经典奥数时钟问题.docx

1、经典奥数时钟问题时钟问题解法与算法公式时钟问题的关键点：时针每小时走30度分针每分钟走6度分针走一分钟（转6度）时，时针走05度，分针与时针的速度差为55度。请看例题：【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A1次 B2次 C3次 D4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为次，还要验证：根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/55= 16又4/1160，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/55 = 49又1/1160，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。【例题2】在某

2、时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为A10点15分B10点19分C10点20分D10点25分【解法1】时针1011点之间的刻度应和分针2025分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答案为A。【解法2】常规方法设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为05（3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为05（3）+1030度。所谓“时针与分针成一条直线”即05（3）+10306（+6）=1

3、80度，解得=15分钟。 著名数学难题：时钟的时针和分针由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法。例1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：12xx=60m，其中m=1，2， 度为1小

4、时，对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第 出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们 如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。例2 已知：挂钟比标准时间每小时慢2分钟；台钟比挂钟每小时快2分钟，闹钟比台钟每小时慢2分钟，手表比闹钟每小时要快2分钟。试问：手表走时是否标准，若不标准时，判断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？解：(1)标准时间走60分钟时，挂钟时间走58分。(2)因为台钟比挂钟每小时快2分钟，所以挂钟走60分钟时，台钟走62分钟。设当标准时间走60分时，即挂钟

5、走58分，台钟走x1分钟，则 (3)因为闹钟比台钟每小时慢2分钟，所以台钟走60分钟时，闹钟走58分钟。设当标准时间走60分，台钟走x1分时，闹钟走x2分，则 (4)因为手表比闹钟每小时快2分钟，所以闹钟走60分钟时，手表走62分钟。设当标准时间走60分时，闹钟走x2分，手表走x3分，则 答：手表走时不准，走慢了，每小时慢0.133分，即大约慢8秒。例3 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？解：设在钟盘面上时针转过x格后，它与分针重叠，这时分针转动了(45x)分，由于分针转动的速度是时针的12倍，所以有方程 例4 时钟的分针和时针在24小时中，形成过多少次直角？解：因为时针1小时转动

6、30，所以1分钟转动0.5，分针每分钟转动6设x分钟后，时针与分针成直角，则有方程x(60.5)=90 针24小时会有多少次差90的倍数呢？设有n次，则 由此解得n=88在这88次中，时针与分针所成角度分别为90，180，270，360，其中180，360不合要求，因此总共有44次直角。(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)例5 时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？ 直线上。也可这样解：设经x分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x分的刻度，而时 例6 在早上不到6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合了，问此时是什么时间？解：设

7、此时是5时x分，在手表面上，因为分针1分钟转动6，时针1小时转动30，则1分钟转动0.5，时针从0点到5点x分转动了(1500.5x)度，分针从0分到x分转动了6x度。因为此时分针还差3分钟与时针重合，即还差36=18，所以有方程1500.5x6x=18解之，得x=24所以，此时为5时24分。下面是关于时钟的一个更精彩的算题。我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨越了一个时空。有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋友出了一个问题让他思考。设想钟表的位置在12点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。但是，在6点整时，

8、如果把长短针对调，就成了一个笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在6，这种情况不可能发生。那么，钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上所指的仍是实际上可能的时间？爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多时间。说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时间比你们听这个故事的时间还短。问题是怎样解决的呢？第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在例1中已经解决，总共在钟面上有11个位置。除此以外还有没有其他可能呢？设时钟走了x个刻度，分针走了y个刻度，仿照例1有方程 当两针对调后，就变成时针走了y

9、个刻度，分针走了x个刻度。如果设分针已在此之前走了n圈，又可得方程 把m，n看成已知数解这个方程组，得 由0x，y60，m，n为正整数，可知m，n只能取从0到11，总共有144组解。其中当m=0，n=0与m=11，n=11时，两针都是在12这个位置, 当m=n时，就是第一类情况中的11个重合的位置。当mn时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。行测试题精选解答：时钟问题常见种类与解法 1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5210（小格）。而分

10、针每分钟可追及1（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10）分钟。解： （52）（1）1010（分）答：2点10分时，两针重合。2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5420（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（2030）小格。解： （5430）（1）5054（分）答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直

