第2章数值计算与数据分析.docx

1、第2章 数值计算与数据分析第2章 数值计算与数据分析2.1 基本数学函数2.1.1 三角函数与双曲函数函数 sin、sinh功能 正弦函数与双曲正弦函数格式 Y = sin(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正弦值Y，所有分量的角度单位为弧度。Y = sinh(X) %计算参量X的双曲正弦值Y注意：sin(pi)并不是零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值浮点近似的表示值而已；对于复数Z= x+iy，函数的定义为：sin(x+iy) = sin(x)*cos(y) + i*cos(x)*sin(y)， 例2-1x = -pi:0.01

2、:pi; plot(x,sin(x)x = -5:0.01:5; plot(x,sinh(x)图形结果为图2-1。 图2-1 正弦函数与双曲正弦函数图函数 asin、asinh功能 反正弦函数与反双曲正弦函数格式 Y = asin(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正弦函数值Y。若X中有的分量处于-1,1之间，则Y = asin(X)对应的分量处于-/2,/2之间，若X中有分量在区间-1,1之外，则Y= asin(X)对应的分量为复数。Y = asinh(X) %返回参量X中每一个元素的反双曲正弦函数值Y说明 反正弦函数与反双曲正弦函数的定义为：， 例2-2x = -1:.

3、01:1; plot(x,asin(x)x = -5:.01:5; plot(x,asinh(x)图形结果为图2-2。 图2-2 反正弦函数与反双曲正弦函数图函数 cos、cosh功能 余弦函数与双曲余弦函数格式 Y = cos(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余弦值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，cos(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值浮点近似的表示值而已。Y = sinh(X) %计算参量X的双曲余弦值Y说明 若X为复数z= x+iy，则函数定义为：cos(x+iy) = cos(x)*

4、cos(y) + i*sin(x)*sin(y)， 例2-3x = -pi:0.01:pi; plot(x,cos(x)x = -5:0.01:5; plot(x,cosh(x)图形结果为图2-3。 图2-3 余弦函数与双曲余弦函数图函数 acos、acosh功能 反余弦函数与反双曲余弦函数格式 Y = acos(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余弦函数值Y。若X中有的分量处于-1,1之间，则Y = acos(X)对应的分量处于0,之间，若X中有分量在区间-1,1之外，则Y = acos(X)对应的分量为复数。Y = asinh(X) %返回参量X中每一个元素的反双曲余弦

5、函数Y说明 反余弦函数与反双曲余弦函数定义为：， 例2-4x = -1:.01:1; plot(x,acos(x)x = -5:.01:5; plot(x,acosh(x)图形结果为图2-4。 图2-4 反余弦函数与反双曲余弦函数图函数 tan、tanh功能 正切函数与双曲正切函数格式 Y = tan(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正切值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，tan(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值浮点近似的表示值而已。Y = tanh(X) %返回参量X中每一个元素的双曲正切函

6、数值Y例2-5x = (-pi/2)+0.01:0.01:(pi/2)-0.01; % 稍微缩小定义域plot(x,tan(x)x = -5:0.01:5; plot(x,tanh(x)图形结果为图2-5。 图2-5 正切函数与双曲正切函数图函数 atan、atanh功能 反正切函数与反双曲正切函数格式 Y = atan(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正切函数值Y。若X中有的分量为实数，则Y = atan(X)对应的分量处于-/2,/2之间。Y = atanh(X) %返回参量X中每一个元素的反双曲正切函数值Y。说明 反正切函数与反双曲正切函数定义为：， 例2-6x =

7、 -20:0.01:20; plot(x,atan(x)x = -0.99:0.01:0.99; plot(x,atanh(x)图形结果为图2-6。 图2-6 反正切函数与反双曲正切函数图函数 cot、coth功能 余切函数与双曲余切函数格式 Y = cot(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余切值Y，所有角度分量的单位为弧度。Y = coth(X) %返回参量X中每一个元素的双曲余切函数值Y例2-7x1 = -pi+0.01:0.01:-0.01; % 去掉奇点x = 0x2 = 0.01:0.01:pi-0.01; % 做法同上plot(x1,cot(

8、x1),x2,cot(x2)plot(x1,coth(x1),x2,coth(x2)图形结果为图2-7。 图2-7 余切函数与双曲余切函数图函数 acot、acoth功能 反余切函数与反双曲余切函数格式 Y = acot(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余切函数YY = acoth(X) %返回参量X中每一个元素的反双曲余切函数值Y例2-8x1 = -2*pi:pi/30:-0.1; x2 = 0.1:pi/30:2*pi; % 去掉奇异点x = 0plot(x1,acot(x1),x2,acot(x2)x1 = -30:0.1:-1.1; x2 = 1.1:0.1:30

