尺规作图.docx

1、尺规作图初中几何 第二册 第三章第三单元 尺规作图一、 教法建议【抛砖引玉】本单元要向同学们介绍尺规作图，何谓尺规作图：在几何里，把限定用直尺（没有刻度）和圆规来画图，称为尺规作图最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图在平面几何的学习中和工程绘图中，经常应用因而，在教学中，首先复习几何第一章中学过的作一条线段等于已知线段，用尺规法画图十分方便，免去了度量，准确度更高些，以激发他（她）们的兴趣在此基础上先后引入“作一个角等于已知角”和“平分已知角”首先分析标题，通过分析命题，分清已知什么，求作什么，才能画出已知条件，写好已知、求作在讲解作法时，最好边画图边叙述，然后让学生说明作法的正确性，再写

2、出作法，证明（或引导学生写证明），讲完后要反复练习，发现错误，及时纠正，防患未然，在练中学，在学中练，以便切实掌握作图方法，并且从课本中给出的锐角推广到直角和钝角，仍然能掌握它们的作图方法并会证明通过前两个基本作图的学习，再继续讲授“经过已知点作已知直线的垂线”和“作线段的垂直平分线”对于“经过已知点作已知直线的垂线”应分两种情况：已知点在直线上或已知点在直线外，两种情况缺一不可对于已知点在直线外的情况，证明略去，在教学中，应引导学生补证一下，这样可使学生确信作图的正确性，另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法，这样新旧知识交叉，互相渗透，相辅相成，将收到较好的教学效果在学好练好，掌握好五

3、种（初一学过的一种）基本作图的基础上，再介绍其应用即什么是几何作图以及几何作图的一般步骤在教学中，要说明几何作图与一般画图不同，它严格规定只准用直尺（没有刻度）和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，不能随便画比较复杂的作图，要经过严格分析，才能找到作图的依据和方法教学中对比较复杂的作图不要涉及，只要求学生掌握经过简单分析就可以作出的题目，如求作出三角形，会写出最简单的几何作图的已知、求作、作法即可并通过实例、习题的教学，进一步强调几何作图的三个步骤在叙述作法中，不需要重述基本作图过程【指点迷津】四种基本作图是本单元学习主要内容，尤其对前两种更是重中之重因而，在学习中一定要准确地使用作图工

4、具画出符合要求的正确图形，每一步画图都要有根有据准确精练的几何语言，同学们叙述起来比较困难，为此，教学中可分步进行一、教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂；二、教师叙述作法，让学生作图；三、教师画图学生叙述作法、交错进行，反复练习，最后再要求学生自己作图，写作法学过基本作图后，遇有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了与此同时，画图的方法更多了，如没有特别指出，可以选用任何一种你认为方便的方法画图二、学海导航【思维基础】回答下列问题：1在几何里把了限定用直尺和图规来画图，称为 ，最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图2基本作图包括：（i）作一个角等

5、于 ；（ii）平分 ；（iii）经过一点 ；（iv）作线段的 第一章学过的作一条线段等于 3 于一条线段并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线【学法指要】 例1已知：直线AB及直线AB外一点C 求作：过点C作CDAB（画出图形，不写作法，保留作图痕迹） 思路分析：假设符合条件的图形已作出（如左图），那么直线CD过点C，且CDAB符合条件我们从左图可知：CDAB 反之，只要FCD=FEB或DCE=AEC，那么CDAB这时就将问题转化为“作一个角等于已知角”的基本作图上来因为直线AB和点C是固定的，所以FEB与AEC均是固定的另要作FCD=FEB或DCE=AEC即可于是便得到如下

6、两种画法：过C作ECF与AB交于点E，作FCD=FEB或DCE=AEC，得如下两图，均符合条件（作图痕迹略） 例2如图，已知平角AOB，试用直尺和圆规将平角AOB三等分（不写已知，求作，画法，保留作图痕迹）思路分析1：已知角AOB为平角，AOB=180，要把AOB三等分，那么它三等分的每一个角是60，由60这一特殊角度，引起我们构造两个等边三角形，即以OA，OB分边作等边三角形，问题就解决，也就找到作法，如左图（作图痕迹略）思路分析2：由思路1的分析，启发我们又有多种思路可以找到如上作图，当作出等边三角形AOC后，因BOC=120，再作BOC的平分线即可或作出等边AOC后，再作COD=AOC（

