我们的高铁建模论文.docx

1、我们的高铁建模论文承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校

2、（请填写完整的全名） 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：_年_月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：中国修建高铁利弊摘要 本题要求定量评估中国修建高铁的利弊，以武广高铁作为研究对象，从XX百科，官方，科技网等网站来查询所需数据，对查询的数据进行分析研究处理，从而说明中国修建高铁的利弊，由于考虑的因素有定量的和定性的，从而使决策具有明显的模糊性和不确定性，因此用模糊决策法和层次分析法进行综合评价。 以武广之间所选择的出行方式来研究修建高铁的利弊，从经济性，舒适性，安全性，环保性四个方面来考虑，用层次分析法进行求解。对于定

3、性的指标，我们采用线性隶属度来确定指标评语集合特征值；对于定量的指标我们采用最大最优 yij=（xij-ximin）/(xmax-ximin)和最小最优yij=( xmax- xij)/(ximax- ximin)的原则确定指标的特征值，建立如下模型。 模型一：模糊决策法我们将与高铁有关的主要因素及其相对重要性进行量化处理得到模糊关系矩阵Y,从而得到修建高铁的综合评价模型： Z=(z1,z2,Lzm )T=Y*Q=(yij)m*n*(qj)n*1 根据四种交通给出的数据，利用Matlab对上述模型和算法进行实践求解得到 Q=（0.398 0.125 0.265 0.077 0.134） Z=（

4、0.4276 0.6125 0.6841 0.4864）模型二：层次分析法 通过层次分析法来解决高铁对普快、汽车、飞机的影响程度，首先，要构造成对比较矩阵，运用MTLAB软件可以求得该矩阵的权向量： （3）=（0.398 0.125 0.265 0.077 0.134） 并计算出其组合权重（2）=（0.417 0.124 0.082 0.371） 在进行比较权重，的出高铁相对于其他交通方式的利弊。经过对比得到修建高铁的弊大于利。 关键词：层次分析法: 模糊决策法 利弊系数 最优 一 问题重述 高铁的发展是我国高科技集成的体现，能促进中部地区与南方沿海地区的经济与人员交流，特别是武汉与长沙，广州

5、的交流，拉动经济增长,促进中部地区崛起，加速产业转移，布局调整。提升我国轨道交通的整体水平。 中国近几年的高铁发展迅速，武汉至广州的高铁已经在2009年12月26日开通，武汉到广州的旅行时间将由原来的约10小时缩短到3小时然而一些百姓担心，武广线原有的普速列车是否停掉汽车运输和飞机运输等是否受到影响?百姓会不会“被高速”被迫承受高铁的高价票? 人们的担心不无道理，用数学建模的方法进行研究，从而说明中国修建高铁的利弊关系。二、问题分析 问题要求我们对中国高铁的利弊进行评估，在这个评估的过程中，我们发现需要考虑的因素较多，有些是定性的，有些是定量的，我们要对这些指标进行评估。这就涉及到层次分析方法

6、来估算各个指标的权重，再利用模糊分析决策方法评出其利弊。具体思路如下：（1） 我们选择对方案有影响的6个指标作为评价要素。指标规定如下：建设成本：指造价费和设计费，假设单位长度造价一样，建设成本等于单位造价乘以建设长度，因此，长度越长，建设成本越高。运行成本：指设施设备火车维修费、折旧费、定额供应水、电费、管理人员费等，这与乘客人数有关，假设人均运行成本相同。收费标准：指单位造价乘以建设长度除以火车站收回成本的年限再除以乘客总人数加运行成本。上座率：指每次列车的乘客数除以总座位数。舒适程度：指夏天是否有空调或者电扇，冬天是否有暖气，座位是硬的，还是软的，上车是否拥挤，坐在座位上乘客之间的间距的

7、大小等。安全程度：指一段时间内（比如一年）发生事故次数，及伤亡情况等。三、模型假设 1、所有数据均真实可靠稳定，变化很小，可以忽略不计； 2、假设中国高铁仅以武汉之间的高铁为例，作为标准进行评估 ； 3、假设客流量不受节假日的影响； 4、假设各交通武汉至广州的路程相等； 5、假设高铁不会发生任何事故；四、符号说明Q：表示方案中各个指标的权重；Pj：表示第j个数据的名称（j=1.27，其中j=1表示建造成本，j=2表示收费标准，j=3表示进出方便，j=4表示舒适度，j=5表示事故发生次数，假J=6表示节能环保，j=7表示排出物）；x：表示评价指标特征值矩阵；Y：表示相对优属度矩阵；Yij：表示第