9、;plot(x1,acoth(x1),x2,acoth(x2)图形结果为图2-8。 图2-8 反余切函数与反双曲余切函数图函数 sec、sech功能 正割函数与双曲正割函数格式 Y = sec(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，sec(pi/2)并不是无穷大，而是与浮点精度有关的无穷小量eps的倒数，因为pi仅仅是精确值浮点近似的表示值而已。Y = sech(X) %返回参量X中每一个元素的双曲正割函数值Y例2-9x1 = -pi/2+0.01:0.01:pi/2-0.01; % 去掉奇异点x = p

10、i/2x2 = pi/2+0.01:0.01:(3*pi/2)-0.01;plot(x1,sec(x1),x2,sec(x2)x = -2*pi:0.01:2*pi;plot(x,sech(x)图形结果为图2-9。 图2-9 正割函数与双曲正割函数图函数 asec、asech功能 反正割函数与反双曲正割函数格式 Y = asec(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正割函数值YY = asech(X) %返回参量X中每一个元素的反双曲正割函数值Y例2-10x1 = -5:0.01:-1; x2 = 1:0.01:5; plot(x1,asec(x1),x2,asec(x2)x

11、 = 0.01:0.001:1; plot(x,asech(x)图形结果为图2-10。 图2-10 反正割函数与反双曲正割函数图函数 csc、csch功能 余割函数与双曲余割函数格式 Y = csc(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。Y = csch(X) %返回参量X中每一个元素的双曲余割函数值Y例2-11x1 = -pi+0.01:0.01:-0.01; x2 = 0.01:0.01:pi-0.01; % 去掉奇异点x=0plot(x1,csc(x1),x2,csc(x2)plot(x1,csch(x1),x2,

12、csch(x2)图形结果为图2-11。 图2-11 余割函数与双曲余割函数图函数 acsc、acsch功能 反余割函数与反双曲余割函数。格式 Y = asec(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余割函数值YY = asech(X) %返回参量X中每一个元素的反双曲余割函数值Y例2-12x1 = -10:0.01:-1.01; x2 = 1.01:0.01:10; % 去掉奇异点x = 1plot(x1,acsc(x1),x2,acsc(x2)x1 = -20:0.01:-1; x2 = 1:0.01:20; plot(x1,acsch(x1),x2,acsch(x2)图形结

13、果为图2-12。 图2-12 反余割函数与反双曲余割函数图函数 atan2功能 四象限的反正切函数格式 P = atan2(Y,X) %返回一与参量X和Y同型的、与X和Y元素的实数部分对应的、元素对元素的四象限的反正切函数阵列P，其中X和Y的虚数部分将忽略。阵列P中的元素分布在闭区间-pi,pi上。特定的象限将取决于sign(Y)与sign(X)。例2-13z=1+2i;r = abs(z);theta = atan2(imag(z),real(z) z = r *exp(i *theta)feather(z);hold ont=0:0.1:2*pi;x=1+sqrt(5)*cos(t);y=

14、sqrt(5)*sin(t);plot(x,y);axis equal; hold off计算结果为：theta =1.1071z =1.0000 + 2.0000i图形结果为图2-13。图2-13 四象限的反正切函数图2.1.2 其他常用函数函数 fix功能 朝零方向取整格式 B = fix(A) %对A的每一个元素朝零的方向取整数部分，返回与A同维的数组。对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝零方向的整数部分。例2-14 A = -1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i; B = fix(A)计算结果为： B = C

15、olumns 1 through 4 -1.0000 0 3.0000 5.0000 Columns 5 through 6 7.0000 2.0000 + 3.0000i函数 roud功能 朝最近的方向取整。格式 Y = round(X) %对X的每一个元素朝最近的方向取整数部分，返回与X同维的数组。对于复数参量X，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝最近方向的整数部分。例2-15A = -1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i;Y = round(A)计算结果为：Y = Columns 1 through 4 -2.0000 0

