四边形与三角形的综合附解析中考数学复习专题.docx

1、四边形与三角形的综合附解析中考数学复习专题四边形与三角形的综合附解析（2019年中考数学复习专题）专题六四边形与三角形的综合中考备考攻略 纵观近4年中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中2015年第24题综合考查平行四边形和直角三角形；2016年第25题综合考查菱形和三角形全等；2017年第24题综合考查平行四边形与三角形相似、解直角三角形；2018年第24题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计2019年将继续综合考查四边形与三角形. 熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应

2、用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用几何图形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法.中考重难点突破 四边形与特殊三角形 例1如图,在四边形ABCD中,ABDC,ABAD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证：四边形ABC D是菱形；(2)若AB5,BD2,求OE的长.【解析】(1)先判断出OABDCA,进而判断出DACDCA,得出CDADAB,即可得出结论；(2)

3、先判断出OEOAOC,再求出OB1,利用勾股定理求出OA,即可得出结果.【答案】(1)证明：ABCD,CABACD.AC平分BAD,CABCAD,CADACD,ADCD.又ADAB,ABCD.又ABCD,四边形ABCD是平行四边形.又ABAD,四边形ABCD是菱形；(2)解：四边形ABCD是菱形,ACBD,OAOC12AC,OBOD12BD1.在RtAOB中,AOB90,OAAB2OB22.CEAB,AEC90.在RtAEC中,O为AC中点,OE12ACOA2. 四边形与三角形全等 例2(2018张家界中考)在矩形ABCD中,点E在BC上,AEAD,DFAE,垂足为点F.(1)求证：DFAB；

4、(2)若FDC30,且AB4,求AD.【解析】(1)利用“AAS”证ADFEAB即可得证；(2)由ADFFDC90,DAFADF90得FDCDAF30,据此知AD2DF ,根据DFAB可得答案.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中,ADBC,AEBDAF.又DFAE,DFA90,DFAB.又ADEA,ADFEAB,DFAB；(2)解：ADFFDC90,DAFADF90,FDCDAF30,AD2DF.DFAB4,AD2AB8. 四边形与三角形相似例3(2018资阳中考)已知：如图,在RtABC中,ACB90,点M是斜边AB的中点,MDBC,且MDCM,DEAB于点E,连接AD,CD. (1)求证

5、：MEDBCA；(2)求证：AMDCMD；(3)设MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2175S1时,求cos ABC的值.【解析】(1)易证DMECBA,ACBDE M90,从而可证明MEDBCA；(2)由ACB90,点M是斜边AB的中点,可知BM CMAM,又由MDBC可证明AMDCMD,从而可利用全等三角形的判定方法证明AMDCMD；(3)易证DM12AB,由(1)可知MEDBCA,所以S1SACBDMAB214,所以SMCB12SACB2S1,从而可求出SEBDS2SMCBS125S1,由于S1SEBDMEEB,从而可知MEBE52,设ME5x,EB2x,从而用x表示出

6、AB,BC,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【答案】(1)证明：MDBC,DMECBA.ACBDEM90,MEDBCA；(2)证明：ACB90,点M是斜边AB的中点,BMCMAM,MCBMBC.DMBMBC,MCBDMBMBC.MDBC,CMD180MCB.又AMD180DMB,AMDCMD.在AMD与CMD中,MDMD，AMDCMD，AMCM，AMDCMD(SAS)；(3)解：DMCM,AMCMDMBM,DM12AB.由(1)可知MEDBCA,S1SACBDMAB214,SACB4S1.CM是ACB的中线,SMCB12SACB2S1,SEBDS2SMCBS125S1,S1SEBDME

7、EB,S125S1MEEB,MEEB52.设ME5x,EB2x,则BM7x,AB2BM14x.MDABMEBC12,BC10x,cos ABCBCAB10x14x57 . 1.(201 8贺州中考)如图,在ABC中,ACB90,O,D分别是边AC,AB的中点,过点C作CEAB交DO的延长线于点E,连接AE. (1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若四边形AECD的面积为24,tan BAC34,求BC的长.(1)证明：点O是AC的中点,OAOC.CEAB,DAOECO.又AODCOE,AODCOE(ASA),ADCE,四边形AECD是平行四边形.又CD是RtABC斜边AB上的中线,CDAD1

8、2AB,四边形AECD是菱形；(2)由(1)知,四边形AECD是菱形,ACED.在RtAOD中,tan DAOODOAtan BAC34,可设OD3x,OA4x,则ED2OD6x,AC2OA8x.由题意可得126x8x24,x1,OD3.O,D分别是AC,AB的中点,OD是ABC的中位线,BC2OD6. 2.(2018盐城中考)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F满足BEDF,连接AE,AF,CE,CF,如图. (1)求证：AB EADF；(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.(1)证明：四边形ABCD是正方形,ABAD,ABDADB,ABEADF.在ABE与ADF中

