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1、ST4授 課 目 錄 第1章 導 論第2章 統計資料的整理與描述第3章 機率導論第4章 常用的機率分佈與統計分佈第5章 描樣方法與描樣分佈第6章 統計估計第7章 統計檢定第8章 變異數分析第9章 相關分析與迴歸模式第10章 無母數統計檢定第11章 類別資料分析-列聯表與卡方檢定第四章 常用的機率分佈與統計分佈 一組樣本資料常呈現某種特殊型式的機率分配。當獲得母體的樣本資料時，須從各種機率分佈當中，選擇出最接近該母體的機率分佈，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。 常用的機率分佈有：離散型與連續型二大類。4.1 離散型機率分佈離散型機率分佈(p)-常見有二項分佈、卜氏分佈、離散型均勻分佈

2、、超幾何分佈。若一隨機實驗只有成功和失敗兩種結果，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。令隨機變數x = 1代表成功的事件，x = 0代表失敗的事件，此稱隨機變數X服從白努利分佈(Bernoulli Distribution)。x10P(x)p1-pEX1p0(1-p)VX=EX2-(EX)2p(1-p)p(x) = P(X=x) = px(1- p)1-x(1) 二項分佈(Binomial)-執行n次白努利隨機試驗，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。通常以隨機變數XB(n, p)表示。其機率密度函數與累積分佈函數為： p(x) = C(n, x) px (1-

3、p)n-x x =0, 1,n (4.1) F(x) =xk =0C(n, k) pk (1-p)n-k (4.2)其期望值與變異數為： EX = np VX =np(1-p) 二項式分佈當n很大或p接近0.5時呈常態分佈，np接近1 Peak Out，p0.5右偏， p0.5左偏 Excel : pp. 99-100, Bernoulli Distribution pp. 101-110, Binomial Distribution範例、致遠管理學院約有40%的學生喜歡打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問(a) 此學生喜歡打籃球的期望值與變異數? (b) 隨機機訪問5個學生，此5個均喜歡打籃球

4、的期望值與變異數? 有2個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 至少有3個喜歡打籃球的期望值與變異數?SOL：公式、查表、Excel(binomdist(x,n,p,true)(a) 令隨機變數X代表喜歡棒與否，則(注意:N/Y)EX = p = 0.4 VX = p(1-p) = 0.24(b) 令隨機變數X代表喜歡棒的人數，則(注意:人數)EX = np = 5* 0.4 = 2 VX = np(1-p) = 1.2 P(X=2) = C(5,2)(0.4)2 (0.6)3 = 0.346 /binomdist(2,5,0.4,false)/ P(X 3) = 1- P(X 2) = 0.317

5、 /1-binomdist(2,5,0.4,true)/範例、工管系期末考統計學出20題選擇題(4選1)，每題5分。某學生採完全以猜的方式作答，試問(a) 此學生答對數的期望值與變異數? (b) 此學生期末考統計學分數的期望值與變異數? (c) 此學生考及格的機率? (d) 此學生最多考40分的機率? SOL：公式、查表、Excel(a) 令隨機變數X代表此學生答對題數，則(注意:題數)EX = np = 20* 1/4 = 5 VX = np(1-p) = 3.75 (b) 分數期望值(注意:分數)E5X = 5EX = 25 V5X = 25*3.75 = 93.75 (c) 此學生須答對

6、12題以上才能及格，因此， P(X 12) = 1- P(X 0 (4.10) F(x) = 1- e-x/ (4.11) 其期望值與變異數為： EX= VX = 2 範例、工管系舉行迎新烤肉活動，地點是曾文水庫。歸來時大家快樂的走到候車亭等往麻豆的台南客運。不巧，同學們剛到候車亭時，車子正好剛開走。康樂股長看看站牌上寫著：往麻豆班車平均每20分鐘開一班。 (a) 同學們最多再等10分鐘之機率? (b) 超過30分鐘之機率?SOL：公式、查表、Excel令隨機變數X代表台南客運到達時間間距，XExp() = Exp(20)，則(a) F(x) = P(x 10) = 0.39 /=expond

7、ist(10,1/20,true)/ (b) P(x 30) = 0.2231 /=1-expondist(30,1/20,true)/(3) 常態分配(Normal )應用最廣的機率分配，其貼切地模式化或描述很多自然現象或社會科學實例。通常以隨機變數XN(,2)表示。其機率密度函數與累積分配函數為： -, 0 (4.12) (4.13)其期望值與變異數為：EX = VX = 2 常態分配具有以下各項特性：(a) 是一以平均值為中心線，呈左右對稱鐘狀圖形的分配。愈大，分配偏離中心愈遠，曲線圖愈平緩。(b) 母體的平均值、眾數、中位數均相同值。(c) 機率分配函數圖形向曲線中心的兩端延伸，該漸趨

