高一数学常考立体几何证明题及答案.docx

1、高一数学常考立体几何证明题及答案高一数学常考立体几何证明题及答案1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB 平面CDE; （2）平面CDE 平面ABC。2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点，D AD1BECBDE。 求证： AC1/平面 3、已知 ABC中 ACB 90,SA 面ABC,AD SC, BCDSC求证：AD 面SBC ABCD1ADBBC1O是底ABCD对角线的交点. 4、已知正方体ABCD A1BC11D1，求证：() C1O面AB1D1；(2)AC 面AB1D1 15、正方体ABCD ABCD中，

2、求证： （1）AC 平面BDDB； （2）BD 平面ACB. 6、正方体ABCDA1B1C1D1中 (1)求证：平面A1BD平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD7、四面体ABCD中，AC BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF 求证：BD 平面ACDCA1AC，2 8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF平面BDG. 9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点.BDE； （1）求证：AC1/平面（2）求证：平面A1AC 平面BDE. 10、已知AB

3、CD是矩形，PA 平面ABCD，AB 2，PA AD 4，E为BC的中点（1）求证：DE 平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角 11、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是 DAB 60且边长为a的菱侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD（1）若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD；（2）求证：AD PB 12、如图1,在正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO 平面MBD 1 13、如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD， 作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD0形， 14(12分)求证平行于三

4、棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形已知：如图，三棱锥SABC，SC截面EFGH，AB截面EFGH.求证：截面EFGH是平行四边形 2，如图 315(12分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN (1)求证：MN面BB1C1C；(2)求MN的长16(12分)(2009浙江高考)如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点 (1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值 17(12分)如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中

5、点求证：(1)直线EF面ACD.（2）平面EFC平面BCD. 1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC。EBC AC 证明：（1） CE ABAE BE 同理，AD BD DE ABAE BE BC又CE DE E AB 平面CDE （2）由（1）有AB 平面CDE又AB 平面ABC， 平面CDE 平面ABC 2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点，DBDE。 求证： AC1/平面证明：连接AC交BD于O，连接EO， E为AA1的中点，O为AC的中点 EO为三角形A1AC的

6、中位线 EO/AC1BAD1CDBDE外 ACBDE。 又EO在平面BDE内，AC1在平面1/平面3、已知 ABC中 ACB 90,SA 面ABC,AD SC, CS求证：AD 面SBC证明： ACB 90 BC AC又SA 面ABC SA BC BC 面SAC BC AD D又SC AD,SC BC C AD 面SBCADBCC1BO是底ABCD对角线的交点. 4、已知正方体ABCD A1BC11D1，求证：() C1O面AB1D1；(2)AC 面AB1D1 1证明：（1）连结AC11，设ADAC11 B1D1 O1，连结AO 1B ABCD A1BC11D1是正方体 A1ACC1是平行四边

7、形 A1C1AC且 AC11 AC 又O1,O分别是AC11,AC的中点，O1C1AO且O1C1 AO AOC1O1是平行四边形 C1OAO1,AO1 面ABD，CO 面ABD CO面ABD11111111C（2） CC1 面A1B1C1D1 CC ! 1 B1D又AC11 B1D1， BD 面ACC 1111 即A1C B1D1AC AD1， 又D1B1 AD1 D1同理可证1 面AB1D1 AC15、正方体ABCD ABCD中，求证：（1）AC 平面BDDB；（2）BD 平面ACB. 6、正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，

8、CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD 证明：(1)由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD 平面B1D1C，B1D1 平面B1D1C， BD平面B1D1C 同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CDA1(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD7、四面体ABCD中，AC BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF AC， 1/ AC 2 BDC 90 ，求证：BD 平面ACD证明：取CD的中点G，连 结EG,FG，E,F

