微积分公式及定积分计算练习.docx

1、微积分公式及定积分计算练习微稅分公式与定稅分廿算练习（附加三角函数公茨）一、基本导数公式（C（2）宀旷（3）（g） =cosx(cosx) =-sinx(5)(kmx) = sec2 x(cot x) = -esc2 x(7)(secx) =secx tanx(8)(cscx) =-cscxcotx(log *) = 1 (arcsin x) = 2_. (arccos x) = _ -= 7 xn a 丁1一2( ”1一2 （arctanx/Carccotx；=-占肋（0 = 1二、导数的四则运算法剧(wv) =11 Vr(MV)= llv + UV三、高阶导数的运算法剧（1）（WWxFWQ

2、Wx）1” d (c) = 0 (x)= “严么 (sin x) = cos xdx(4) (cos x) = _sin 人v(5)d (tan x) = sec2 xdx 伦)d (cot x) = -esc2 xdx(7)d (secx) = secx tan xdx侶)d (escx) = - esc x cot xdx.d(ex = exdx.d(ax = ax nadx,. 丿 (10 丿 (11)d (arctan x)=】、dx d (arc cot -v)=-】、dx七.基本稅分公式 + cna j* sin xdx = - cos x+cf dx= fsec2 xdx = t

3、anx + c cos* x Jdx = arctan x + cf L = f esc2 xdx = -cot x + c f siirx J (101 +对f dx = arcsin x + c(11) Jl-F八、补充秋分公貳J tan xdx = -In |cos x| + c J cot xdx = In |sin x| + cJ sec xdx = ln|sec x + tanx| + c j esc xdx = In |cscx-cot x + cc 1 1 x fl x-adx = n x + yjx2 a2J 1 . Jx = arcsin - + c 1 .九.下列常用凑f

4、lt分公茨枳分塑换元公式J f (ax + by lx = j f (or + / (ov+b)u = ax+b”（才艸加=丄”（兀字3“）1(=好j f (In x)dx = /(In x (In x)Xu = In xu = exu = axJ /(sin x) cos xdx = |/ (sin xl (sin x)u = sin xJ f (cos x) sin xdx = - J /(cos x*/ (cos x)U = COS Xj/(tanx) sec2 xdx = J/(tanx)t/(tanx)u = tan xJ f (cotx)esc2 xdx = |/(cotx)c/(

5、cotx)u = cot Xj / (arctan x) 匚 tAv = j / (arc ta nx)c/(arc ta nx)u = arctan xf f (arcsin x) - , dx = f / (arcsin a (arcsin x)厂 Vl-x2 Jw = arcsin x十、分部积分法公式形如 J%,令 = dv = eaxdx 形X sin 皿令 U = Xn , dv = sin xdx 形x”cos皿令十,dv = COsxdx 形如 J V，! aiCtan Xcix ,令“ =arctan x clv = xnclx 形如 J V 4 ,令 u = In x t

6、dv = xldx形如F Shl皿严CQSxdx令“=严,血x,cosx均可 十一、第二换元稅分法中的三角換元公貳 J/ x = osin/ J，+F x = atant (3)a x = asect【将殊角的三角函数值】(1)sin 0 = 0兀1sin = _(2) 6 2 (3)龙/3sin =3 2sin = 1(4) 2(5 ) sin 龙=0(1)cosO = 1k 73cos =6 2(1)tan 0 = 0(2)tanM6 3(3)tan?=(4)tan 2 不存在(5) tan = 0(1 ) 8t不存在(2)cot- = V36(3)cot3(4)7T ccot = 02

7、(5) co”不存在十二.重要公式(1 )(10)lim ex = oo(12)（系数不为0的怖况）1-cosx-sinxx tanxx arcsinxx arctanx x ln(l + x)U2lxlz十四、三角函数公衣1 两角和公实sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A 一 3) = sin A cos B 一 cos A sin B cos(A + B) = cos A cos B-sinA sin B cos( A -B) = cos A cos B + sin 4 sin 3z 4 c、 tan A + tan 3 z 4 补 ta

8、n A- tan Btan(A + B) = tan(A -B) = 1 - tan A tan B 1 + tan A tan B/ , cot A cot 3 1 z 4 c、 cot A cotB + cot(A + B) = cot(A _ B)= cot B +cot A cot B-cotA2 二倍角公式sin 2A = 2 sin A cos A cos2A = cos A-sin2 A = l-2sin2 A = 2cos2 A-l2 tan 4tan 2A = 1-tan A3半角公成.A /1-cosA A /1 + cosASin7_ V 2 COS2 24和差化秋公6万

