一元二次方程提升专题培训含问题详解.docx

1、一元二次方程提升专题培训含问题详解第三讲：一元二次方程的综合应用（10月5日）1如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）A B C D2如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A32 B126 C135 D1443如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A21cm2 B16cm2 C24cm2

2、 D9cm24如果关于x的方程（m2）x22（m1）x+m=0只有一个实数根，那么方程mx2（m+2）x+（4m）=0的根的情况是（）A没有实数根 B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根 D只有一个实数根5若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程x2+（ab）x+c2=0的根的情况是（）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定6已知，是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=1，则m的值是（）A3 B1 C3或1 D3或17若ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b25b+6=0，c25c+6=0，则ABC的周长为

3、（）A9 B10 C9或10 D8或9或108已知2+1=0，2+1=0，且，则+的值为（）A2 B2 C1 D09若ab1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2+的值为（）A B C D10设a，b是方程x2+x2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2006 B2007 C2008 D200911设，是方程x2+9x+1=0的两根，则（2+2009+1）（2+2009+1）的值是（）A0 B1 C2000 D4 000 00012若x1、x2是关于x的方程x2+bx3b=0的两个根，且x12+x22=7那么b的值是（）A1 B7 C1或7 D7或113如果关于x

4、的方程x22（1k）x+k2=0有实数根、，则a+的取值范围是（）A+1 B+1 C+ D+二解答题（共3小题）14等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D设P点运动时间为t，PCQ的面积为S（1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论15某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，

5、预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元（1）填表：（不需化简）时间 第一个月第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？16已知x1，x2是一元二次方程4kx24kx+k+2=0的两个实数根（1）是否存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）=成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由 （2）求使+2的值

6、为整数的实数k的整数值17已知关于x的方程x2（2k+1）x+4（k）=0（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求ABC的周长18阅读材料：已知p2p1=0，1qq2=0，且pq1，求的值解：由p2p1=0及1qq2=0，可知p0，q0 又pq1，1qq2=0可变形为的特征所以p与是方程x2x1=0的两个不相等的实数根 则，根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答已知：2m25m1=0，且mn求：的值参考答案与

7、试题解析1如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）A B C D【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b【解答】解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，b2b1=0，b=，而b不能为负，b=故选B【点评】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题2如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出

8、33个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A32 B126 C135 D144【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可【解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，

9、16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144故选：D【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键3如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A21cm2 B16cm2 C24cm2 D9cm2【分析】本题可设AB=xcm，AD=（10x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10x）

10、2cm2，进而结合题意，可列出方程，求得答案【解答】解：设AB=xcm，AD=（10x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10x）2cm2，根据题意得x2+（10x）2=68整理得x210x+16=0解之得x1=2，x2=8所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，综上可求矩形ABCD的面积是16cm2故选B【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，在利用一元二次方程解决实际问题时，要根据实际问题对解进行取舍4如果关于x的方程（m2）x22（m1）x+m=0只有一个实数根，那么方程mx2（m+2）x+（4m）=0的根的情况是（）A没有实数根 B有

11、两个不相等的实数根C有两个相等的实数根 D只有一个实数根【分析】由关于x的方程（m2）x22（m1）x+m=0只有一个实数根，则它为一元一次方程，所以m2=0，即m=2；把m=2代入方程mx2（m+2）x+（4m）=0得2x24x+2=0，并且可计算出=0，由此可判断根的情况【解答】解：关于x的方程（m2）x22（m1）x+m=0只有一个实数根，m2=0，即m=2，则方程mx2（m+2）x+（4m）=0变为：2x24x+2=0，=42422=0，所以方程有两个相等的实数根故选C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）根的判别式当0，方程有两个不相等的实数根；

12、当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元一次方程和一元二次方程的定义5若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程x2+（ab）x+c2=0的根的情况是（）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定【分析】先求出=b24ac，再结合a，b，c为三角形的三边，即可判断根的情况【解答】解：x2+（ab）x+c2=0，=b24ac=（ab）2c2=（abc）（ab+c）a，b，c为三角形三边，b+ca，a+cbabc0，ab+c0（abc）（ab+c）0，即二次方程x2+（ab）x+c2=0无实数根故选C【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用

13、及三角形三边的关系6（非课改）已知，是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=1，则m的值是（）A3 B1 C3或1 D3或1【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和+=1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值【解答】解：根据条件知：+=（2m+3），=m2，=1，即m22m3=0，所以，得，解得m=3故选A【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没

14、有实数根2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=7若ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b25b+6=0，c25c+6=0，则ABC的周长为（）A9 B10 C9或10 D8或9或10【分析】由于两边b、c分别满足b25b+6=0，c25c+6=0，可求出b，c的值，而ABC的一边a为4，由此即可求出ABC的一边a为4周长【解答】解：两边b、c分别满足b25b+6=0，c25c+6=0，解得：b=3或2，c=2或3，ABC的一边a为4，若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3ABC的周长为4+3+3=1