16、3.0000 6.0000 Columns 5 through 6 7.0000 2.0000 + 4.0000i函数 floor功能 朝负无穷大方向取整格式 B = floor(A) %对A的每一个元素朝负无穷大的方向取整数部分，返回与A同维的数组。对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝负无穷大方向的整数部分。例2-16A = -1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i;F = floor(A)计算结果为：F = Columns 1 through 4 -2.0000 -1.0000 3.0000 5.0000 Colu

17、mns 5 through 6 7.0000 2.0000 + 3.0000i函数 rem功能 求作除法后的剩余数格式 R = rem(X,Y) %返回结果X - fix(X./Y).*Y，其中X、Y应为正数。若X、Y为浮点数，由于计算机对浮点数的表示的不精确性，则结果将可能是不可意料的。fix(X./Y)为商数X./Y朝零方向取的整数部分。若X与Y为同符号的，则rem(X,Y)返回的结果与mod(X,Y)相同，不然，若X为正数，则rem(-X,Y) = mod(-X,Y) - Y。该命令返回的结果在区间0，sign(X)*abs(Y)，若Y中有零分量，则相应地返回NaN。例2-17 X =

18、12 23 34 45; Y = 3 7 2 6; R = rem(X,Y) 计算结果为： R = 0 2 0 3函数 ceil功能 朝正无穷大方向取整格式 B = floor(A) % 对A的每一个元素朝正无穷大的方向取整数部分，返回与A同维的数组。对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝正无穷大方向的整数部分。例2-18A = -1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i;B = ceil(A)计算结果为：B = Columns 1 through 4 -1.0000 0 4.0000 6.0000 Columns 5 t

19、hrough 6 7.0000 3.0000 + 4.0000i函数 exp功能 以e为底数的指数函数格式 Y = exp(X) %对参量X的每一分量，求以e为底数的指数函数Y。X中的分量可以为复数。对于复数分量如，z = x +i*y，则相应地计算：ez = ex*(cos(y) + i*sin(y)。例2-19A = -1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i;Y = exp(A)计算结果为： Y = 1.0e+003 * Columns 1 through 4 0.0001 0.0008 0.0231 0.2704 Columns 5 throug

20、h 6 1.0966 -0.0099 - 0.0049i函数 expm功能 求矩阵的以e为底数的指数函数格式 Y = expm(X) %计算以e为底数、x的每一个元素为指数的指数函数值。若矩阵x有小于等于零的特征值，则返回复数的结果。说明 该函数为一内建函数，它有三种计算算法：（1）使用文件expm1.m中的用比例法与二次幂算法得到的Pad近似值；（2）使用Taylor级数近似展开式计算，这种计算在文件expm2.m中。但这种一般计算方法是不可取的，通常计算是缓慢且不精确的；（3）在文件expm3.m中，先是将矩阵对角线化，再把函数计算出相应的的特征向量，最后转换过来。但当输入的矩阵没有与矩阵

21、阶数相同的特征向量个数时，就会出现错误。例2-20A=hilb(4);Y = expm(A)计算结果为：Y = 3.2506 1.2068 0.8355 0.6417 1.2068 1.7403 0.5417 0.4288 0.8355 0.5417 1.4100 0.3318 0.6417 0.4288 0.3318 1.2729函数 log功能 自然对数，即以e为底数的对数。格式 Y = log(X) %对参量X中的每一个元素计算自然对数。其中X中的元素可以是复数与负数，但由此可能得到意想不到的结果。若z = x + i*y，则log对复数的计算如下：log (z) = log (abs

22、(z) + i*atan2(y,x)例2-21 下面的语句可以得到无理数的近似值：Pi = abs(log(-1)计算结果为：Pi = 3.1416函数 log10功能 常用对数，即以10为底数的对数。格式 Y = log10(X) %计算X中的每一个元素的常用对数，若X中出现复数，则可能得到意想不到的结果。例2-22L1 = log10(realmax) % 由此可得特殊变量realmax的近似值L2 = log10(eps) % 由此可得特殊变量eps的近似值M = magic(4);L3 = log10(M)计算结果为：L1 = 308.2547L2 = -15.6536L3 = 1.2

23、041 0.3010 0.4771 1.1139 0.6990 1.0414 1.0000 0.9031 0.9542 0.8451 0.7782 1.0792 0.6021 1.1461 1.1761 0函数 sort功能 把输入参量中的元素按从小到大的方向重新排列格式 B = sort(A) %沿着输入参量A的不同维的方向、从小到大重新排列A中的元素。A可以是字符串的、实数的、复数的单元数组。对于A中完全相同的元素，则按它们在A中的先后位置排列在一块；若A为复数的，则按元素幅值的从小到大排列，若有幅值相同的复数元素，则再按它们在区间-,的幅角从小到大排列；若A中有元素为NaN，则将它们排到