9、能公衣2tanI1 + tan2 tan 2sin a = cos a =1-tan2 tan a =2- 1-tan2-2 27 平方关系sin2 x + cos2 x= 1 sec2 x-tan2 x = csc2x-cot2x = l8.fl关系tanxcotx = l secx-cosx= 1 cscx sinx = 9 商数关系sinx cosxtan x = cot x = cos x sinx十五.几种常见的St分方程dy1 可分离变量的做分方程：页= /(x)g(y)/1 (x)gi (y)+z (x)g2 (y)dy=o2 齐次做分方程:解为广平（4sdv3.阶拔性非齐次St

10、分方程： +，（A）V =（?（A）髙考定稅分应用常见題型大全选择题（共21小愿）1.（2012.） $0图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,囲点P怡好取自明彫部分A. 1B. 1C. 1D145672. （2010.）由曲a y=x2, y=x3围成的齐闭图形面枳为（ ）A. 1B. 1C. 1D. 71243122,汪0, 13设f（x）=l2- 圧（1，2,因数图象与x讷围成討闭区域的而枳为（ ）A. 3B.45C.56D.674（2对丄）dx4.定枳分1X的值为（)A.9B.3+ln2c.3-ln2D.6+ln245.如图所示，曲Sy=x2和曲Sy=V围成一个叶形图（明影跚

11、分），貝面枳是（ ）D返2J 2 开(x+cosx) dx6.飞 =()D. 4A. Tt B. 2 C.-n7.已知函f (x)的定义域Jl-2, 4,且f (4)=f(2)虬f (x)为f(x)的导函数,函数y=f ( x )的图象如图所示，團平面区锁f ( 2a+b ) 1 (aO, bO)所围成的而枳是8.f oVdx与f o1ex dx相比有关系氏()A.2B. 2/ oedx J oQ dxJ o1e / Je” dxC.2D. z(f exdx ) 2= / 01e dxJ Jexdx=( 01e dx9.若a=j JTO 丄HQT1 ,b= J ocosxdx,则a与b的关系是

12、(A.a bC. a=b10.raJ 0(1 -Cx-1) 2X2)%值是()A.7T _1B.兀_ 1 C兀一.14343 23S r sinxdx)D. a+b=OD.兀11.若 f(x)=2A. 12+e2 - eX1h X1 （e为自然对数的U数），则；of 3）12-e2+eB. 12+ec.D.dx ,=(丄-e12.已知 f(x)=2-|x|, M3 dx=(A. 3 B. 4 C.)3.5D.4.513.设 f ( x ) =3 - |x -1|, | J 22f ( x ) dx=(A. 7B. 8C.7.5D.6.514.枳分三aVa2 - x2dx；15.f巳知函数A.1

13、/216.是(A. 4(x)二C.na2D.2na2cosx,x+b 0x1的图象与X轴所围成图形的面枳为（ ）B. 1C. 2D. 3/2_3兀由因数y=cosx ( 0wxw2h )的图象与頁线* 2 K y=lBi围成的一f封团图的面枳C. 7T “T+1 2n17.曲Sy=x3在点（1, 1） 5b的幼裁与x轴及直线xT两围成的三角形曲而枳为（ ）A丄 B212 6C. 13D.丄2A. 16B. 18C. 20D. 2219.如图中阴影跚分的面枳是（尸sin. (x -20.曲线A. V2T-手）（0x 0 ）与00的一个交点，图中明影册分的面枳髙考定稅分应用常见題型大全（含答案）参

14、考答案与試题解析选择題（共21小題）1. （2012.） 50图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P, IM点P恰好取自明影部分的側率为（ ）考/定枳分在求面枳中的应用;JI 501974专趣：计算臥分析：根H題意，易得正方形OABC的面枳，观察图形可得，阴黔部分由因数XX与戶匚围 成，由定枳分公式，廿算可得阴黔部分的面枳，逍而由几何槪塑公衣廿算可得答案.解答：解:禺据题意,正方形OABC的面枳为1 x1=1,_2 2 2而明黔部分由因数y=x与戶换围成，貝面枳为山(讥x)dx=(亏/2)|上瓦16 _1则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的御率为二乞； 故选C.fiih本题

15、考査几何枫世的廿算，涉及定枳分在求面枳中的应用，关进是正彌卄算出阴影跚 分的面枳考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专趣：计算题.分析：要求曲8y=x, y=x3围应的討阳图形面枳,根据定稅分的几何意义,只要求/o1(x2-Xs) dxU 可.解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是(1, 1), (0, 0)故枳分区间是0, 1X 1 - A X l-所求封闭图形的面枳为丿oUx2 x3)dx=3 4 12,故选A.目评：本题考査定枳分的星胡知识，由定枳分求曲线围戒封闭图形的面枳.x2, xE 0, 13设f（x）=l2_x圧（1，2,因数图象与x抽围成討ffl区域的而枳为（ ）A.3