8、近橫軸(即機率函數值遞減)。 通常將其XN(, 2)標準化。標準化過程是令Z=(X-)/ 則ZN(0, 1)，又稱Z分配。標準常態機率密度函數, -x (4.14)標準常態分配之期望值與變異數為： EX = 0, VX = 1 範例、工管系期末考統計學成績，經整理得知具有N(50,16)，試問成績於5060的人數，大概佔所有參加考試人數的比例為多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變數X代表考試成績，其具有N(50,16)，則P(50 X 60) = P(50-50)/4 (x-50)/4(60-50)/4=0.494 /=normdist(60,50,4,true)-normdist(

9、50,50,4,true)/範例、工管系某品管實驗，經整理資料得知具有N(0.3,0.012)，老師規定此實驗規格應為0.30.02之間才合格。試問此實驗不合格的比率有多少?SOL：公式、查表、Excel令隨機變數X代表實驗資料，其具有N(0.3,0.012)，則P(0.28x0.32)=P(0.28-0.3)/0.01(x-0.3)/0.01(0.32-0.3)/0.01=0.9544/=normdist(0.32,0.3,0.01,true)-normdist(0.28,0.3,0.01,true)/(4) 伽瑪分配Gamma Distribution如隨機變數X，具有以下的機率密度函數，

10、則該分配稱之為伽瑪分配： (4.15) 其中、是伽瑪分配的參數，其值均大於0。Where the gamma function is defined as: 伽瑪函數將被運用到數個統計量分配-Chi-Square, t, F Distribution。4.3常用的統計分配 如何將樣本資料x1, x2,xn推估母體參數(, 2)，此種由抽樣資料推論母體的長像，統計上稱為統計推論。為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體(,2)。從母體中抽取數個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統計量，而樣本統計量所服從的機率分配則稱之為統計分配，亦稱抽樣分配(Sampling Distribution

11、)。常用的統計分配有常態分配，t分配，卡方分配，F分配等。 統計推論的目的係利用樣本裏的資訊對母體作結論，所採之方法為隨機樣本，即倘母體有N個元素而抽出n個樣本，所有的C(N, n)個可能樣本中的每一個被選中的機率均相等，亦稱隨機抽樣(Random Sampling)。樣本統計量： 集中趨勢統計量-平均數。 離散趨勢統計量-變異數與標準差等。=(x1 + x2 + + xn)/n = (ni =1 xi)/nS2=ni =1 (xi-)2/(n-1)， (ni =1 (xi-)2：Sum Square)常用統計分配：(1)常態分配上述已定義過常態分配，主要是用來說明隨機變數的分佈狀況。而在統計

12、應用上，常態分配是用來推論與檢定母體的特徵值。如，以樣本平均值去推論，其中的統計分配即常態分配。大數法則 從同一母體隨機抽取出n個樣本，當n很大時，則由樣本算出的樣本平均值會接近母體平均數，即 (n) (E= )中央極限定理19世紀法國學數家Pierre Simon de Laplace(1749-1827)所提出。他是從觀察到量測誤差有常態分配的趨向而得到此定理。樣本平均數大都趨近於常態分配。中央極限定理的精神：從任何以期望值，變異數2的母體中，隨機抽出n個樣本x1, x2,xn且x =x1+x2+xn，則樣本平均值將會趨近於標準常態分配。 (4.16)其中/n1/2稱之為標準誤(Stand

13、ard Error)；2/n變異誤(Error Variance)。範例、致遠管理學院女學生平均身高為160cm，標準差為9cm；茲隨機抽取36位女學生，試問平均身高大於160cm而小於162cm的機率有多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變數代表隨機抽取36位的平均身高，即=160, / n1/2 = 9/(36)1/2=1.5，則P(160 162) = P(160-160)/1.5 (-160)/1.5(162-160)/1.5=0.4082/=normdist(162,160,1.5,true)-normdist(160,160,1.5,true)/範例、致遠管理學院學生選修科

14、技與人生人數服從二項分配B(n, p= 0.07)，為了避免選修該課程的人數過多，影響教學品質，倘選修的人數超過80人則開2班上課。試問本學期有1000人可選此門課，則此門課開2班上課的機率有多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變數X代表選修該課程的學生人數，則 P(X80)=1-binomdist(79,1000,0.07,true)= 0.1207另應用中央極限定理，因EX=np=70、VX=np(1-p)=65.1，則 P(X80)=P(X-70)/(65.1)1/2 (80-70)/(65.1)1/2=0.1075(2)卡方分配(Chi-Square)一個可用常態隨機變數來定義