24、最后。若A为向量，则返回从小到大的向量，若A为二维矩阵，则按列的方向进行排列；若A为多维数组，sort(A)把沿着第一非单元集的元素象向量一样进行处理。B = sort(A,dim) %沿着矩阵A（向量的、矩阵的或多维的）中指定维数dim方向重新排列A中的元素。B,INDEX = sort(A,) %输出参量B的结果如同上面的情形，输出INDEX是一等于size(A)的数组，它的每一列是与A中列向量的元素相对应的置换向量。若A中有重复出现的相同的值，则返回保存原来相对位置的索引。例2-23A = -1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i;B1,INDE

25、X = sort(A)M = magic(4);B2 = sort(M)计算结果为： B1 = Columns 1 through 4 -0.2000 -1.9000 3.1416 2.4000 + 3.6000i Columns 5 through 6 5.6000 7.0000 INDEX = 2 1 3 6 4 5 B2 = 4 2 3 1 5 7 6 8 9 11 10 12 16 14 15 13函数 abs功能 数值的绝对值与复数的幅值格式 Y = abs(X) %返回参量X的每一个分量的绝对值；若X为复数的，则返回每一分量的幅值：abs(X) = sqrt(real(X).2+i

26、mag(X).2)。例2-24A = -1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i;Y = abs(A)计算结果为：Y = 1.9000 0.2000 3.1416 5.6000 7.0000 4.3267函数 conj功能 复数的共轭值格式 ZC = conj(Z) %返回参量Z的每一个分量的共轭复数：conj(Z) = real(Z) - i*imag(Z) 函数 imag功能 复数的虚数部分格式 Y = imag(Z) %返回输入参量Z的每一个分量的虚数部分。例2-25imag(2+3i)计算结果为：ans = 3函数 real功能 复数的实数部分。

27、格式 Y = real(Z) %返回输入参量Z的每一个分量的实数部分。例2-26real(2+3i)计算结果为：ans = 2函数 angle功能 复数的相角格式 P = angle(Z) %返回输入参量Z的每一复数元素的、单位为弧度的相角，其值在区间-，上。说明 angle(z) = imag (log(z) = atan2 (imag(z),real(z)例2-27Z =1-i, 2+i, 3-i, 4+i;1+2i,2-2i,3+2i,4-2i;1-3i,2+3i,3-3i,4+3i;1+4i,2-4i,3+4i,4-4i;P = angle(Z)计算结果为： P = -0.7854 0

28、.4636 -0.3218 0.2450 1.1071 -0.7854 0.5880 -0.4636 -1.2490 0.9828 -0.7854 0.6435 1.3258 -1.1071 0.9273 -0.7854函数 complex功能 用实数与虚数部分创建复数格式 c = complex(a,b) %用两个实数a，b创建复数c=a+bi。输出参量c与a、b同型（同为向量、矩阵、或多维阵列）。该命令比下列形式的复数输入更有用：a + i*b 或a + j*b因为i和j可能被用做其他的变量(不等于sqrt(-1)，或者a和b不是双精度的。 c = complex(a) %输入参量a作为输

29、出复数c的实部，其虚部为0：c = a+0*i。例2-28a = uint8(1;2;3;4);b = uint8(4;3;2;1);c = complex(a,b)计算结果为：c = 1.0000 + 4.0000i 2.0000 + 3.0000i 3.0000 + 2.0000i 4.0000 + 1.0000i函数 mod功能 模数（带符号的除法余数）用法 M = mod(X,Y) %输入参量X、Y应为整数，此时返回余数X -Y.*floor(X./Y)，若Y0，或者是X。若运算数x与y有相同的符号，则mod(X,Y)等于rem(X,Y)。总之，对于整数x,y，有：mod(-x,y) = rem(-x,y)+y。若输入为实数或复数，由于浮点数在计算机上的不精确表示，该操作将导致不可预测的结果。例2-29M1 = mod(13,5) M2 = mod(1:5,3) M3 = mod(magic(3),3)计算结果为：M1 = 3M2 = 1 2 0 1 2M3 = 2 1 0 0 2 1 1 0 2函数 nchoosek功能 二项式系数或所有的组合数。该命令只有对n15时有用。函数 C = nchoosek(n,k) %参量n,k为非负