9、分别为AD,BC的中点，EG/1BD，又AC BD,FG 1AC，在 EFG中，EG2 FG2 1AC2 EF2 FG 222 EG FG，BD AC，又 BDC 90，即BD CD，AC CD C BD 平面ACD8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF平面BDG.证明：E、F分别是AB、AD的中点， EFBD 又EF 平面BDG，BD 平面BDG EF平面BDG D1GEB 四边形DGBE为平行四边形，D1EGB 1又D1E 平面BDG，GB 平面BDG D1E平面BDGEF D1E E，平面DEF平面BDG 19、如图

10、，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点.BDE； （1）求证：AC1/平面（2）求证：平面A1AC 平面BDE. 证明：（1）设AC BD O，EO E、O分别是AA1、AC的中点， AC1BDE 又AC 平面BDE，EO 平面BDE， AC11平面（2）AA1 平面ABCD，BD 平面ABCD，AA1 BD 又BD AC，AC AA1 A，BD 平面AAC，BD 平面BDE，平面BDE 平面AAC 11的中10、已知ABCD是矩形，PA 平面ABCD，AB 2，PA AD 4，E为BC点（1）求证：DE 平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角222证明：在 ADE

11、中，AD AE DE， AE DEPA 平面ABCD，DE 平面ABCD， PA DE 又PA AE A， DE 平面PAE （2） DPE为DP与平面PAE所成的角在Rt PAD，PD Rt DCE中，DE 在Rt DEP中，PD 2DE， DPE 3011、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是 DAB 60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD（1）若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD； （2）求证：AD PB 证明：（1） ABD为等边三角形且G为AD的中点， BG AD 又平面PAD 平面ABCD， BG 平面PAD（2）PAD是等边三角形

12、且G为AD的中点， AD PG 且AD BG，PG BG G， AD 平面PBG， PB 平面PBG， AD PB12、如图1,在正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO 平面MBD 1证明：连结MO，A1M，DBA1A，DBAC，A1A AC A，DB平面A 平面A1ACC1 DBAO1ACC1，而AO112设正方体棱长为a，则A1O 2AM 在RtAC中，M111323a，MO2 a2 24 92222aAO，AOO M MO AM1114OMDB=O， AO1平面MBD 13、如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作A

13、HBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF AC BC，CF ABAD BD，DF AB又CF DF F，AB 平面CDF CD 平面CDF，CD AB 又CD BE，BE AB B， CD 平面ABE，CD AHAH CD，AH BE，CD BE E， AH 平面BCD14(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形 已知：如图，三棱锥SABC，SC截面EFGH，AB截面EFGH. 求证：截面EFGH是平行四边形 证明： SC截面EFGH，SC平面EFGH，SC平面ASC，且平面ASC平面EFGHGH， SCGH.同理可证SCEF，GHEF

14、. 同理可证HEGF. 四边形EFGH是平行四边形15(12分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN2，如图 3 (1)求证：MN面BB1C1C； (2)求MN的长解：(1)证明：作NPAB于P，连接MP.NPBC，MN面MPN，MN面BB1C1C.APANAM，MPAA1BB1，面MPN面BB1C1C. ABACA1B2aNPAN3112(2)，NPa， 同理MPa. BCAC332a3又MPBB1，MP面ABCD，MPPN. 在RtMPN中MN225a. 99316(12分)(2009浙江高考)如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB

15、2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值解：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQEB.又DCEB，因此PQDC， 又PQ平面ACD，从而PQ平面ACD. (2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且ACBC，所以CQAB.因为DC平面ABC，EBDC，所以EB平面ABC，因此CQEB. 故CQ平面ABE.1由(1)有PQDC，又PQEBDC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DPCQ，因此DP平面ABE，2DAP为AD和平面ABE所成的角，在RtDPA中，AD，DP1，sinDAP5， 5 17(12分)如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点 求证：(1)直线EF面ACD. (2)平面EFC平面BCD. 证明：(1)在ABD中，E、F分别是AB、BD的中点，EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，直线EF面ACD. (2)在ABD中，ADBD，EFAD，EFBD. 在BCD中，CDCB，F为BD的中点，CFBD. CFEFF，BD平面EFC，又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.