15、的重要的抽樣分配就是卡方分配(2)。倘z1, z2,zk為k個獨立且相同分配的常態隨機變數，期望值0且變異數1，簡記為NID(0,1)(Normally and Independently Distribution)，隨機變數 x = z12+z22+zk2，即會依循自由度為k的卡方分配，其機率密度函數。通常以隨機變數X 2k表示。卡方機率密度函數，0 x (4.17)The gamma function is defined as: 其期望值與變異數為：EX = k VX = 2k卡方分配是不對稱的統計分配，其對應的機率分配隨著自由度k而有所不同。假設x1, x2,xn是一個來自N(, 2)

16、分配的隨機樣本。則其平方和除以2後就依循卡方分配。SS/2= ni =1 (xi-)2/2= 2n-1 另S2=ni =1 (xi-)2/(n-1) = SS/(n-1)= 2/(n-1)2n-1 S2的分配為2/(n-1)2n-1。故樣本變異數的抽樣分配為一個常數乘以卡方分配。如下圖，卡方分配(k =1, 5, 15) 假設隨機變數X 2n-1，定義2,n-1為自由度(n-1)之卡方分配其右邊(累積)機率等於的臨界值，即P(X 2n-1)= ，則P(X 21- /2,n-1)= 1- /2， 及 P(21- /2,n-1 X 2/2,n-1)= 1- = 0.1，/2 = 0.05，2/2=

17、 20.05，21- /2= 20.95倘P(X 21- /2,n-1)= 1- /2， P(1- /2,n-12 X /2,n-12)= 1- 請查表20.975,4，20.95,13，20.01,4，20.10,13。 /=chiinv(0.975,4)/，/=chiinv(0.95,13)/ /=chiinv(0.01,4)/，/=chiinv(0.10,13)/20.1,6= 10.6446 20.05,10= 18.3070(3) t分配(Student)倘z與2k分別為獨立標準常態NID(0,1)與卡方分配，則隨機變數tk= z/(2k/k)1/2 (4.18)依循k個自由度的t分

18、配，通常以t tk表示。t機率密度函數， - x (4.19)其期望值與變異數為：EX = 0， VX =k/(k-2) t分配與標準常態分配類似，其對應的機率分配皆對稱於原點，尤其當樣本數n愈大時，t分配機率分配情形愈趨近於標準常態分配。假設x1, x2,xn是一個來自N(, 2)分配的隨機樣本，則 tn-1 (4.20) t分配最早由W. S. Gosset所發現，因故用Student的筆名發表，又稱Student的t分配。如下圖，t分配(k = 1, 10, 100)假設隨機變數X tn-1，定義tn-1為自由度(n-1)之t分配其右邊(累積)機率等於 的臨界值，即P(X tn-1)=

19、，則P(X t/2, n-1)= /2， 及 P(-t/2, n-1 X t/2, n-1)= 1- = 0.1，/2 = 0.05， t/2 = t0.05= -t0.05， 倘P(X t/2, n-1)= /2， P(-t/2, n-1 X t/2, n-1)= 1- 請查表t0.1, 4，t0.05, 13，t0.01, 4，t0.025, 13。 /=tinv(0.1*2,4)/，/=tinv(0.05*2,13)/ /=tinv(0.01*2,4)/，/=tinv(0.025*2,13)/ / t0.1, 5 = 1.476/，/ t0.05, 10 = 1.812/(4) F分配倘

20、2u與2v分別為二個獨立卡方分配，則隨機變數Fu, v = (2u/u)/( 2v/v) (4.21)依循分子u個自由度、分母v個自由度的F分配，通常以F Fu, v表示。F機率密度函數， 0 x (4.22)其期望值與變異數為：2v2(u+v-2)/u(v-2)2(v-4)EX=u/(v-2), v2； VX= 2v2(u+v-2)/u(v-2)2(v-4)假設分別來自二個不同母體的隨機樣本，各取樣本n1 , n2，其各別樣本變異為S21與S22則 如下圖，F分配(u=4,v=10, 30;u=10,v=10, 30)假設隨機變數X，定義為自由度(n1-1, n2-1)之F分配其右邊(累積)機率等於 的臨界值，即P(X)= ，則P(X )= ，另 請查表F0.1, 4, 10，F0.9, 10, 4，F0.025, 4, 10，F0.975, 10, 4 。 /=finv(0.1,4,10)/，/=finv(