16、B. 4 C. _5 D. _64 5 6 7考点：分段函数的解折貳*法及其图象的作法；因数的图象；定枳分在求面枳中的应 用.501974专趣：计算題；数形结合.分析利用坐标系屮作出函数图象的形状，通过定枳分的企貳，分别对两部分用定枳分求出 其面枳，再把它们|加，即可求出围戒的封用区域曲血图形的面枳.故选C自评：本題考査分段因数的图象相定枳分的运用，考查枳分与曲ii图形面枳的关系，属干中 時題解題关邃是找出被枳函数的原函数，注恿运算的准确性考点：定枳分；傲枳分基本定理；定枳分的简单应用.501974专题:廿算臥分析：由題设条件，求岀被枳函数的原函数，然后根掘槪枳分基本定理求岀定枳分的值即可.

17、解答： r2 (2x+-) dx解: 1 X = ( x2+lnx ) |i2= ( 22+ln2 ) - (12+ln1 ) =3+ln2故选B.Sih本題考査求定枳分，求解的关建是拿常住定枳分的定义及相关因数的导数的求法，属 于基胡題考/定枳分；定枳分的简单应用.501974专題：计算臥分析：味立由曲S y=x2fn曲找X仮两个解桥貳求出交点坐林，然后在XG(0, 1)区间上利用定枳分的方法求出围应的面枳即可.(x=l (x=0 解得(尸1或ty=o,设曲线与頁线围应的面枳力s,_1囲 s= J o1 (Vx-X2) dx=3故选：C目评：考查学生求因数交点帝法的能力，利用定枳分求图形而枳

18、的能力.J 2 开(x+cosx) dx6. 一 =()A. Ti B. 2考fi： a枳分基本定理；定枳分的简单应用.501974专题:计算臥分析： 1由于 F ( x ) = 2x2+sinx 为 f ( x ) =x+cosx 的一个原函数即 F ( x )二f ( x ), ffi 据 J ?f ( x ) dx=F (x)公氏即可求出值.解苔： 1解：( 2x2+sinx) =x+cosx,=(2x2+sinx ) 2=2.故笞案为:2.点评：此題考査学生拿捋函数的求导法则，会求因数的定枳分运算，是一道基就臥7.已知函 at (x)的定艾域为-2, 4, flf(4)=f( - 2)

19、=1, f(x ) f(x)的导函数,函数y=f* ( x )的图象如图所示，则平面区域f ( 2a+b ) 1 (a5：0f bMO)两围成的面枳是考点:定枳分的简单应用.501974分ffi： ffilg导函数的图象，分桥原函数的性喷或作出原函数的草图，找出a、b満足曲条件, 画出平面区域，即可*解.解答2解:由图可知2, 0)上f (x) o,因数f (x)在(0, 4上单调递增,故在2, 4上，f(x)的最大值为f ( 4 ) =f (2)=1,r-22a-Hb0.-.f ( 2a+b ) b0表示的平而区域如图所示：故选B.Sih本題考査了导数与函数单燜It的关系及找性规则问题的绘台

20、应用，属干高苗題解 决时要注意数形结合思想应用.28.j 01exdx与J o*ex dx相比有关系式(C.z(f 01exdx ) 2= f 01ex dx考点:定枳分的简单应用;定枳分.501974专题：计算亂分析： 2根据枳分所表示的几何意义是WiSx=0,x=1及函9y=ex或y=e 在图象第一象限 岡W与坐标轴围成的面枳，只需酉出函数图象规察而枳大小即可.解皐解:/Mix表示的几何意义是WSSx=0, x=1及函fiy=ex在图象第一象限职与坐 标轴围成的面枳,Joex dx表示的几何豆义是111 x=0, x=1及函 y=ex 在图象第一象限同* 与坐标箱囲成的面枳,如因2 2当

21、0 x e“ ,故有：j o exdx f 01e dx故选B.定枳分运算是求导的逆运算，解題的关邃是求原因数，也可 u于基雷題.J r sinxdx |9.若圧 T , b= ； Ocosxdx , H a与b的关系是( )A. a b C. a二b D. a+b=O考点：定枳分的简单应用.501974 专題：计算臥cos114.6=sin24.6,b=0cosxdx =sinx I 0=Sjn1 - sin0=sin1 -sin57.3,b a.故选A.Sih本题考査定枳分的应用，是基础題.解题时娶汰真审題，仔细解答.考点：定枳分的简单应用.501974专题：计算題.分桥：根据枳分两表示的