9、, ABAD，ABEADF，BEDF，ABEADF(SAS)；(2)解：四边形AECF是菱形.理由：连接AC,交BD于点O.四边形ABCD是正方形,OAOC,OBOD,ACEF,OBBEODDF,即OEOF.OAOC,OEOF,四边形AECF是平行四边形,又ACEF,四边形AECF是菱形. 3.(2018湖州中考) 已知在RtABC中,BAC90,ABAC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且DCBEACBCm,连接AE,过点D作DMAE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.(1)如图1,过点E作EHAB于点H,连接DH.求证：四边形DHEC是平行四边形；若m22,求证：AEDF；(

10、2)如图2,若m35,求DFAE的值. (1)证明：EHAB,BAC90,EHCA,BHEBAC,BEBCHEAC.DCBEACBC,BEBCDCAC,HEACDCAC,HEDC.EHDC,四边形DHEC是平行四边形；ACBC22,BAC90,ACAB.DCBE22,HEDC,HEBE22.又BHE90,BHHE.HEDC,BHCD,AHAD.DMAE,EHAB,EHAAMF90,HAEHEAHAEAFM90,HEAAFD.EHAFAD90,HEAAFD,AEDF；(2)解：过点E作EGAB于点G. CAAB,EGCA,EGBCAB,EGCABEBC,EGBECABC35.CDBE35,EGC

11、D.设EGCD3x,AC3y,则BE5x,BC5y,BG4x,AB4y.EGAAMF90,GEAEAGEAGAFM,AFMAEG.FADEGA90,FADEGA,DFAEADAG3y3x4y4x34.中考专题过关1.(2018乌鲁木齐中考)如图,在四边形ABCD中,BAC90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EFCD于点F. (1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB6,BC10,求EF的长.(1)证明：ADBC,AEDC,四边形AECD是平行四边形.BAC90,E是BC的中点,AECE12BC,四边形AECD是菱形； (2)解：过A作AHBC于点H.BAC90,AB6,BC10,AC

12、 102628.SABC12BCAH12ABAC,AH6810245.点E是BC的中点,BC10,四边形AECD是菱形,CDCE5.SAECDCEA HCDEF,EFAH245.2.(2018青岛中考)已知：如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD. (1)求证：ABAF；(2)若AGAB,BCD120,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形,ABCD,A BCD,AFGDCG.又GAGD,AGFCGD,AGFDGC,AFCD.ABAF；(2)解：四边形ACDF是矩形.证明：AF

13、CD,AFCD,四边形ACDF是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形,BADBCD120.FAG60.ABAGAF, AFG是等边三角形,AGGF.四边形ACDF是平行四边形,FGCG,AGDG.ADCF.四边形ACDF是矩形.3.已知：如图,四边形ABCD中,ADBC,ADCD,E是对角线BD上一点,且EAEC. (1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BEBC,且CBEBCE23,求证：四边形ABCD是正方形.证明：(1)在ADE与CDE中,ADCD，DEDE，EAEC，ADECDE,ADECDE.ADBC,ADECBD,CDECBD,BCCD.ADCD,BCAD,四边形ABCD为平

14、行四边形.ADCD,四边形ABCD是菱形；(2)BEBC,BCEBEC.CBEBCE23,CBE180223345.四边形ABCD是菱形,ABECBE45,ABC90,四边形ABCD是正方形.4.(2018眉山中考)如图,在四边形ABCD中,ACBD于点E,ABACBD,点M为BC的中点,N为线段AM上的点,且MBMN.(1)求证：BN平分ABE；(2)若BD1,连接DN,当四边形DNBC为平行四边形时,求线段BC的长；(3)如图,若点F为AB的中点,连接FN,FM,求证：MFNBDC. (1)证明： ABAC,ABCACB.M为BC的中点,AMBC.在RtABM中,MABABC90.在RtC

15、BE中,EBCACB90,MAB EBC.又MBMN,MBN为等腰直角三角形,MNBMBN45,EBCNBE45,MABABNMNB45,NBEABN,即BN平分ABE；(2)解：设BMCMMNa.当四边形DNBC是平行四边形时,DNBC2a.在ABN和DBN中,ABDB，NBDNBA，BNBN，ABNDBN(SAS),AND N2a.在RtABM中,由AM2BM2AB2,得(2aa)2a21,解得a1010(负值舍去) ,BC2a105；(3)证明：在RtMAB中,F是AB的中点,MFAFBF,MABFMN.又MABCBD,FMNDBC.MFABMNBC12,MFBDMNBC12,MFNBD

16、C.5.(2018枣庄中考)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EGCD交AF于点G,连接DG. (1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由；(3)若AG6,EG25,求BE的长.(1)证明：GEDF,EGFDFG.由翻折的性质可知DGEG,DFEF,DGFEGF,DGFDFG,DGDF,DGEGDFEF,四边形EFDG是菱形；(2)解：EG212GFAF.理由：连接DE,交AF于点O. 四边形EFDG是菱形,GFDE,OGOF12GF.DOFADF90,OFDDFA,DOFADF,DFAFOFDF,即DF2OFAF.OF12GF,DFEG,EG212GFAF；(3)解：过点G作GHDC,垂足为点H.EG212GFAF,AG6,EG25,即GF26GF400,解得GF4,GF10(舍去).DFEG25,AFAGGF10,ADAF2DF245.GHDC,ADDC,GHAD,FGHFAD,GHADGFAF,即GH45410,GH855.BEADGH458551255.