线材切割问题最优方案及对策探讨.docx

1、线材切割问题最优方案及对策探讨数学建模论文 题目：线材切割问题最优化方案探讨 院系:数理学院 专业：数学与应用数学班级：数学091 ：奎 学号：30908011322011/5/20摘要 本文讨论多线材切割问题，通过整数规划建立数学模型来解决线材切割的需要，使得线材利用率提高，减少浪费。 首先，我们分析了某根线材的切割方案和实行切割方案，遵循“全部用完，没有剩余的原那么，从而确定了多线材切割一般模型来得到线材切割的最优设计方案。其次，我们采取了三种模型：1.某根线材的切割方案模型。确定一根线材的几种最优切割方案，做到单根线材的最正确优化。2.实行切割方案的模型。要求花费原材料最少，即要求做到方

2、案组合的最正确优化。3.多线材切割方案的一般模型。通过对某根线材切割方案和实行切割方案的分析，建立线材切割的一般模型，得到最优化设计方案。最后，我们对所设计的模型进展了讨论。关键词语：多线材切割 整数规划 数学模型 最优化方案一、问题重述3二、问题假设4三、符号说明4四、建立模型44.1某根线材的切割方案模型44.2实行切割方案的模型64.3 实行切割方案模型的求解64.4 结果分析74.5 多线材切割一般模型的建立7五、模型的分析与讨论8六、线材切割问题的几点建议9七、参考文献10八、附录11一、问题重述在很多工程领域，都有线材切割问题。这一问题可表述为:设能购置到的不同长度的原线材有m种，

3、长度分别为L1,.,Lm，这些原线材只是长度不同，其它都一样。某工程中所要切割出的线材长度分别为li,i=1,2,.,n(这里 li 所有Li)，对应数量分别为Ni,i=1,2,.,n。设计优化计算方案，求出分别需要购置多少根不同长度的原线材,并能给出切割方案及线材利用率。 现假设某装修工程中需要对铝合金线材进展切割，工程能购置到的同一规格的铝合金线材有二种长度，一种长度是8米，另一种是12米。现在假设要切割长度和数量如下所示的铝合金线材： 编号长度(单位:米) 数量(单位:根) - 1 6.20 90 2 3.60 120 3 2.80 136 4 1.85 310 5 0.75 2156

4、0.55 320应用所设计的计算方案，请问至少需要购置多少根8米和12米的线材，使浪费的线材比较少，并给出切割方案和计算线材利用率。二、问题假设1.两种线材单位长度的价格是固定的。2.货源充足。3.在切割过程中不会出现人为造成的材料损失。三、符号说明1.Li:第i种原材料的长度。2.lj:所需的第j种成品线材的长度。3.Nj:所需的第j种成品线材的数量。4.Xij:第i种线材被实行第j种切割方案的次数或该方案本身。5.aj:某根线材切割出编号为j的线材成品数量，aj为整数。四、建立模型4.1某根线材的切割方案。确定一根线材的几种最优切割方案。第一，要保证有一种切割方案能够切割出所需的第j种线材

5、成品。第二，要遵循每根线材余料最少的原那么，要求做到单根线材的最正确优化。模型M1某根8m线材的切割方案模型：min=8-6.20a1-3.60a2-2.80a3-1.85a4-0.75a5-0.55a6;s.t.某根12m线材的切割方案模型:min=126.20a1-3.60a2-2.80a3-1.85a4-0.75a5-0.55a6;s.t.在Lingo中执行以上程序，分别得出12种切割方案，见表4.11和表4.12表中空白处表示0表4.11 某根8m线材的切割方案方案a1a2a3a4a5a6余料/mX11130.15X12210.05X132110X14410.05X15750X1675

6、0表4.12 某根12m线材的切割方案方案a1a2a3a4a5a6余料/mX21 1140X2211150X23130X2411150X251140X2612310从表4.11中可以看出，方案X15和X16一样，因此可将切割方案归为五种。从表4.12中可以看出，方案X21和方案X25一样，方案X22和X24一样，因此可将切割方案归为四种。将两种情况总结起来，可得到如表4.13所示的切割方案。表4.13 某根线材的切割方案方案a1a2a3a4a5a6余料/m 某根8m线材的切割方案X11130.15X12210.05X132110X14410.05X15750某根12m线材的切割方案X21114

7、0X2211150X23130X24123104.2实行切割方案的模型。 实行切割方案，第一，要求完成切割任务。第二，要求花费原线材最少，即要求做到方案组合的最正确优化。 实行切割方案模型 M2minZ=8+12s.t.4.3 实行切割方案模型的求解 在Lingo中求解，得到结果如表4.14所示。表 4.14 各种方案的执行情况X11X12X13X14X15X16X17X18X1961564367529053min=2300m因此，我们得到结论：a.需要购置8m线材的数量为=232根，其中有61根采用方案X11；56根采用方案X12；43根采用方案X13；67根采用方案X14；5根采用方案X1

