自动控制理论答案孙扬声版.docx

1、自动控制理论答案孙扬声版T2-1判断下列方程式所描述的系统的性质：线性或非线性，定常或时变，动态或静态。(7)在图T2-1中去掉一个理想二极管后，情况如何？解：先区别几组概念(线性和非线性；定常和时变；动态和静态)线性系统(即系统变量间的关系)：多项式形式，各项变量的幕指数为 1；非线性系统：多项式形式，各项变量的幕指数不全为 1 ；定常系统：系统参数与时间无关；时变系统：系统参数与时间有关；静态系统：输入到输出没有过渡过程；动态系统：输入到输出有过渡过程。 (笔者认为在判断系统静态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没有积分或微分。若有积分或微分，为动态系统；若积分和微分都没有，为静态系统。

2、 )题号分析系统性质(1)a、 y(t)的幕指数为2,非线性；b、 变量d y2t)(把因变量或激励量的各阶导数的一次幕看作一dt2个变量)的系数为 3t，是时间的函数，时变；c、 多项式含有微分，动态。非线性，时变，动态(3)1a、 激励量u(t)的幕指数为 丄，不为1,非线性；2b、 各变量的系数均为常数，与时间无关，定常；c、 式中不含微分、积分，静态。非线性，定常，静态(4)a、 各变量的幕指数均为 1,线性；b、 变量 y()的系数sin cot与时间有关，时变；dtc、 式中含有微分，动态。线性，时变，动态(7)(1)、u(t)O,i(t)O时：Ldy(+y(t) 1 u(t)；

3、R dt R(II)、u(t) v0,i(t) = 0时：y(t)=O.在一个正弦周期内，系统非线性、定常、动态。u(t)ZVV1V2M交流电J自压；y(t)-V2 理想一定常、2Ry(t)1 1图T2 u(t)输入电V1、非线性路系统-输岀电压；二极管动态(1)y(t) =x2 0 u(.)d .；0t(2)y(t) =3x 0 u( )d .；0t(3) y(t) =exO e u( )d .。0解：先分清x 0和u t这两个量：x 0为状态变量(初始状态或初始条件) ；u t为输入变量。零状态线性和零输入线性的判定方法：(I)当x 0 =0时，为零状态，对应的输出称为零状态响应，此时看输

4、出 yt与输入u t的关系是否满足线性，若满足，则为零状态线性；(II)当u t =0时，为零输入，对应的输出称为零输入响应，此时看输出 yt与初始状态x 0的关系是否满足线性，若满足，则为零输入线性；(III)当(I)、(II)都满足时，就既满足零状态线性又满足零输入线性。题号分析系统性质(i)a、 当x(0 )=0时，为零状态，此时输出y(t)与输入u(t) 满足线性关系，故满足零状态线性；b、 当u(t )=0时，为零输入，此时输出 y(t肖初始状态x(0不满足线性关系，故不满足零输入线性；综上a、b知，系统仅满足零状态线性。仅满足零状态线性(2)分析方法同(I)既满足零状态线性又满足零

5、输入线性(3)分析方法同(I)既满足零状态线性又满足零输入线性T2-3有一线性动态系统，分别用 t _0时的输入ui t ,u2 t ,u3 t ,t 0, 对其进行试验。它们的初始状态 都相同，且X 0 = 0,三种试验中所得输出若为 yi t , y2 t , y3 t o试问下列预测是否正确：(1) 若出二u,t) u2(t),则y3(t)二y,t) y2(t);(2)若出 仏,则y3(t) = yi(t)/ y2(t);(3)若ui(t) =2匕北),则yi(t) =2y2(t);(4)若u,t) =u2(t),则yi(t)=y2(t)。如果x 0 =0,哪些预测是正确的?解：因为系统

