高数上册期末复习要点.docx

1、高数上册期末复习要点高数（上册）期末复习要点 第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式 也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节）2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法（变dx/变前面） 2、分部积分法 （注意加C ） （最好都自己推导一遍，好记） 定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：

2、定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧。 （高等数学、考研数学通用） 高数解题的四种思维定势 第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 第三句话：在题设条件中函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=

3、0或f(a)f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即ABBA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 第四句话：若要证明一组向量1,2,S线性无关，先考虑用定义再说。 第

4、五句话：若已知AB0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 第七句话：若已知A的特征向量0，则先用定义A000处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 第二句话：若给出的试验可分解成（01）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到

5、该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 第四句话：若题设中给出随机变量X N 则马上联想到标准化 N(0,1)来处理有关问题。 第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度 的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条/y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而 的求法类似。 第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Yg(X)或(Yg(X)的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度 的平面区域及满足Yg(X)或(Yg(X)的区域的公共部分。 第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征

6、的问题，马上要联想到对X作（01）分解。即令 第八句话：凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。 第九句话：若 为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量 的分布问题，一般联想到用卡方分布，t分布和F分布的定义进行讨论线代期末复习要点第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无

7、穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算一阶|=行列式，二、三阶行列式有对

8、角线法则；N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：行列式某行（列）元素全为0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足

9、交换律（若ABBA，称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若ABBAI，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A)-1=(A-1)；(A B的逆

10、矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：|A|0；r(A)=n;A-I;（4）逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵)初等变换法（A:I）-(施行初等变换)（I:A-1）5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A-1）B；XB=A，则X=B(A-1)；AXB=C，则X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)n 有非零解；再特别，若为

11、方阵，(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D0）只有零解；r(A)n，（或系数行列式D0）有无穷多组非零解。（2）解的结构：X=c11+c22+Cn-rn-r。（3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。3非齐次线性方程组（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X=u+c11+c22+Cn-rn-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换

12、法）。四、向量组1N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积=a1b1+a2b2+anbn；（3）向量长度 |=(a12+a22+an2) ( 根号)（4）向量单位化(1/|)；（5）向量组的正交化（施密特方法）设1， 2，n线性无关，则1=1，2=2-（21/1）*1，3=3-（31/11）*1-（32/22）*2，。3线性组合（1）定义若=k11+k2 2+knn，则称是向量组1， 2，n的一个线性组合，或称可以用向量组1， 2，n的一个线性表示。（2）判别方法将向量组合成矩阵，记A(1， 2，n)，B

13、=(1，2，n,)若r(A)=r(B)，则可以用向量组1， 2，n的一个线性表示；若r(A)r(B)，则不可以用向量组1， 2，n的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设k11+k22+knn=0，若k1,k2,，kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,，kn全为0，称线性无关。（2）判别方法：r(1， 2，n)x时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在x的左、右极限都存在并均为A。2、极限的四则运算法则： (三)利用无穷小量与无穷大量的运算法则求极限： 1、

14、无穷小量：无穷小量的和、差、积也都是无穷小量。有界变量与无穷小量的积为无穷小量。 2、两个无穷小量相除：a/b趋于0，a是比b高阶的无穷小，a趋于0的速度比b快；(四)利用无穷小量与无穷大量的关系求极限： (五)利用两个重要极限求极限： (六)利用函数的连续性求极限： 函数在一点处连续,要求在这一点有定义,函数的极限存在,并且相等. (七)利用等价无穷小的代换求极限： (八)连续函数的运算和初等函数的连续性: 1、连续函数的和、差、积、商仍是连续函数； 2、设函数在区间上是单调的连续函数，则其值域是一个区间，且它的反函数是区间上的单调连续函数； 3、闭区间上的连续函数必有界； 4、最值定理：闭

15、区间上的连续函数必有最大值和最小值； 5、零点定理：设f(x)是a,b上的连续函数，且f(a),f(b)异号，则函数f(x)在（a,b）中至少有一个零点； 6、介值定理：闭区间上的连续函数必能取得它在区间上的最大值和最小值之间的任何值。 7、闭区间上的连续函数不一定能取到最大值，最小值。 （九）函数的间断点： 1、函数的左、右极限都存在的间断点为第一类间断点； 2、函数的左、右极限至少有一个极限不存在的点为第二类间断点； 第三章 一元函数的导数与微分 (一)基本求导公式： 导数的求法： 1、利用导数的定义求导： 2、导数的四则运算法则： 3、复合求导法则： 4、对数求导法则： 5、隐函数求导法

16、则： (二)反函数求导法则： (三)高阶导数： (四)基本微分公式与微分法则： (五)切线方程： (六)弹性函数: 第四章 微分中值定理和导数的应用 （一）利用洛必达法则求未定式。 （二）用导数分析函数的单调性: 1、函数单调性判定法：导数0时单调增加；导数0时单调减少。 2、求出F（x）的驻点和不可导点，在若干小区间上判定单调性。 （三）曲线的凹凸性判别方法： f(x)的二阶导数大于0,则曲线是凹的； f(x)的二阶导数小于0,则曲线是凸。 （四）函数的极值 求函数极值的步骤： 1、求函数f(x)导数； 2、求f(x)的导数0的点（驻点）以及不存在的点； 3、考虑每一极值点两侧的符号。 4、

17、极值的第二判别法：二阶导数小于零，是极大值，大于零是极小值。 （五）函数的最值 就是极值中最小的或最大的值。 （六）拐点 凹凸分界点。 （七）曲线的渐近线 y=b是水平渐近线 ； y=a竖直渐近线 第五章 一元函数积分学 （一）基本积分公式： （二）利用基本积分公式求不定积分： 1、凑微分法（第一积分法）； 2、第二换元法 3、分部积分法： （三）一阶线性微分议程： 齐次线性方程dy/dx+P(x)y=0的通解为： (C为任意常数); 非齐次线性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解为： (C为任意常数); 解题步骤: (四)定积分的基本定理、性质及其计算： A、函数f(x)在区间a,b上可积的必要条件是f(x)在a,b上有界； B、如果f(x)是a,b上的连续函数，则它在a,b上可积； C、如果f(x)在a,b上有界，且在a,b上除有限个间断点外连续，则f(x)在a,b上可积。 (五)定积分的性质： (六)牛顿-莱布尼茨公式： (七）利用定积分计算旋转体体积： (八)利用定积分计算平面图形的面积： 1、着先把平面图形画出来；求出曲线的交点； 2、然后决定积分上限、下限，同时确定被积函数，列出定积分； 3、最后计算定积分。 4、由边际函数求总函数： (九)无穷限反常积分： 第六章 多元函数微积分 未看书