7、或COD=CAO或COA）即可或作出等边AOC后，再作BOD=OAC即可于是又可找到三种作法，画图如下：（作图痕迹略） （作COB的平分线） （作COD=AOC） （作BOD=OAC）这就是将求作的问题转化为基本作图平分已知角，而中图与右图又将问题转化为基本作图而作一个角等于已知角可见，必须熟悉基本作图，才有利于打开作图题的思路，望同学们一定要掌握好五种基本作图，遇到有关作图问题才能得心应手例3已知：线段a，s，s2a 求作：等腰三角形，使它的底边等于a，周长等于s（作图痕迹略）思路分析：本例要作的等腰三角形已知底边a，周长为s，关键是知道等腰三角形的腰长因为等腰三角形两腰相等，现又知两腰之和

8、为(sa)所以将线段(sa)平分即可求出等腰三角形腰长为 (sa)那么等腰三角形的三边为a， (sa)， (sa)便知道，仿课本P38知道三边画三角形方法即可画出符合要求的等腰三角形作法：（如前页图） （i）在线段AD(AD=s)上用圆规截取AB=a； （ii）作线段BD(BD=sa)的中垂线L与BD交于点O； （iii）以AB(AB=a)为底，BD(BD= (sa)为腰作等腰三角形ABC即为所求证明：由作图可知：AB=a，AC=BC=BO= (sa)，AB+AC+BC=a+ (sa)+ (sa)=s故所求作的等腰三角形符合要求例4已知斜边，求作一锐角为15的直角三角形 已知：线段c求作：直角

9、三角形，并使斜边为c一锐角为15（作图痕迹略）思路分析：本例要作Rt，知道斜边及直角，是没法作出这样的三角形必须知道15的角才能作出符合条件的三角形如何作出15的角呢？我们可以发现15角是60角的四分之一由60角又启发我们作等边三角形，便出现60角再把60角四等分，便得出15角，问题便解决了得作法如下：i）作出15角（BAD=15），作AB=c；ii）作BAD=BAD=15；iii）过点B作AD的垂线BC交AD于C点则ABC为所求作的Rt本例在探索15角时，将问题转化为“平分已知角(60)”问题，进而又得出“作一个角等于已知角(15)”最后又用到“经过一点作已知直线的垂线”，使问题圆满解决一道

10、问题用到三种基本作图，才把思路打开如果对基本作图不十分熟悉，是很难找到思路的只有对基本作图熟练驾驭，遇到陌生问题，才能借助基本作图这位“向导”找到思路【思维体操】例作已知锐角的平分线（不要求写已知，求作，作法，以下各题要求相同，保留作图痕迹）扩散一：作已知直角的平分线扩散二：作22.5的角扩散四：作已知钝角的平分线扩散五：如图，将已知角四等分扩散六：作15的角扩散七：如图，作ABC的A，B，C的平分线扩散八：如图，已知公路AB和CD，准备在两公路间修一条高速公路，与两公路始终保持等距，试画出高速公路示意图由扩散一扩散八，试题进引各种变化，但归根结底，却又回归到基本作图平分已知角，所以在学习中一

11、定要抓住基本作图的“精髓”，才能进一步的深化与提高，才能把较复杂的作图题转化到基本作图上来，从而打开思路三、智能显示【心中有数】本单元向同学们介绍了什么是尺规作图，并能够用尺规完成下列基本作图：（1）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过已知点作已知直线的垂线能用五种基本作图作三角形：已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形，已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知一直角边及斜边作直角三角形等了解尺规作图的一般步骤，会写出已知，求作，作法通过基本作图练习，并能解决生产、生活中的一些简单的实际问题，并能将一些较复杂的作图题转化为

12、基本作图题去解决学会转化的方法，学会基本作图的方法，以适应社会的需求【动脑动手】1如图l为一段直的河岸，A，B是河岸同侧的两个村庄，在河岸l上修建一个水泵站C，分别向A，B两个村抽水，这个水泵站应建在什么位置，可使水泵站到两个村庄距离相等？请问圆规和直尺在图中作出满足条件的水泵站C的位置（不写作法，证明，保留作图痕迹）2如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且交角为90某仓库G在A区，到铁路，公路的距离相等（即G点在NOQ的平分线上），且到公路与铁路的相交点O的距离为200m，（1）在图上标出仓库G的位置（比例R，1 : 10000）用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；（2）求出仓库G到铁路

13、的实际距离3如图，A，B，C三点表示某平原的三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置P（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） 4已知：线段a 求作：ABC，使ACB=90，AB=a，并且A=30（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不必写作法与证明）5如图，请作出由A地经过B地去河边l的最短路线（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）参考答案：（作图痕迹略）点C为水泵站位置2（1）200m=200cm图距为：200002(cm)即OG2cm如图，G为仓库位置（2）自G作GBMN，垂足为B点（这里不要求用尺规作）依题设知OBG为等腰直角三角形OG200

