1、六年级奥数第二讲第二讲和、差与倍数的应用题做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算,而且要 多思考,善于发现题目中的数量关系,可以说做应用题是运用数学的开始.加、减、乘是最基本的运算,和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.应用题的训练,就从这一、和差问题说到“和差问题”,小学高年级的同学,人人都会说:“我会!”和差问题的计算太简单了.是的,知道两个数的和与差,求两数,有计算公式:大数=(和+差)2小数=(和-差)2会算,还要会灵活运用,要把某些应用题转化成和差问题来算.先看几个简单的例子.例1 张明在期末考试时,语文、数学两门功课的平均得分是95分,数学比语文多得8分,张明这两门功课
2、的成绩各是多少分?解:95乘以2,就是数学与语文两门得分之和,又知道数学与语文得分之差是8.因此数学得分=(9528)299.语文得分=(952-8)2 91.答:张明数学得99分,语文得91分.注:也可以从 952-9991求出语文得分.例2 有 A,B,C三个数,A加 B等于 252,B加 C等于 197, C加 A等于 149,求这三个数.解:从B+C197与A+C149,就知道B与A的差是197-149,题目又告诉我们,B与A之和是252.因此B=(252 197-149) 2 150,A252-150102,C149-10247.答:A,B,C三数分别是102,150,47.注:还有
3、一种更简单的方法(A+B)(BC)(CA)2(ABC).上面式子说明,三数相加再除以2,就是三数之和.ABC(252197149)2299.因此C299-25247,B299-149150,A299-197102.例3 甲、乙两筐共装苹果75千克,从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里,甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克?解:画一张简单的示意图,就可以看出,原来甲筐苹果比乙筐多57 5 17(千克)因此,甲、乙两数之和是 75,差为17.甲筐苹果数=(7517)2 46(千克).乙筐苹果数=75-4629(千克).答:原来甲筐有苹果46千克,乙筐有苹果29千克.例4 张强用270元
4、买了一件外衣,一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元,买外衣和鞋比帽子多花210元,张强买这双鞋花多少钱?解:我们先把外衣和鞋看成一件东西,它与帽子的价格和是 270元,差是 210元.外衣和鞋价之和=(270 210)2 240(元).外衣价与鞋价之差是140,因此鞋价=(240-140)250(元).答:买这双鞋花50元.再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算,那么就可以说,“和差问题”的解法,你已能灵活运用了.例5 李叔叔要在下午3点钟上班,他估计快到上班时间了,到屋里看钟,可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针,匆匆离家,到工厂一看钟,离上班时间还有10分
5、钟.夜里11点下班,李叔叔马上离厂回到家里,一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同,那么他家的钟停了多少时间(上发条所用时间忽略不计)?解:到厂时看钟是2点50分,离家看钟是12点10分,相差2小时40分,这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有钟停的时间+路上用的时间=160(分钟).晚上下班时,厂里钟是11点,到家看钟是9点,相差2小时.这是由于钟停的时间中,有一部分时间,被回家路上所用时间抵消了.因此钟停的时间-路上用的时间=120(分钟).现在已把问题转化成标准的和差问题了.钟停的时间=(160120) 2 140(分钟).路上用的时间=160-14020( 分
6、钟).答:李叔叔的钟停了2小时20分.还有一种解法,可以很快算出李叔叔路上所用时间:以李叔叔家的钟计算,他在12点10分出门,晚上9点到家,在外共8小时50分钟,其中8小时上班,10分钟等待上班,剩下的时间就是他上班来回共用的时间,所以上班路上所用时间=(8小时50分钟-8小时-10分钟)220(分钟).钟停时间=2小时 40分钟-20分钟=2小时20分钟.例6 小明用21.4元去买两种贺卡,甲卡每张1.5元,乙卡每张0.7元,钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数,把乙卡张数算作甲卡张数,要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张?解:甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7 0. 8(元)
7、,售货员错找还小明3.2元,就知小明买的甲卡比乙卡多3.20.84(张).现在已有两种卡张数之差,只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢?请注意1.5甲卡张数+0.7乙卡张数=21.4.1.5乙卡张数+0.7甲卡张数=21.4-3.2.从上面两个算式可以看出,两种卡张数之和是21.4(21.4-3.2)(1.5 0.7) 18(张).因此,甲卡张数是(18 4) 2 11(张).乙卡张数是 18-11 7(张).答:小明买甲卡11张、乙卡7张.注:此题还可用鸡兔同笼方法做,请见下一讲.例7 有两个一样大小的长方形,拼合成两种大长方形,如右图.大长方形(A)的周长是240厘米,大长形(B)
8、的周长是258厘米,求原长方形的长与宽各为多少厘米?解:大长方形(A)的周长是原长方形的长2+宽4.大长方形(B)的周长是原长方形的长4+宽2.因此,240+258是原长方形的长6+宽6.原长方形的长与宽之和是(240258)683(厘米).原长方形的长与宽之差是(258-240)29(厘米).因此,原长方形的长与宽是长:(83 9)2 46(厘米).宽:(83-9)237(厘米).答:原长方形的长是46厘米、宽是37厘米二、倍数问题当知道了两个数的和或者差,又知道这两个数之间的倍数关系,就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.例8 有两堆棋子