15、0若bc，ABC的周长为4+5=9故选C【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周长结合起来，利用三角形三边关系得出是解题关键8已知2+1=0，2+1=0，且，则+的值为（）A2 B2 C1 D0【分析】由于2+1=0，2+1=0，且，所以，是方程x2+x1=0的两个根，则+=1，=1，代入+即可求出其值【解答】解：2+1=0，2+1=0，且，是方程x2+x1=0的两个根，则+=1，=1，代入+=11=2故选B【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法9若ab1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2+的值为（）A B C D【分析】根据已知条

16、件“若ab1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0”知，、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；然后根据韦达定理求得x1x2=2，即b=2，a=；再将其代入所求的代数式求值即可【解答】解：2a2+5a+1=0，+5+2=0；又b2+5b+2=0，、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；由韦达定理，得x1x2=2，即b=2，a=；2+=2+=故选A【点评】此题主要考查了根与系数的关系、二次根式的化简求值解答此题时，不要忽视了条件ab1若在方程2a2+5a+1=0的两边同时乘以2时，那么2a、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根，

17、则ab=110设a，b是方程x2+x2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2006 B2007 C2008 D2009【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解【解答】解：a是方程x2+x2009=0的根，a2+a=2009；由根与系数的关系得：a+b=1，a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=20091=2008故选：C【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形11设，是方程x2+9x+1=0的两根，则（2+200

18、9+1）（2+2009+1）的值是（）A0 B1 C2000 D4 000 000【分析】欲求（2+2009+1）（2+2009+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（2+2009+1）（2+2009+1）=（2+9+1+2000）（2+9+1+2000），再利用根与系数的关系代入数值计算即可【解答】解：，是方程x2+9x+1=0的两个实数根，+=9，=1（2+2009+1）（2+2009+1）=（2+9+1+2000）（2+9+1+2000）又，是方程x2+9x+1=0的两个实数根，2+9+1=0，2+9+1=0（2+9+1+2000）（2+9+1+2000）=2000200

19、0=20002000，而=1，（2+9+1+2000）（2+9+1+2000）=4 000 000故选D【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法12若x1、x2是关于x的方程x2+bx3b=0的两个根，且x12+x22=7那么b的值是（）A1 B7 C1或7 D7或1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=根据x12+x22=（x1+x2）22x1x2代入数值列出方程解即可【解答】解：x1、x2是关于x的方程x2+bx3b

20、=0的两个根，得x1+x2=b，x1x2=3b又x12+x22=7，则（x1+x2）22x1x2=b2+6b=7，解得b=7或1，当b=7时，=49840，方程无实数根，应舍去，取b=1故选A【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法13如果关于x的方程x22（1k）x+k2=0有实数根、，则a+的取值范围是（）A+1 B+1 C+ D+【分析】由于关于x的方程x22（1k）x+k2=0有实数根、，则判别式0，由此可以确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定a+的取值范围【解答】解：a=1，b=2（1k），c=k2，=b24

21、ac=2（1k）241k20，k，a+=2（1k）=22k，而k，+1故选A【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法14等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D设P点运动时间为t，PCQ的面积为S（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S

22、=QCPB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答【解答】解：（1）当t10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10t当t10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t10（4分）（2）SABC=（5分）当t10秒时，SPCQ=整理得t210t+100=0无解（6分）当t10秒时，SPCQ=整理得t210t100=0解得t=55（舍去负值）（7分）当点P运动秒时，SPCQ=SABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改

23、变证明：过Q作QMAC，交直线AC于点M易证APEQCM，AE=PE=CM=QM=t，四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半又EM=AC=10DE=5当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解15某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但

24、最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元（1）填表：（不需化简）时间 第一个月第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；（2）利用“获利9000元”，即销售额进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍【解答】解：（1）80x，200+10x，800200（200+10x）时间 第一个月第二个月 清仓时 单价（元） 8

25、0 80x 40 销售量（件） 200 200+10x 800200（200+10x）（2）根据题意，得200（8050）+（200+10x）（80x50）+（40010x）（4050）=9000整理得10x2200x+1000=0，即x220x+100=0，解得x1=x2=10当x=10时，80x=7050答：第二个月的单价应是70元【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价进价16【分析】（1）根据已知方程有两个实数根，那么0，可得k的范围，由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2

26、=1，x1x2=，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1x2）（x12x2）=中，进而可求k的值；（2）由x1，x2是一元二次方程4kx24kx+k+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，将+2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x1+x2与x1x2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值【解答】解：（1）x1、x2是一元二次方程4kx24kx+k+2=0的两个实数根，=16k244k（k+2）=32k0，且4k0，解得k0；x1、x2是一元二次方程4kx24kx+k+2=0的两个实数根，x1+x2=1，x1x2=，（

27、2x1x2）（x12x2）=2x124x1x2x1x2+2x22=2（x1+x2）29x1x2=2129=，若=成立，解上述方程得，k=，k0，则k=不成立，不存在这样k的值（2）x1，x2是一元二次方程4kx24kx+k+2=0的两个实数根，x1+x2=1，x1x2=，且16k216k（k+2）0，即k0，+2=2=2=2=，由此式子的值为整数，得到k=5，3，2，0，1，3k0，k=5，3，2【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用17已知关于x的方程x2（2k+1）x+4（k）=0（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求ABC的周长【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可（2）两实数根互为相反数，让=0即可求得k的值