14、m2GB2=2002 GB200GB100 (m)答：仓库到铁路的实际距离为100m4 以上三图中的ABC均符合条件，都为所求作的三角形如图，线段AB与BP即为所求【创新园地】1已知：线段a，c和角，用圆规和直尺作出ABC，使ABc，BCa，ABC（不要求写作法，但要保留作图痕迹）2已知：线段a和 求作：直角三角形ABC，使C90，BCa，B（要求：不写作法，每步都要用尺规作图并保留作图痕迹）3已知：线段m和 求作：等腰ABC，使顶角A2，腰ABm（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法和证明）4已知：，和线段a 求作：ABC，使B =，C，BC=a（要求：不要写作法及证明，要用尺规作图，

15、并保留作图痕迹）四、同 步 题 库填空题1.（1）尺规作图是指用 来画图.（2）基本作图包括： ； ； ； ； ；它们是几何作图的 .（3）最基本的几何作图语句有：过点 ，点 ，作直线 或作直线 ；连结两点 ， 或连结 .延长 到点 ，使 = .在 上截取 = ；以点为 为圆心， ，为半径作弧，交 于点 ；分别以点 点 为圆心；以 ， 为半径作弧，两弧交于点 .一般几何作图应有下面几个步骤： ；目前我们只要求写出 三个步骤.2.用尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）作出ABC的AB边的中点D，再作出DEBC交AC于点E.（如图1-3-17）3.已知斜边，一锐角，作直角三角形.4.已知ABC，求

16、作一点P，使点P到AB，AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等. 图1-3-17 图1-3-185.如图1-3-18，在直线MN上求作一点P，使点P到OA，OB的距离相等.（注35尺为尺规作图）6.已知：线段a、b，求作以a为底，以b为底边上的高的等腰三角形（要求用圆规和直尺作图，不必写出作法和证明，但必须保留作图痕迹.7.如图1-3-19，A，B两个村子在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水

17、管总费用F. 图1-3-198.已知：如图1-3-20，直线MN和线段AB.求作：线段AB关于直线MN的对称线段AB（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）.9.要求用尺规作图，写出作法，保留作图痕迹，不证明.已知二边和夹角作三角形.10.已知线段AB，求作以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABC（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.11.如图1-3-21，一块三角形ABC，阴影部分已破损.（1）只要从残留的玻璃片中度量出哪些边，角，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片ABC，请简单说明理由.（2）用（1）中度量的边，角作ABC（要求尺规作图，保留作图

18、痕迹）.12.用尺规作图，已知两边及第三边上的高求作三角形. 图1-3-20 图1-3-21参 考 答 案同步题库1.（2）直尺和圆规；（2）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一条射线平分已知角；过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线；依据（3）A，A，AB，BA；A，B，AB；AB，E，AB，BE；OA，OM，a；O，OD，OA，D；D，E，OD，OE，C；尺规作图，基本作图.2.如图1-3-273.已知：，线段m.求作：RtABC,使A=，斜边AB=m.作法：（1）作线段AB=m （2）以A为顶点作BAO= （3）过点B过AO的垂线BC，BC交AO于C.ABC即为所求. 图

19、1-3-27 图1-3-28 图1-3-294.已知：ABC（如图1-3-30）.求作：点P，使PA=PC，且点P到边AB、AC的距离相等.作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN；（2）作BAC的平分线AO，AO交MN于P.点P即为所求. 图1-3-30 图1-3-315.已知：AOB及直线MN（如图1-3-31）.求作：点P，使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等.作法：作AOB的平分线OE交直线MN于点P.点P即为所求.6.已知：线段a，b a b 求作：等腰ABC，使底BC=a，高AD=h.作法：（1）作线段BC=a； （2）作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D； （3）在M

20、N上截取DA=b； （4）连结AB，AC，ABC即为所求. 图1-3-327.解：（参照原题图）要使铺设水管费用最省，关键是使水厂到两村距离最短，因之，应延长AC到A，使AC=AC，连结AB，与CD相交于点O，点O就是我们要选择的水厂O的位置. BDOACO， ODOC=BDAC=3即OD：（OD+OC）=34，也即ODDC=34 BO=又OC=CD-OD=3- 铺设的管道最短为：AO+BO=5 每公里工程费用为：20000元 总费用F至少为520000=100000（元）.8.略9.见下图 10.见图1-3-33 图1-3-3311.（1）只要度量出B，C的度数和边BC的长，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片ABC.其理由是根据“角边角定理”知ABC、ABC. （2）见图1-3-34 图1-3-3412.已知：线段b,c,h.求作：ABC，使AC=b，AB=c，ADBC，D为垂足，且AD=h作法：（1）作ABD，使ADBD，AB=c,AD=h.（2）以A为圆心，b为半径作弧，分别交BD或它的延长线上一点C1，C.（3）连结AC，AC1. ABC及ABC1均为所求作的三角形. 图1-3-35