9、,第一堆有87个,第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆,就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.解:两堆棋子共有8769156(个).为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍,就要把156个棋子分成134(份),即每份有棋子156 (13)39(个).第一堆应留下棋子39个,其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是87-3948(个).答:应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.例9 有两层书架,共有书173本.从第一层拿走38本书后,第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书?解:我们画出下列示意图:我们把第一层(拿走38本后)余下的书算作1“份”,那么第二层的书是2份还
10、多6本.再去掉这6本,即173-38-6129(本)恰好是3份,每一份是1293=43(本).因此,第二层的书共有432 + 692(本).答:书架的第二层有92本书.说明:我们先设立“1份”,使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法,特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上,更是一目了然.例10 某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人,全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人?解:设六年级学生人数是“1份”.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-(23-11)人.每份是(975+12)7141(人).男生人数=
11、1414-23541(人).女生人数=975-541434(人).答:有男生541人、女生434人.例9与例10是一个类型的问题,但稍有差别.请读者想一想,“差别”在哪里?70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双?解:为了计算方便,把原来旅游鞋算作4份,售出1份,还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是32=6(份).40070将是 3+1610(份).每份是(40070)1047(双).原有旅游鞋 474=188(双).原有皮鞋 476-70212 (双).答:原有旅游鞋188双,皮鞋212双.设整数的份数,使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化,使思考、计算
12、都较简捷.因此,“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.下面例子将是本节的主要内容年龄问题.年龄问题是小学算术中常见的一类问题,这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是:两个人的年龄差总保持不变.例12 父亲现年50岁,女儿现年14岁.问几年前,父亲的年龄是女儿年龄的5倍?解:父女相差36岁,这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时,父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的(5-1)倍.36(5-1)9.当时女儿是9岁,14-95,也就是5年前.答:5年前,父亲年龄是女儿年龄的5倍.例13 有大、小两个水池,大水池里已有水 300立方米.小水
13、池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.解:画出下面示意图:我们把小水池注入水后的水量算作1份,大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出,因为注入两个水池的水量相等,所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.因此每份是(300-70)2 115(立方米).要注入的水量是115-70=45 (立方米)答:每个水池要注入45立方米的水.例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.例14 今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年,哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是
14、弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁?解:当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时,我们设那时弟弟的岁数是1份,哥哥的岁数是2份,那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的,今年他们的年龄仍相差1份.题目又告诉我们,那时哥哥岁数,与今年弟弟的岁数相同,因此今年弟弟的岁数也是2份,而哥哥今年的岁数应是213(份).今年,哥弟俩年龄之和是32=5(份).每份是 555 11(岁).哥哥今年的岁数是 11333(岁).答:哥哥今年33岁.作为本节最后一个例子,我们将年龄问题进行一点变化.例15 父年38岁,母年36岁,儿子年龄为11岁.问多少年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍?解:现在父母年龄之和是