6、为线性动态系统，所以不妨设： y（t） = x 0 . u（. ）d .0x（0所处情况题号分析结果x(0 芹0,此时：ty(t) =x(0 )+ Judi0（1）采用叠加原理，t ty3(t) =X(0 户U3G)dE 宜怛皿坦)T = x(0 )+ fU| (l) + u2)dl0 0t#2x(0 严 JU1) +氏(巧0 = yMt) + y2(t),(只因为 0的存在)0不正确（2）系统线性二 系统同时满足可加性和齐次性； 商运算不在其中，故不正确。不正确（3）t ty2(t) = x(0)+ J U2 (t) d t -)t = x 0)+ J 2u1(t )dt0 0t#2x(0”

7、 J2u1“)di =2y1(t),-(只因为x(0的存在)0不正确（4）t ty2(t) =X(0)+山2dz 空tw =x(0 尸 Ju1(t)dt =%(t)，恒等。0 0正确x(0 )=0,此时：ty(t) = (u)di0（1）与上一种情况比较正确（2）同上一种情况不正确（3）与上一种情况比较正确（4）恒等式正确T2-8已知线性动态系统的状态方程为I012L1 J试求由单位阶跃u =1（t）输入所引起的响应 y（t）。解：依题意，该线性系统的各系数矩阵为010； x(0)= 1 ;02查拉氏（Laplace）状态转移矩阵s2 s1el-s-100 1s-1 0 0(Si _A)=0s

8、10;det(sl - A)=0 s-1 00-1s 20 -1 s 2二 s-12s-2；(s-1)(s-2)00 1T(S1)(s 2)000(s 1)(s 2)(s-1)=0(s-1)(s-2)000(s-1)2一1 10(s -1)(s-1)2jadj (si _ A)=补充：如何求n阶矩阵的伴随矩阵？第一步：先找出该n阶矩阵中每一元素在其 行列式中所对应的代数 余子式心;第二步：将得到的代数 余子式Ajj取代其对应元素所在的 位置并写成矩阵的形式，并将此矩阵命名为新矩阵；第三步：将新矩阵转置 即得所求伴随矩阵。如何计算Aj:A二-1 j j M（i为该元素所在的行数，j为该元素所在的

9、列数）；其中皿耳为元素的余子式，即在 该n阶矩阵的行列式中，划 去所取的任一元素所在 的行和列之后, 剩下的（n -1）阶行列式的值。以本题为例，同学们检 验一下，看看自己是否 已掌握了伴随矩阵的求 法。解：依题意:-s-10 1(si -A)=0s-1 ；30s + 2 一det(sl - A) = s2 s 2 3；s(s 2) -3 -3s T s(s 2) (s 2) 1adj (si A)=(s + 2)s(s +2)-3=-3s(s + 2) s ；1s2 si i3s-3 s2 一所求传递函数Cadj(sl-A)BG(s)= det(sl A)_s(s + 2) (s+2)匚2

10、3 0】-3 s(s+2),_3s _3s2(s + 2 )+33s - 2s3 2s2 3T2-13已知系统的传递函数为G(s)求当a等于何值，系统传递函数将是不完全表征的。解：依题意:G(s)二Cadj(sl - A)Bdet(sl - A)s +as3 - 7s2 14s 8系统特征多项式：厶 sgdet（sl -A） =s3 7s2 14s 8 = （s 1）（s 2）（s 4）; 系统是三阶的：n =3;.当a =1or2or4时，传递函数的特征多 项式.s为二阶的：且i = 2： n = 3 此时系统有零、极点对消，系统传递函数是不完全表征的。T3-1对图T3-1所示系统，按传递函

11、数方框图变换原则求出下列传递函数:H3*H2*图T3-1单输入系统方框图（逆）移支路 1解：解题之前，先总结一些方框图的变换规则:、相加点对方框G: G；前（顺）移支路xG反（逆）移支路、分支点对对方框G：前（顺）移支路3、方框串联相乘，方 框并联代数相加；4、单环负反馈：9二厂詈（详细介绍请查阅课本第39页）；5、注意：相加点、分 支点之间不能交叉，也 不能相互合并 （为避免出现不必要的 错误而人为规定的）。因为原系统简化方式有很多，所以笔者就不一一列举了，下面是笔者的一种解法，请参考。 依题意，将原传递函数方框图简化为下图中的形式：G1cYiG2cY2T3-3解:Y2GG2G3G4GG2G