11、角？分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后515小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5115）小格或追及（5145）小格。解： （5115）（1）2021（分）或（5145）（1）5054（分）答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共

12、敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（030）（1）3032（分）即12点32分。第二次成一条直线时刻是：（5130）（1）3538（分）即 1点38分。第三次成一条直线的时刻是：（5230）（1 ）4043（分）即 2点43分。如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟

13、才能走到5点30分？分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60555（分），即速度是标准钟速度的 。2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5（1712）27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27。解： 5（1712） 27 （分） 2730（分）答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分

14、针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格

15、。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直?8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/(11/12)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时3

16、00/11分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位

17、。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果

18、要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。【针对性练习】1. 十点与11点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)？( )A. 10时21 分 B. 10时22 分 C.10时21 D.10时21 分2 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3。分针和

19、时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4。钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？5。在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？【参考答案详解】1. 答案A满足. 分针：6度/分 时针0.5度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为x分，则如图有60-0.5x=180-6x，x= 分，即10时分两针成直线。答案A满足。2. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，即

20、90度， 用追及问题的处理方法解：90/(6-0.5)度/分=16 分钟，所以下午3点16 分钟，时针和分针第一次重合。3. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：2460=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次4. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分5点零8分，时针成角：530+80.5=154度，分

21、针成角：86=48度，所以夹角是154-48=106度。5 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角，必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比时针多走 (20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5 分， (20+15)/(1-1/12)=38 分，即4点38 分。6. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？解析：设经过X分，0.5X=270-6X ,解得X=540/13分，所以答案是9点过41 分。

22、行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网 时间:2010-01-08 | 公务员考试论坛 | 来源:中国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题基本知识点：1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。3.钟面上每两格之间为30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180也是22次。【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度答案D解析清晨5点时，时针和分针相差5格，则530150。【例2】中午12点整

23、时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13答案B解一从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。因此，时针与分针重合了11次。选择B。解二根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（） #中国公务员考试信息网 A. 51 B. 47 C. 45 D. 43答案A解析根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转

24、了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/122，得到T24/13小时，约合1小时51分。【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A. 10点15分 B. 10点19分 C. 10点20分 D. 10点25分答案A解析代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的

25、“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式TT0+111T0，其中：T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。 例5 从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D. 61分钟 答案C解析从12点整往后，时针与

26、分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T045（分钟），根据公式，其间隔时间TT0+T0/1149（分钟）。【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?（）A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次答案B解一从12时到13时，时针旋转了30；分针旋转了360。分针与时针所成的角度从0变化到330（其中包括90和270），因此有2次成直角的机会。选择B。解二根据公式：从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。【例7】

27、（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？（）A. 5点10分 B. 5点101011分 C. 5点11分 D. 5点12分答案B解析根据公式：时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B。 强华公务员 【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分答案B解一根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追及时间为 30+3011=32811分钟，所以选择B。解二根据基本知识点：时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：246044

28、=32811分钟。核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准比”，按比例计算。【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?（）A. 11点整 B. 11点5分 C. 11点10分 D. 11点15分答案C解析标准比：标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。此时，慢钟从4点30分走到10点50分，一共走了6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：x380=6057，可得：x400（分钟）。说明标准时间比慢钟快400-38020分钟，慢钟走

29、到了10点50分，实际上应该是11点10分了。【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是多少？（） A. 9点15分 B. 9点30分 C. 9点35分 D. 9点45分答案D解析快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为13。假设现在是9点x分（快钟显示10点整，慢钟显示9点整），那么（60-x）（x-0）13，解得：x45。所以标准时间是9点45分。 时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时

30、钟的问题有： 求时间差： 例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？ A.8小时 B.8小时30分 C.9小时30分 D.9小时50分 解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30 C 求慢（快）表在几小时后显示什么时间？ 例：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是( )。 A11点整 B11点5分 c1l点1O分 D11点15分 解析：慢表显示经过的时间是：10：50-4：30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应该是：380（60-3）/60=400分钟=6小时40分钟，答案为C：4：30+6：40=11：10。 例：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是( )。 A9点15分 B 9点30分 c9点35分 D 9点45分 解析：这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。 我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