15、38 36 74.现在儿子年龄的 4倍是 11444.相差74-44 30.从4倍来考虑,以后每年长144,而父母年龄之和每年长112.为追上相差的30,要30(4-2)15(年)答:15年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍.请读者用例15的解题思路,解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.请读者想一想,例15的解法,与例12的解法,是否不一样?各有什么特点?我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式:(14 5-50)(5-1) 5(年).不过要注意 145比 50多,因此是 5年前.三、盈不足问题在我国古代的算书中,九章算术是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章,讲了一类盈
16、不足问题,其中第一题,用现代的语言来叙述,就是下面的例题.例16 有一些人共同买一些东西,每人出8元,就多了3元;每人出7元,就少了4元。那么有多少人?物价是多少?解:“多3元”与“少4元”两者相差347(元).每个人要多出 8-71(元).因此就知道,共有717(人),物价是87-353(元).答:共有 7个人一起买,物价是 53元.上面的34可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.计算公式是总数相差数每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化,形成了一类问题,我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.例17 把一袋糖分给小朋友们,每人分10粒,正好分完;如果每人分16粒,就有3
17、个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒?解一:3位小朋友本来每人可以分到10粒,他们共有的 10 3 30(粒),分给其余小朋友,每人就可以增加16-10=6(粒),因此其余小朋友有103(16-10) 5(人).再加上这 3位小朋友,共有小朋友 53 8(人).这袋糖有10(5 3) 80(粒).解二:如果我们再增加 163粒糖,每人都可以增加(1-10)粒,因此共有小朋友163(16-10)=8(人)这袋糖有80粒.答:这袋糖有80粒.这里, 163是总差,(16-10)是每份差, 8是份数.例18 有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,每条船正好坐6人;如果减少一条船,每条船正好
18、坐9人.这个班共有多少名同学?解:如果每条船坐6人,就要增加一条船,也就是现在有6个人无船坐;如果每条船坐9人,可以减少一条船,也就是还可以多来9个人坐船.可以坐船的人数,两者相差 6 9 15(人).这是由于每条船多坐(9-6)人产生的,因此共有船(6 9)(9-6) 5(条)这个班的同学有 65 6 36(人).答:这个班有36人.例19 小明从家去学校,如果每分钟走 80米,能在上课前6分钟到校,如果每分钟走50米,就要迟到3分钟,那么小明的家到学校的路程有多远?解一:以小明从家出发到上课这一段时间来算,两种不同速度所走的距离,与小明家到学校的距离进行比较:如果每分钟走 80米,就可以多
19、走 806(米);如果每分钟走 50米,就要少走 503(米).请看如下示意图:因此我们可以求出,小明从家出发到上课这段时间是(806 503) (80- 50) 21(分钟).家至学校距离是800(21-6) 1200(米)或 50 (21+3) 1200(米).答:小明家到学校的路程是1200米.解二:以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间,作为思考的出发点.用每分钟 50米速度,就要多用 63= 9(分种).这9分钟所走的 509(米),恰好补上前面少走的.因此每分钟80米所需时间是50(63)(80- 50) 15(分钟)再看两个稍复杂的例子.例20 一些桔子分给若干个人,每人5个
20、还多余10个桔子.如果人数增加到3倍还少5个人,那么每人分2个桔子还缺少8个,问有桔子多少个?解:使人感到困难的是条件“3倍还少5人”.先要转化这一条件.假设还有 10个桔子, 10 25,就可以多有 5个人,把“少5人”这一条件暂时搁置一边,只考虑3倍人数,也相当于按原人数每人给23=6(个).每人给5个与给6个,总数相差10 10 8 28 (个).所以原有人数 28(6-5)=28(人).桔子总数是 5 28 10 150(个).答:有桔子150个.例21 有一些苹果和梨.如果按每1个苹果2个梨分堆,梨分完时还剩5个苹果,如果按每3个苹果5个梨分堆,苹果分完了还剩5个梨.问苹果和梨各多少
21、?解一:我们设想再有10个梨,与剩下5个苹果一起,按“1个苹果、2个梨”前一种分堆,都分完.以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看,苹果总数能被3整除.因此可以把前一种分堆,每3堆并成一大堆,每堆有3个苹果,236(个)梨.与后一种分堆比较:每堆苹果都是3个.而梨多1个(6-51).梨的总数相差设想增加 10个+剩下5个=15个.(10 5)(6- 5) 15.就知有15个大堆,苹果总数是153 45(个).梨的总数是(455)280(个).答:有苹果45个、梨80个.解二:用图解法.前一种分堆,在图上用梨2份,苹果1份多5个来表示.后一种分堆,只要添上3个苹果,就可与剩的5个梨又组成一堆.梨算作5份,苹果恰好是3份.将上、下两图对照比较,就可看出, 5 3 8(个)是下图中“半份”,即 1份是 16.梨是 5份,共有 165 80(个).苹果有 162.5 5 45(个).
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