22、几何意义是以(1,0 )为岡心，1为半径第一象限岡与施物裁XX? 在第一象限的跚分坐标轴围应的面枳，只需求出風的面枳秦以呱分之一与Uft物我在第 一象限的部分与x轴flisx=i围成的图形的面枳即可.解答：解；枳分所表示曲几何意义是1(1, 0 )为風心，1为半径第一象限同扳与施掏找y=x? 在第一象限的跚分坐标轴围应的面枳，故只需求出岡的而枳秦以呱分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和頁线x=1围应 的图形的面枳之差.I 仃 7T 、勺 7T 1 3 1 1即打(Ji匸17巨-恭)d*=E.瑞/djz.gx iLt_i 故苔案选A目评：本題主要考查了定枳分，定枳分运算是*导的逆运算，解題的关

23、邃是求原因数，也可 利用几何意义怖求R, BT 18考点:定枳分的简单应用.501974专題：廿算臥分析：由于因数力分段函数，枚将枳分区同分为两部分，进而分别求出祁应的枳分，即可得 到结论.解答：解 ：S pf (x) dx= s Jxdx+ / ( - ex) dx_x2 丨| 寺- /+e 故选C.点评：本題車点考查定枳分，解趣的关址是將枳分区冋分为两部分，再分别求出相应的枳分.12.B fflf(x)=2-|x|, H ； -lf 3)dx=()A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5由題意，匹山二j匕1(2+Q如凭(2-气由就可求定枳分的 E.解： 由 題 意，J 3 f (x)

24、 dx= J 11 (2+x) dx+ q(2 x) dx _ ( )| j 十(2x-丄2 11 2X 丿 I 也2 2+4 2=3.5故选C.点本題考查定枳分的it算，解題的关扯是利用定枳分的性质化为两个定枳分的和.评：13.设 f ( x ) =3 |x1|,呱 J / (x)dx=( )A. 7 B. 8 C. 7.5 D. 6.5考点:定枳分的简单应用.501974专趣：廿算臥分析：J / (x)dx=/ *(3|x1|)dx,将 J* (3 |x1|)dx 转化成丿(2+x ) dx+ / ,2(4x)dx,然后根曾定枳分的定义先求岀被枳函数的原函数，於后求解即可.解苔： 丄，解：

25、J 22f ( x ) dx= J -22 ( 3 - |x -1|) dx= f 2 ( 2+x ) dx+ f i2 ( 4 - x ) dx= ( 2x+ 2x2) | 丄2+ ( 4x- 2X2) h2=7故选A.fii?：本趣壬要考查了定积分，定枳分运第是求导的逆运算，同时考査了转化与划IH的思想， 属于SMg.14.枳分 -aVa2 x2ixD.考点：定枳分的简单应用;定枳分.501974专題：计算臥分析： J 2 _2本蝕利用定枳分的几何意艾it算定枳分，即求被枳因数x与x轴所围成的 图形的面枳,围成的图象是半个亂解苔： ra a/ 2 - av解：禺稠定枳分的几何意艾，则-aV

26、a x dx表示岡心在原点，半径为3的岡 的上半同的面枳，故J爲需F嗨3兮兀/故选B.fiih本小題主要考查定枳分、定枳分的几何意义、岡的面枳等基罐知识，考查考査数形结合思亂属于基妣題15.巳知因数 1一齢1, 0xl的图象与x轴所围成图形的面枳为（ ）A. 1/2 B. 1 C. 2 D. 3/2考点:定枳分在求面枳中的应用.501974专題：廿算题.分析：根据几何图形用定枳分表示岀所围成的封闻图形的面枳，求岀函数f（x ）的枳分，求 岀所求即可.解 i J 彳（-x+1） dx+ J jt cosxdx解：由題意图象与X轴所围戒图形的面枳为 一厅=( 2* +x ) |0+sinx 21=

27、2+1=2点评：本題考査定枳分在求面枳中的应用，求解的关邃是正确利用定枳分的运算规则求岀定 枳分的值，本题易因力对两个知识直不熟悉公述用猜而导致錯误，牢固拿捋好基隅知 识很車雯.3兀16.由因数y=cosx（0wxw2ii）的图象与頁线“巳及yT两围成的一个齐闭图形的而枳 是（ ）A. 4 B. 3兀- C.兀 * D. 考点:定枳分在求面枳中的应用.501974 专題:计算题.分: 丫由题意可知函数*COSX(0WXW2ti)的图象与頁线2及y卄围成的一个封囲图 竺9形可利用定枳分进亍廿算，只要求门 (1-cosx ) dx I!P nJ.然后根据枳分的运算 公式进行求解即可.解答： _3兀解：由函数0cosx(owxw2ii )的图象与ISX=g y=1 围成的一个封用图形的 面枳，3打 3尺2 9就是：f c (1 - cosx ) dx= ( x - sinx ) |cSih本题考査余弦因数的图象，定枳分，考查廿算能力，解題的关进是两挟封冈图形的面 枳之和规是上跚頁接枳分騷去下跚枳分.17.曲Sy=x3在点(1, 1) ft的幼找与x轴员直线xT所围成的三角形的而枳为( )A. 1