12、3G41 GGG3G4 （旦 肛匕一 HJ1 G3G4H4 G2G3H 3 G1G2G3 H2 - G1G2G3G4 H1G1G2 G1G4 G4G1G2G3U G4 1 G3G4H 4 G2G3H 3 G1G2G3H 2 -GiG2G3G4Hi图T3-3四输入量的系统方框图求出图T3-3所示四输入系统方框图的输入量 Y的表达式。依题意，将原四输入量的系统方框图简化为下图中的形式:G1G21 G1G2 （也 Hi）G11 G2H2 G1G2H1GiT3-4(b)已知一个电网络如图 递函数：T3-4(b)所示。试指出图中最多可划分为几个无负载效应的环节,求出该图的传GG)供并说明负载效应对传递函

13、数的影响。R10-1 U1隔离放大器K=1R2oi-C2Uoir(b)输入变量及环节自身的 结构与参数,解：先介绍几个概念：负载效应：信号传递过 无负载效应的环节：环 而与环节外部所接负载 隔离放大器的作用：可 程的分流效应与损耗。 节的输出变量仅决定于 无关。消除环节间的负载效应依题意，图(b)中最多可划分为3个无负载效应的环节:sC21(1 sG Ri )(1 SC2R2)sC|sC2T3-5(b)已知一个无源网络如图 T3-5(b)所示，试求传递函数:Uo sG(SUiSUo(b)解：依题意，图(b)的传递函数:Uo SG(S)JsR sCRR sL 丄=1 sCR s2CLsCT3-1

14、0试根据图T3-10所示传递函数方框图画出对应的信号流图，并根据信号流图求出下列各个传递函数:GA(s)弋;；Gb(s)=E ； Gc(sYRs E s图T3-10传递函数方框图解：（a）先明确E s表示的意思。E s表示误差信号，是输入信号与反馈信号的差值。（b）学会画信号流图。（两节点之间掌握信号流图的表示方法： 在信号流图中只采用两种图形符号， 即节点及节点之间的定向线段的定向线段又叫支路）。其中，节点代表变量；支路表示信号的传递；支路上所标示的文字代表传递函数。根据传递函数方框图画出对应的信号流图的方法：n,再加i（考虑1、 先确定节点的个数：数出传递函数方框图（题中给出的图）中相加点

15、数和分支点数的总和信号输入处有一个节点），即信号流图的节点数 N=（n+1）;此时就可以画出从输入到输出的一条通路。2、 根据传递函数方框图上的传递函数以及信号传递方向在该通路的基准上正确表示出来。以本题为例确定节点数：N=3（相加点）+3 （分支点）+仁7 （个） 画出从输入到输出的一条通路：Rs . : : Y s将传递函数以及信号传递方向在该通路上表示出来 ：根据我们所画的信号流图知，从 Rs到Y s只有一条通路：R二Gi ；6(s)=韶煜=i+GiHi+G：H2-GiHiH2系统从R(s到E(s戸有一条通路： 印=1 ； A；=1 L3;GbS 骨尼=i”GTiHiH2Ys-供卷=金R

16、sT3-11(b)有一个信号流图如图 T3-11(b)所示。试利用 Mason公式求总传输。(b)图T3-11信号流图解：依题意，信号流图中从 U到Y共有两条通路：R hGQzGb ； P2 =G4环路共有三个，它们的环路传输分别为:L)= G0 = n11R注意观祭：N =1 = n -1oO注意观祭：N=1v2 = n-120注意观祭：N =2a0 = n-10注意观祭：N=2a1 = n11K注意观祭：N = 2 = n -130注意观祭:N =30 = n-10注意观祭：N=31 = n10注意观祭：N=32 = n 1N30注意观祭:N n -10注意观祭:N n -10注意观祭:N

