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1、小学数学典型应用题二11 小学数学典型应用题（二） 17 按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1 学校把植树560棵的任务按人数分配

2、给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？解 总份数为 474845140一班植树 56047/140188（棵）二班植树 56048/140192（棵）三班植树 56045/140180（棵） 答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是345。三条边的长各是多少厘米？解 34512 603/1215（厘米） 604/1220（厘米）605/1225（厘米）答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数

3、的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 1/21/31/996296217 179/179 176/176 172/172答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？人 数80人一共多少人？对应的份数12881221解 80（128）（81221）820（人）答：三个车间一共820人。18 百分数问题【含义】 百分数是表示一个

4、数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数比较量标准量 标准量比较量百分数【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：（1） 求一个数是另一个数的百分之几；（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例1

5、仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解 （1）用去的占 720（7206480）10%（2）剩下的占 6480（7206480）90%答：用去了10%，剩下90%。例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量 所以 （525420）5250.220% 或者 14205250.220%答：男职工人数比女职工少20%。例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人

6、数为比较量，因此 （525420）4200.2525% 或者 52542010.2525%答：女职工人数比男职工多25%。例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？解 （1）男职工占 420（420525）0.44444.4%（2）女职工占 525（420525）0.55655.6%答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率增长数原来基数100%合格率合格产品数产品总数100%出勤率实际出勤人数应出勤人数100%出勤率实际出勤天数应出勤天数100%缺席率

7、缺席人数实有总人数100%发芽率发芽种子数试验种子总数100%成活率成活棵数种植总棵数100%出粉率面粉重量小麦重量100%出油率油的重量油料重量100%废品率废品数量全部产品数量100%命中率命中次数总次数100%烘干率烘干后重量烘前重量100%及格率及格人数参加考试人数100%19 “牛吃草”问题【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】 草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天

8、可以把草吃完？解 草是均匀生长的，所以，草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 11020原有草量20天内生长量同理 11510原有草量10天内生长量由此可知 （2010）天内草的生长量为 110201151050因此，草每天的生长量为 50（2010）5（2）求原有草量原有草量10天内总草量10内生长量11510

9、510100（3）求5 天内草总量5 天内草总量原有草量5天内生长量10055125（4）求多少头牛5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数 125525（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为，3小时内的总水量1123原

10、有水量3小时进水量10小时内的总水量1510原有水量10小时进水量所以，（103）小时内的进水量为 1510112314因此，每小时的进水量为 14（103）2（2）求淘水前原有水量原有水量11233小时进水量362330（3）求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（172），所以17人淘完水的时间是 30（172）2（小时）答：17人2小时可以淘完水。20 鸡兔同笼问题【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的

11、问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有 鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡

12、？解 假设35只全为兔，则 鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）也可以先假设35只全为鸡，则 兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）答：有鸡23只，有兔12只。例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（12）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（35）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数（91216）（3512）10（亩）答：白菜地有

13、10亩。例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有作业本数（690.7045）（3.200.70）15（本）日记本数451530（本）答：作业本有15本，日记本有30本。例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？解 假设100只全都是鸡，则有兔数（210080）（42）20（只）鸡数1002080（只）答：有鸡80只，有兔20只。例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍

14、，问大小和尚各多少人？解 假设全为大和尚，则共吃馍（3100）个，比实际多吃（3100100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（31/3）个。因此，共有小和尚 （3100100）（31/3）75（人）共有大和尚 1007525（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21 方阵问题【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数41（2）方阵总

15、人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数） 内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解 2222484（人） 答：参加体操表演的同学一共有484人。例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。解 10*10（1032）*（1032）84（人） 答：全方阵

16、84人。例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？解 （1）中空方阵外层每边人数524114（人） （2）中空方阵内层每边人数28416（人） （3）中空方阵的总人数141466160（人）答：这队学生共160人。例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数4913（只） （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数（131）27（只） （3）原有棋子数77940（只）答：棋子有40只。例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1

17、棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？解 第一种方法： 1234515（棵）第二种方法： （51）5215（棵）答：这个三角形树林一共有15棵树。22 商品利润问题【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】 利润售价进货价 利润率（售价进货价）进货价100% 售价进货价（1利润率） 亏损进货价售价 亏损率（进货价售价）进货价100%【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？解 设

18、这种商品的原价为1，则一月份售价为（110%），二月份的售价为（110%）（110%），所以二月份售价比原价下降了1（110%）（110%）1%答：二月份比原价下降了1%。例2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（5280%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 5280%（130%）50（元）可以看出该店是盈利的，盈利率为 （5250）504%答：该店是盈利的，盈利率是

19、4%。例3 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25（140%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即0.25120040%86%0.25120040%80%7.20（元）剩下的作业本每册盈利 7.201200（180%）0.03（元）又可知 （0.250.03）0.

20、25（140%）80%答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 110%0.9甲店定价为 0.9（130%）1.17乙店定价为 1（120%）1.20由此可得 乙店进货价为 6（1.201.17）200（元）乙店定价为 2001.2240（元）答：乙店的定价是240元。23 存款利率问题【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是

21、指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。【数量关系】 年（月）利率利息本金存款年（月）数100% 利息本金存款年（月）数年（月）利率 本利和本金利息 本金1年（月）利率存款年（月）数【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。解 因为存款期内的总利息是（14881200）元，所以总利率为 （14881200）1200 又因为已知月利率，所以存款月数为 （14881200）12000.8%30（月）答：李大强的存款期是30月即两年半。

22、例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？解 甲的总利息100007.92%210000（17.92%2）8.28%3 1584115848.28%34461.47（元）乙的总利息 100009%54500（元） 45004461.4738.53（元）答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。24 溶液浓度问题【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个

23、量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】 溶液溶剂溶质 浓度溶质溶液100%【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？解 （1）需要加水多少克？ 5016%10%5030（克） （2）需要加糖多少克？ 50（116%）（130%）5010（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%

24、的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 600（30%25%）30（克）这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100（30%15%）15（克） 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100（3015）200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600200400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有5

25、00克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：甲容器乙容器原 有盐水500盐50012%60水500第一次把甲中一半倒入乙中后盐水5002250盐60230盐水500250750盐30第而次把乙中一半倒入甲中后盐水250375625盐301545盐水7502375盐30215第三次使甲乙中盐水同样多盐水500盐45936盐水500盐453615

26、24由以上推算可知，乙容器中最后盐水的百分比浓度为 245004.8%答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。25 构图布数问题【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】 根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形应是一个五角星。45210因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。例2

27、九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。 4339例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。解 共有五种写法，即 12147 12156 1223712246 12345在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处

28、，其余数都位于两条线的交点处。26 幻方问题【含义】 把nn个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和45315 五级幻方的幻和325565【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（1234567

29、89）345315九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。设“中心数”为，因为出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （123456789）（41）154即 45360 所以 5接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们276951438分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。9274685103解 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为（23456789