8、i个因素评价指标的特征值；Z：表示综合评价值； 五、模型的建立从旅客的角度考虑，从武汉到广州可以选飞机、高铁、普快、汽车交通方式，从用时、票价、安全性、舒适度、环保四方面考虑，用层次分析法得出最后结论，判别高铁对其他交通的影响。5.1模型一的准备511 我们将决策分为三个层次进行分析 最上层为目标层，即从武汉到广州乘坐的交通方式；中间层为准则层，有用时、票价、安全性、舒适度、环保5个准则；最下层为方案层，有飞机、高铁、普快、汽车4种方案供选择。从而针对下层因素之间对上层的影响，建立了层次结构模型，通过成对比较来解决在定性中下层具有不同性质的因素对上层因素的影响，由于相对尺度难以把握，我们运用S

9、aaty等人提出使用尺度19对定性关系进行量化，具体表示见表1。表 1 定性关系量化表：标度含义135792,4,6,8倒数表示两个元素相比，具有同样的重要性表示两个元素相比，前者比后者稍重要表示两个元素相比，前者比后者明显重要表示两个元素相比，前者比后者强烈重要表示两个元素相比，前者比后者极端重要表示上述相邻判断的中间值若元素i与元素j的重要性之比为Pij,那么元素j与元素i重要性之比为Pij=1/Pij 注：参考文献5 525.1.2 建立层次分析模型方案层准则层目标层5.2.1定量基础上的方案选择组合权重首先，对用时、票价、安全性、舒适度、环保5个准则相对于交通方式选择的重要性进行比较，

10、即相对于目标层、准则层的比较。我们不妨假设，用时：票价：安全性：舒适度：环保=4：3：4：2：1。 其次，对4种交通方式高铁、普快、飞机、汽车就5个准则进行反复比较，即相对于目标层的比较。我们不妨假设相对于用时，高铁：普快：飞机：汽车=1：3：1/2：5；相对于票价，高铁：普快：飞机：汽车=2：3：1：4；相对于安全度，高铁：普快：飞机：汽车=2：2：:1：1；相对于舒适度，高铁：普快：飞机：汽车=2：1：2：1；相对于环保，高铁：普快：飞机：汽车=1：1：1：1。 解决此类问题，为了保证公平性，我们首先对所有的比例关系（即权重）进行归一化处理。5个准则之间的比较4：3：4：2：1=4/14：

11、3/14：4/14：2/14：1/14；相对于用时，高铁：普快：飞机：汽车=1：3：1/2：5=2/19：6/19：1/19：10/19；相对于票价，高铁：普快：飞机：汽车=2：3：1：4=2/10：3/10：1/10：4/10; 相对于安全度，高铁：普快：飞机：汽车=2：2：:1：1=2/6：2/6：1/6：1/6；相对于舒适度，高铁：普快：飞机：汽车=2：1：2：1=2/6：1/6：2/6：1/6；相对于环保，高铁：普快：飞机：汽车=1：1：1：1=1/4：1/4：1/4：1/4，然后进行组合即可。 高铁的组合权重： 4/14*2/19+3/14*2/10+4/14*2/6+2/14*2/

12、6+1/141/4=0.2790 普快的组合权重： 4/14*6/19+3/14*3/10+4/14*2/6+2/14*1/6+1/14*1/4=0.2892 飞机的组合权重：4/14*1/19+3/14*1/10+4/14*1/6+2/14*2/6+1/14*1/4=0.1473汽车的组合权重：4/14*10/19+3/14*4/10+4/14*1/6+2/14*1/6+1/14*1/4=0.3231显然，汽车为首选, 模型二 定性基础上的方案选择层次分析法1.成对比较阵构造定性向定量的转换 Saaty等人提出通过使用尺度1-9对定性关系进行量化，具体表示见表1。 量化后的全部结果可用成对比

13、较矩阵表示。交通方式选择问题中票价等5个准则可记为C1，C2，C3，C4，C5，用aij表示Ci和Cj对目标层O的重要性之比，即aij=Ci/Cj，显然aij=1/aji且aij0,即成对比较矩阵一定是正互反矩阵。 表2 武广路线各交通工具比较表交通方式高铁普快汽车飞机里程（km）106910691255873票价（元）490140341930运行时间（小时）3.7512.1816.751.5载客量（万人/天）2.2023.8310.7800.252所有材料电能煤汽油柴油 （数据来源于XX百科） 通过表2的数据，用成对比较法对票价等准则进行定性的两辆比较，并使用19尺度进行转化后，可得到成对比

14、较矩阵。同理，相对于票价、舒适度、环保、安全、用时、五个准则，飞机、汽车、普快、高铁的重要性也可以进行比较，从而得到成对比较阵：2.计算权向量 若一个正反阵X满足xjk.xkj =xij(i,j,k=1,2,，n)，则X称为一致性矩阵，可以证明n阶一致性X有系列性质：X的秩是1，X的唯一的非零特征根是n；对应于特征根n的特征向量的标准化向量的标准化向量，即为权向量。 实际建立的成对比较阵一般是非一致阵。例如，矩阵A中C1：C2=1：2。但当非一致性较小时，我们仍可以借助一致阵的性质，即一个接近于n的特征根所对应的特征向量标准化后，既可作为权向量。利用MATLAB软件可计算成对比较阵A的最大特征

