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1、运筹学至章习题参考答案运筹学1至6章习题参考答案第1章 线性规划1.1 工厂每月生产A、B、C三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表123所示表123产品资源ABC资源限量材料(kg)1.51.242500设备(台时)31.61.21400利润(元/件)101412 根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为1.2 建筑公司需要用5m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架两种窗架所需材料规格及

2、数量如表124所示：表124 窗架所需材料规格及数量型号A型号B每套窗架需要材料长度（m）数量(根)长度(m)数量(根)A1：22B1：2.52A2：1.53B2：23需要量（套）300400问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少【解】 第一步：求下料方案，见下表。方案一二三四五六七八九十需要量B12.52111000000800B2201002110001200A120010010210600A21.50001002023900余料(m)00.50.51110100.5第二步：建立线性规划数学模型设xj（j=1,2,，10）为第j种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为（2）

3、余料最少数学模型为1.3某企业需要制定16月份产品A的生产与销售计划。已知产品A每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。16月份产品A的单件成本与售价如表125所示。表125月份1 2 3 4 5 6产品成本(元/件)销售价格(元/件)300 330 320 360 360 300350 340 350 420 410 340（1）16月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。【解】设xj、yj（j1，2，6）分别为16月份的生产量和销售量，则数学模型

4、为（1）（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第711个约束右端常数200改为0，第12个约束“200”改为“200”。1.4 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20，下一年可继续将本息投入获利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60，这种投资最多不超过1.5万元；方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一

5、次，年收益率是30，这种投资最多不超过1万元投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下项目一项目二项目三项目四第1年第2年第3年x11x21x31x12x23x34数学模型为最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z847201.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表126。表126成品油高级汽油一般汽油航空煤油一般煤油半成品油中石脑油重整汽油裂化汽油中石脑油重整汽油裂化汽油轻油、裂化油

6、、重油、残油轻油、裂化油、重油、残油按10:4:3:1调合而成辛烷值9484蒸汽压：公斤平方厘米1利润(元/桶)54.231.5半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表127。表127半成品油1中石脑油2重整汽油3裂化汽油4轻油5裂化油6重油7残油辛烷值80115105蒸汽压：公斤平方厘米1.01.50.60.05每天供应数量(桶)200010001500120010001000800问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。解 设xij为第i（i1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,7)种半成品油的数量（桶）。总利润：高级汽油和一般汽油的辛烷值约束航空煤油蒸气压约束一般煤

7、油比例约束即半成品油供应量约束整理后得到1.6 图解下列线性规划并指出解的形式：(1) 【解】最优解X（3，2）；最优值Z=19(2) 【解】有多重解。最优解X（1）（0，5/4）；X（2）（3，1/2）最优值Z=5(3) 【解】最优解X（4，1）；最优值Z=10，有唯一最优解(4) 【解】最优解X（2，3）；最优值Z=26，有唯一最优解(5) 【解】无界解。 (6)【解】无可行解。1.7 将下列线性规划化为标准形式 (1) 【解】（1）令为松驰变量 ，则标准形式为 (2) 【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为 (3) 【解】方法1：方法2：令则标准型为(4) 【解】令，线性规划模

8、型变为标准型为1.8 设线性规划取基分别指出对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明是不是可行基【解】B1：x1、x3为基变量，x2、x4为非基变量,基本解为X=（15，0，10，0）T，B1是可行基。B2：x2、x4是基变量，x1、x3为非基变量，基本解X=（0，20，0，100）T，B2是可行基。1.9分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点 (1)【解】图解法单纯形法：C(j)1300bRatioC(i)BasisX1X2X3X40X3-2110220X42301124C(j)-Z(j)130003X2-21102M0X480-

9、3160.75C(j)-Z(j)70-3063X2010.250.257/21X110-0.3750.1253/4C(j)-Z(j)00-0.375-0.87545/4对应的顶点：基可行解可行域的顶点X(1)=（0，0，2，12）、X(2)=（0，2，0，6，）、X(3)=（、（0，0）（0，2）最优解 (2) 【解】图解法单纯形法：C(j)-3-5000bRatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X301210063X4014010102.5X501100144C(j)-Z(j)-3-50000X300.501-0.5012X2-50.25100.2502.510X500.7500-0

10、.2511.52C(j)-Z(j)-1.75001.250-12.5X1-3102-102MX2-501-0.50.5024X5000-1.50.5100C(j)-Z(j)003.5-0.50-16X1-310-1022X2-50110-12X4000-3120C(j)-Z(j)00201-16对应的顶点：基可行解可行域的顶点X(1)=（0，0，6，10，4）、X(2)=（0，2.5，1，0，1.5，）、X(3)=（2，2，0，0，0）X(4)=（2，2，0，0，0）（0，0）（0，2.5）(2，2)（2，2）最优解：X=（2，2，0，0，0）；最优值Z16该题是退化基本可行解，5个基本可行解

11、对应4个极点。1.10用单纯形法求解下列线性规划(1)【解】单纯形表：C(j)34100R. H. S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X402311044/3X501220133/2C(j)-Z(j)341000X242/311/31/30 4/32X50-1/304/3-2/311/3MC(j)-Z(j)1/30-1/3-4/3016/3X1313/21/21/202X5001/23/2-1/211C(j)-Z(j)0-1/2-1/2-3/20-6最优解：X=（2，0，0，0，1）；最优值Z6 (2) 【解】单纯形表：C(j)21-35000R. H. S.RatioBas

12、isC(i)X1X2X3X4X5X6X7X50153-710030MX603-1110101010X702-6-14001205C(j)-Z(j)21-35000X509/2-11/25/40107/465MX605/21/25/4001-1/4510X451/2-3/2-1/41001/45MC(j)-Z(j)-1/217/2-7/4000-5/4X50320150111-1120MX21515/2002-1/21010X45807/2103-1/220MC(j)-Z(j)-430-2300-173因为730并且ai70,原问题无可行解。两阶段法第一阶段：数学模型为C(j)000001R. H. S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X3053100091.8X40-56010015MX612100-1152.5C(j)-Z(j)-2-10010514X1013/51/50009/5X4009110024