8、5。b.需购置12m线材的数量=37根，其中有29根采用方案X21；5根采用方案X23；3根采用方案X24。采用上述方案的实际利用线材的总长为2281.55m,线材的利用率为2281.55/2300=99.20%。4.4结果分析经分析可知，执行上述切割方案后，实际得到所需各种线材的数量见表4.15。表4.15 实际得到各种成品线材的数量长度/m6.203.602.801.850.750.55数量/根90120136311216321从表4.15中可知，长度分别为1.85、0.75、0.55的线材均比实际要求多出1根，由此造成的浪费为3.1m，而总的浪费为23002281.55=18.45m。可

9、见余料是造成线材浪费的主要原因，而这种浪费是不能完全消除的。该问题中，线材的实际利用率到达99.20%，相对是一个很高的利用率。因此这种方案对解决此类问题是可行的。我们可以将其扩展到一般情况，建立一般模型。4.5多线材切割一般模型的建立。某根线材切割方案的一般模型：模型 M3min=Lii=1,2,，m实行切割方案的一般模型：模型 M4min= s.t.五、模型的讨论一、本次建模模型使用lingo进展操作。lingo可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最正确选择。其特色在于置建模语言，提供十几个部函数.二、主要任务是建模的过程，然后由

10、lingo软件进展规划。因为要求得最少的原材料根数，考虑到“全部用完，没有剩余的原那么，首先将切割后没有剩余的情况全部列出，利用lingo软件求出最优结果。三、本次建模设计采用整数规划，整数线性规划数学模型。本模型经过两次优化，但第二次优化是在第一次优化的根底上进展的，是对单根线材局部切割方案组合的优化，而不是对所有方案的最正确优化。采用这种方法，减少了可能的方案，在一定程度上减少了计算量，同时使得具体切割方案易于实行。六、线材切割问题的几点建议(1)实施少量屡次加工。少量、屡次切割可使加工工件具有单次切割不可比较的外表质量，是控制和改善加工工件外表质量的简便易行的方法和措施。2合理安排切割路

11、线。该措施的指导思想是尽量防止破坏工件材料原有的部应力平衡，防止工件材料在切割过程中因在夹具等作用下，由于切割路线安排不合理而产生显著变形，致使切割外表质量下降。(3)正确选择切割参数。对于不同的粗、精加工，其丝速、丝的力和喷流压力应以参数表为根底作适当调整，为了保证加工工件具有更高的精度和外表质量，可以适当调高线切割机的丝速和丝力，虽然制造线切割机床的厂家提供了适应不同切割条件的相关参数，但由于工件的材料、所需要的加工精度以及其他因素的影响，使得人们不能完全照搬书本上介绍的切割条件，而应以这些条件为根底，根据实际需要作相应的调整。(4)注意加工工件的固定。当加工工件行将切割完毕时，其与母体材

12、料的连接强度势必下降，此时要防止因加工液的冲击使得加工工件发生偏斜，因为一旦发生偏斜，就会改变切割间隙，轻者影响工件外表质量，重者使工件切坏报废，所以要想方法固定好被加工工件。七、参考文献1 数学建模及典型案例分析 志林 欧宜贵 编著 化学工业2 数学建模与数学实验 静 但琦 主编 高等教育3 数学建模第三版启源，金星，叶俊编著高等教育出版4基于MCGS组态软件线材切割控制系统旭; 鹏; 霞;ASPT来源刊CJFD收录刊5 运筹学与最优化方法 吴祈宗 ：机械工业，2005 八、附录1)设计方案X11和X21的程序。 model：min=86.20*a13.60*a22.80*a31.85*a4

13、0.75*a50.55*a6；6.20*a1+3.60*a2+2.80*a3+1.85*a4+0.75*a5+0.55*a6=1；endmodel：min=126.20*a13.60*a22.80*a31.85*a40.75*a50.55*a6；6.20*a1+3.60*a2+2.80*a3+1.85*a4+0.75*a5+0.55*a6=1；end2求解最优实行方案的程序。Model：min=8*(X11+X12+X13+X14+X15)+12*(X21+X22+X23+X24)；X11+X21=90；2*X12+X22+X23+X24=120；2*X13+X22+3*X23+X21+2*X

14、24=136；X13+4*X14+X22=310；X12+7*X15+4*X21+5*X22+3*X24=215；3*X11+X13+X14+5*X15+X24=320；gin(X11)；ginX12；ginX13；ginX14；ginX15；ginX21；gin(X22)；ginX23；ginX24；3运行最优实行方案程序的结果。Global optimal solution found at iteration： 260Objective value： 2300.000 Variable Value Reduced Cost X11 61.00000 8.000000 X12 56.00000 8.000000 X13 43.00000 8.000000 X14 67.00000 8.000000 X15 5.000000 8.000000 X21 29.00000 12.00000 X22 0.000000 12.00000 X23 5.000000 12.00000 X24 3.000000 12.00000