15、根=5.0721，归一化的特征向量（2）=（0.398 0.125 0.265 0.077 0.134）T就是第2层（准则层）对第一层（目标层）的权向量。同理可以就成对比较阵B1B2B3B4B5进行类似的计算，从而得到所有的权重，我们将成为对比较阵Bk的最大特征根k所对应的权向量k（3）的计算结果列入表3K12345(3)k0.4740.1340.0580.3340.4890.1890.0890.2320.2510.1070.0890.5510.2800.1140.1350.4690.5890.0930.1070.209 k 4.06864.02484.0220 4.03104.0770CIk

16、0.0220.0082 0.0073 0.01 0.0233、组合权向量利用模型一，我们可以通过权重的组合就高铁，普快，飞机，汽车作出选择。例如对于高铁组合权重可以用第3层对第2层权向量w的第1个分量与第2层对第1层的权向量w组合而成，即0.398*0.334+0.125*0.125+0.265*0.551+0.077*0.469+0.134*0.209=0.371同理，可以计算普列的组合权重为0.082 ，飞机的组合权重为 0.417 ，汽车的组合权重 0.124 ，计算结果表示，高铁 应作为第一选择。上述计算可以利用矩阵运算来表示，对于交通工具的选择，以w 为列向量构成矩阵W（3）=1(3

17、)(3)23(3)4(3)(3)5则第3层对第1层的组合权向量为(3)=w(3)* (2)4、一致性检验前面讨论权向量求解的前提是非一致性较小时，那么怎样衡量所谓的较小呢(1)单个矩阵的一致性检验Saaty使用一致性指标CI=(-n)/(n-1) 来衡量，CI=0是时，为一致阵；CI越大，不一致程度越严重。为了放宽高维矩阵的判断要求，引入随机一致性指标RI，其数值如下： 注： 参考文献5 54页 n1 23456789RI000.580.901.121.241.321.411.45注：RI由随机抽取数字19构造正互反矩阵，并求一致性指标的平均值而得。用RI来修正CI，使用一致性比率CR= CI

18、/RI0.1 ,作为一致性的衡量标准。例如 对于矩阵A可计算的，CI=（5.0721-5）/(5-1)=0.018,查表得RI=1.12，由此CR=0.0160.1,矩阵A一致阵检验通过。类似A一致性通过。（2）组合一致性检验 通过上面计算，各成对比较阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。我们通过一致性检验加权重来解决这个问题，称为组合一致性检验。组合一致性检验考虑了各准则的权重，相当于单一的一致性检验具有更好的科学性。以选择交通方式为例，则有第2层对第1层的组合一致性比率为 CR（(2)=0.0160.1第3层对第2层的

19、组合一致性比率为 CR(3)=CI(3)/RI(3)=CI1(3),CI2(3),CI3(3) ,CI4(3) ,CI5(3)(2)/ RI1(3), RI2(3) ,RI3(3) ,RI4(3) ,RI5(3) (2)CI(3)=0.022*0.398+0.0082*0.125+0.0073*0.265+0.01*0.077+0.023*0.134=0.015 RI(3)=0.9 CR(3)=0.016 CR*=CR(2)+CR(3)=0.017+0.016=0.033 d,v=eig(A)d = Columns 1 through 4 -0.7683 0.7357 0.7357 0.814

20、2 -0.2423 -0.2451 - 0.0411i -0.2451 + 0.0411i 0.1109 - 0.1199i -0.5110 0.0119 + 0.6084i 0.0119 - 0.6084i -0.3473 - 0.1406i -0.1506 0.0477 - 0.1298i 0.0477 + 0.1298i -0.1448 - 0.0945i -0.2591 -0.0735 - 0.0466i -0.0735 + 0.0466i 0.0346 + 0.3727i Column 5 0.8142 0.1109 + 0.1199i -0.3473 + 0.1406i -0.14

21、48 + 0.0945i 0.0346 - 0.3727iv = Columns 1 through 4 5.0721 0 0 0 0 -0.0073 + 0.5906i 0 0 0 0 -0.0073 - 0.5906i 0 0 0 0 -0.0287 + 0.1220i 0 0 0 0 Column 5 0 0 0 0 -0.0287 - 0.1220i d,v=eig(B1)d = 0.7919 0.8212 0.8212 -0.7350 0.2327 -0.1387 - 0.0612i -0.1387 + 0.0612i -0.5059 0.0881 -0.0162 - 0.0618i -0.0162 + 0.0618i 0.2107 0.5576 -0.1542 + 0.5243i -0.1542 - 0.5243i 0.3993 v = 4.0686 0 0 0 0 -0.0202 + 0.5267i 0 0 0 0 -0.0202 - 0.5267i 0 0 0 0 -0.0281 d,v=eig(B2)d =0.8425 0.7625 0.7625 0.9537 0.3267 -0.0699