）Tx.（1）将f（x）在x-=0处展开，有f（x）=f（0）

13、+f（0）Tx+12xT2f（0）x+o（|x|2）.（2）由（1）式和（2）式知12xT2f（0）x+o（|x|2）0.由于f（x）是二次凸函数，2f（0）=A，o（|x|2）=0，因此xTAx0，即A正定.再证充分性.设A正定，对任意两个不同点x和x-，根据中值定理，有f（x）=f（x-）+f（x-）T（x-x-）+12（x-x-）T2f（x）（x-x-）=f（x-）+f（x-）T（x-x-）+12（x-x-）TA（x-x-）f（x-）+f（x-）T（x-x-）.根据定理1.4.14，f（x）=12xTAx+bTx是严格凸函数.12. 设f是定义在Rn上的凸函数，x（1）,x（2）,x（k

14、）是Rn中的点，1,2,k是非负数，且满足1+2+k=1，证明： f（1x（1）+2x(2)+kx（k）1f（x（1）+2f(x(2)+kf（x（k）.证用数学归纳法.当k=2时，根据凸函数的定义，必有f（1x（1）+2x（2）1f（x（1）+2f（x（2）.设k=m时不等式成立.当k=m+1时，有f（1x（1）+2x（2）+mx（m）+m+1x（m+1）=fmi=1i1mi=1ix（1）+2mi=1ix（2）+mmi=1ix（m）+m+1x（m+1）.记x=1mi=1ix（1）+2mi=1ix（2）+mmi=1ix（m）.由于f（x）是凸函数，mi=1i+m+1=1,i0,根据凸函数定义，有

15、fmi=1ix+m+1x（m+1）mi=1if（x）+m+1f（x（m+1）.根据归纳法假设，有f（x）1mi=1if（x（1）+2mi=1if（x（2）+mmi=1if（x（m）.代入上式，则有f（1x（1）+2x（2）+m+1x（m+1）1f（x（1）+2f（x（2）+m+1f（x（m+1）,即k=m+1时，不等式也成立.从而得证.13. 设f是Rn上的凸函数，证明： 如果f在某点xRn处具有全局极大值，则对一切点xRn,f（x）为常数.证用反证法.设f（x）在点x-处具有全局极大值，且在点x（1）处有f（x（1）f（x-）.在过点x（1）和x-的直线上任取一点x（2），使得x-=x（1）

16、+（1-）x（2）,（0,1）.分两种情形讨论： （1） 若f（x（2）f（x（1）,由于f（x）是凸函数，必有f（x-）=f（x（1）+（1-）x（2）f（x（1）+（1-）f（x（2）f（x（1）+（1-）f（x（1）=f（x（1），矛盾.（2） 若f（x（2）f（x（1）,由于f（x）是凸函数，必有f（x-）=f（x（1）+（1-）x（2）f（x（1）+（1-）f（x（2）f（x（2）+（1-）f（x（2）=f（x（2），矛盾.综上，f（x）必为常数.14. 设f是定义在Rn上的函数，如果对每一点xRn及正数t均有f（tx）=tf（x），则称f为正齐次函数.证明Rn上的正齐次函数f为凸函

17、数的充要条件是，对任何x（1），x（2）Rn,有f（x（1）+x（2）f（x（1）+f（x（2）.证先证必要性.设正齐次函数f（x）是凸函数，则对任意两点x（1），x（2）Rn,必有f12x（1）+12x（2）12f（x（1）+12f（x（2）.由于f（x）是正齐次函数，有f12x（1）+12x（2）=12f（x（1）+x（2）.代入前式得12f（x（1）+x（2）12f（x（1）+12f（x（2），即f（x（1）+x（2）f（x（1）+f（x（2）.再证充分性.设正齐次函数f（x）对任意的x（1），x（2）Rn满足f（x（1）+x（2）f（x（1）+f（x（2），则对任意的x（1），x（2）

18、Rn及每个数（0,1），必有f（x（1）+（1-）x（2）f（x（1）+f（1-）x（2）=f（x（1）+（1-）f（x（2）.因此f（x）是Rn上的凸函数.15. 设S是Rn中非空凸集，f是定义在S上的实函数.若对任意的x（1），x（2）S及每一个数（0,1）,均有f（x（1）+（1-）x（2）maxf（x（1）,f（x（2）,则称f为拟凸函数.试证明： 若f（x）是凸集S上的拟凸函数，x-是f（x）在S上的严格局部极小点，则x-也是f（x）在S上的严格全局极小点.证用反证法.设x-是严格局部极小点，即存在x-的邻域N（x-）,对于每个xSN（x-）且xx-，有f（x）f（x-）,但x-不是

19、严格全局极小点，即存在点xS,xx-,使得f（x）f（x-）.由于f（x）是凸集S上的拟凸函数，对每个（0,1）有f（x+（1-）x-）f（x-）.对充分小的，x+（1-）x-SN（x-）,这与x-是严格局部极小点相矛盾.因此，x-也是严格全局极小点.16. 设S是Rn中一个非空开凸集，f是定义在S上的可微实函数.如果对任意两点x（1），x（2）S，有（x（1）-x（2）Tf（x（2）0蕴含f（x（1）f（x（2），则称f（x）是伪凸函数.试证明： 若f（x）是开凸集S上的伪凸函数，且对某个x-S有f（x-）=0,则x-是f（x）在S上的全局极小点.证设存在x-S使得f（x-）=0.由于f（x

20、）是开凸集S上的伪凸函数，按伪凸函数的定义，对任意的xS，（x-x-）Tf（x-）=0蕴含f（x）f（x-）,因此x-是f（x）在S上的全局极小点.第2章线性规划的基本性质题解1. 用图解法解下列线性规划问题： （1） min5x1-6x2s.t.x1+2x210,2x1-x25,x1-4x24,x1,x20.（2） min-x1+x2s.t.3x1-7x28,x1-x25,x1,x20.（3） min13x1+5x2s.t.7x1+3x219,10x1+2x211,x1,x20.（4） max-20x1+10x2s.t.x1+x210,-10x1+x210,-5x1+5x225,x1+4x220,x1,x20.（5） min-3x1-2x2s.t.3x1+2x26,x1-2x21,x1+x21,-x1+2x21,x1,x20.（6） max5x1+4x2s.t.-2x1+x2-4,x1+2x26,5x1+3x215,x1,x20.（7） max3x1+x2s.t.x1-x20,x1+x25,6x1+2x221,x1,x20.