17、 n -1此表表明：系统的型N （其中N为开环传递函数Go s的积分因子数）越高，稳态误差越小。记忆此表的方法（请参考）：对于输入函数满足 r t 1tk拉氏变换Rs二丄时，k! s00 （N cn-1）1令 k+1 = n,由表易知：eg）=彳一 （N=n-1）.0 （ Nn-1）以本题为例10开环传递函数G0（s） 10 4 ，系统为N =1型，比例因子K= = 2.5Mg） s（1 显S） 44比例因子K怎么求：先把分子和分 母中含有形如（ms+k）的式子都化为（ms + 1）的形式, k揖后化得的开环传递函 数G（s中的系数即为K.拉氏变换 10(1)、r t =10t Rs 2,s1

18、0 10.e ： y 4；K 2.52拉氏变换 46 6、rt =4 6t 3t R s 2 3,s s s6 - .e ： 厂亠s ： = 0 .K 2 3拉氏变换J、 4 6 6 10.8(3)、rt=46t 3t 1.8t R s 2 3 4s s s s6.e： 厂q ny广Gt t： - 0KT4-12某具有扰动输入的反馈控制系统如图 T4-12所示，如果其参考输入量和扰动量都是单位阶跃信号， 即r(t) =d(t) =1(t)图T4-12 具有扰动的单位反馈系统试求其频域响应 Y s、频域误差E s以及时域的稳态误差 e : 解：利用 Mason公式知:K 1 11 K +s +1

19、Ess-Ys；-s(s1)(s-3) Kse ： - lim sE s =1k 1 _ 2V3=V3题后小记1为便于理解：Ys二s J s 3 Rs 戸 D s 1+上丄 1+上，丄s 1 s 3 s 1 s 3令 Y s=Yr s Yd s ；.（叠加原理）特此作出以下推导: 其中：K 1Yr s 二 s 1 s 31 + s 1 s 31s 3/ 彳Rs；.（Yr（s表示的是Rs单独作用下，输出对输 入的响应）K 1Yd s 汁 D s ；（Yd s表示的是D s单独作用下，输出对输 入的响应）1上丄s 1 s 3T4-13某具有扰动输入的反馈系统如图T4-13所示，设R（s） = D（S

20、）= 1/ S。系统中各环节传递函数为G（s）=K0.05s 1G2（S）二G3（s）二 2.5要求：（1）求出系统的稳态误差及调差率；1/S后，求系统的稳态误差及调差率;1/S后，求系统的稳态误差及调差率;（2） 在扰动点左侧的前馈通路中串入积分因子（3） 在扰动点右侧的前馈通路中串入积分因子= 0.04，试画出补偿方框图。（4）在上列（2）的情况下，拟对扰动加装比例型补偿环节，以使调差率解：依题意，由图知:Ys 二YrS Yd S 二rGbRsE s=R s -G3 sY sG2(s)1 G! s G2 s G3 sG2 SG3 s1 G! s G2 s G3 s2.52.5K(0.05s

21、 1)(s 5)2.5K(0.05s 1)(s 5) (0.05s + 1)(s + 2.5)s(0.05s 1)(s 5) 2.5Ks(0.05s 1)图T4-13 具有扰动的反馈系统(2)s(0.05s 1)(s 2.5)、由图 T4 -13(2)知:ES .(0.05s 1)(s 5) 2.5Kse ： = lim sE s =0；G2 s一 lim -1 s 0 1G1 s G2 s G1 ss s0.=-lims 0 1s (0.05s 1)图T4-13(3)、由图 T4 13(3)知：2、(0.05s+1)( s +5s2.5)E s 2 s2(0.05s+1)(s+5)+2.5Ks1ei i： lim sE s 2 T K1 1-lim lim s-P G1 s s-，0 K