线性代数习题答案详解.docx

1、线性代数习题答案详解线性代数习题答案详解【篇一：段正敏主编线性代数习题解答】张应应 胡佩 2013-3-1 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 行列式 . 1 矩阵 . 22 向量组的线性相关性 . 50 线性方程组 . 69 矩阵的相似对角化 . 91 二次型 . 114 1 附录：习题参考答案 . 129 1 教材：段正敏，颜军，阴文革:线性代数，高等教育出版社，2010。第一章 行列式 1填空题： （1）3421的逆序数为 5 ； 解：该排列的逆序数为t?0?0?2?3?5. （2）517924的逆序数为 7； 解：该排列的逆序数为t?0?1?0?0?3?3?7. （3）设有

2、行列式 21d?6 1?1 5?1501 ?130201 047832 ?432=?(aij)， 含因子a12a31a45的项为； 解：(?1) t(23154) a12a23a31a45a54?(?1)3?5?2?6?8?3?1440 (?1)t(24153)a12a24a31a45a53?(?1)4?5?0?6?8?1?0 所以d含因子a12a31a45的项为-1440和0. （4）若n阶行列式dn?(aij)?a,则d?(?aij)?解：?行列式d中每一行可提出一个公因子?1， ?1? n a ； ?d?(?aij)?1?(aij)?1?a. nn 1 （5）设f(x)? 14?8 1x

3、x 2 2?248 ，则f(x)?0的根为； x3 解：f(x)是一个vandermonde行列式， ?f(x)?(x?1)(x?2)(x?2)(?2?1)(?2?2)(2?1)?0的根为1，2，-2. （6）设x1,x2,x3是方程x?px?q?0的三个根，则行列式 3 x1 x3 x2x1x3 x3 x2? ； x1 3 3 2 x2 解：根据条件有x?px?q?(x?x1)(x?x2)(x?x3)?x?(x1?x2?x3)x?ax?x1x2x3 比较系数可得：x1?x2?x3?0，x1x2x3?q?x13?px1?q?3 再根据条件得：?x2?px2?q ?x3?px?q 3?3 原行列

4、式=x1?x2?x3?3x1x2x3?p(x1?x2?x3)?3q?3?(?q)?0. 3 3 3 x （7）设有行列式?1 23 x0=0，则x； x1 x 解：?1 23 x0?x2?3x?2?(x?1)(x?2)?0 x1 ?x?1,2. a11 （8）设f(x)? a12a22xa42 a13xa33a43 xa24a34a44 ，则多项式f(x)中x3的系数为； a21a31x 解：按第一列展开f(x)?a11a11?a21a21?a31a31?xa41， ?a11,a21,a31中最多只含有x2项，?含有x3的项只可能是xa41 a12 xa41?x(?1)4?1a22 x a13

5、xa33 xa24a34 3 ?x?xaa?aa?aa?x?a13a22a34?a12a24a33?123413242233? ?xa41不含x3项，?f(x)中x3的系数为0. 1234 （9）如果 6543002x0033 =0，则x 1234 解： 65430020033 122x ?(5?12)(6?3x)?0 x6533 ?x?2.000 （10） a000 ； b000c 000d 解：将行列式按第一行展开： 000b000c 000d a000 b00 ?a?(?1)1?40c 0?abcd. 00d a31 （11）如果b a?3b?3c?3 21?r1?3r3? r2?2r3

6、 01=1，则521?a ?at 41 ； ca31 解：b 1 abc302111 a?3b?3c?351 21 41 ?1. 0121a11 c a12a22a32 a132a112a122a222a32 2a12?2a13 2a22?2a23 2a32?2a33 （12）如a21 a31 2a112a122a13 a23=2，则2a21 2a31a33a21?a31 a21?3a11a22?3a12a23?3a13 a11 a12a22a32 00a21a22a23 a11a13 0a31a32a33 a21a22a23 2123 a31a32?1a33 ； a a22?a3211 a1

7、2 a23?a33 a13 a13a33 解：a?a21 a23?1?2?3?at?a12?2?3?2 a31 2a112a31 2a122a32 2a22?2a23?2?12?22a32?2a33 ?3?8?0?a?16 2?2?2?3?231?2?2?3 2a212a22 ?8?1?2?2?1?22a112a122a13 a21?3a11a22?3a12a23?3a13 a21?a31 a22?a32?2?1a23?a33 ?2?3?1?2?3?2?1?2?3?1?2?3?2?2 ?2?3?1?3?1?2?3?2?3?2?1?2 ?2?1?2?1 ? ?3 ?2?1?2 ? ?2at?4

8、0a11a12a13 0a21a22a23 0a31a32a33 2 1?按第一行展开?23 ab 1?4 2（?-1）at?4. （13）设n阶行列式d=a?0，且d中的每列的元素之和为b，则行列式d中的第二行的代数余子式之和为=?； a11 解： a12?a1n? ? a11? a12?a1nb? ? b?=b a111? a12?a1n1? ? 1? a21?an1 a22?a2n?每行元素加到第二行?ban2?ann an1an2?annan1an2?ann ?按第二行展开? b?a21?a22?a2n?a?0 ?b?0,且a21?a22?a2n?0 ?a21?a22?a2n? a b

9、 实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和ai1?ai2?ain? a ,i?1,2,?,n. b a11 （14）如果 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 =1，则 000a11 a22a32a42a12 a23a33a43a23 a24a34a44a24 000 a42 a22a23a24 a32a33a34 1 a43=?； a11 a44 a22 解：令b?a32 a23a33a43 a24 a34，则 a44 a42【篇二：同济大学_第五版_线性代数课后习题解析】34 5【篇三：线性代数习题及解答】：本卷中，a-1表示方阵a的逆矩阵，r

10、(a)表示矩阵a的秩，|?|表示向量?的长度，?t表示向量?的转置， e表示单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 a11 a12a13 3a113a123a131设行列式a21 a22a23=2，则?a31?a32?a33=（） a31 a32 a33 a21?a31 a22?a32 a23?a33 a-6 b-3 c3 d6 2设矩阵a，x为同阶方阵，且a可逆，若a（x-e）=e，则矩阵x=（） ae+a-1 be-a ce+a

11、 de-a-1 3设矩阵a，b均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） a?a? a-1? ?b?可逆，且其逆为?b-1 ? b? ? ?a?b?不可逆 ? c?a? ?b-1?d?b? 可逆，且其逆为?a -1? ? ?a? ?a-1?b?可逆，且其逆为? ? b-1? ? 4设?1，?2，?k是n维列向量，则?1，?2，?k线性无关的充分必要条件是a向量组?1，?2，?k中任意两个向量线性无关 b存在一组不全为0的数l1，l2，lk，使得l1?1+l2?2+lk?k0 c向量组?1，?2，?k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 d向量组?1，?2，?k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

12、5已知向量2?(1,?2,?2,?1)t,3?2?(1,?4,?3,0)t ,则?=（） a（0，-2，-1，1）t b（-2，0，-1，1）t c（1，-1，-2，0）t d（2，-6，-5，-1）t 6实数向量空间v=(x, y, z)|3x+2y+5z=0的维数是（） a1 b2 ） （c3 d4 7设?是非齐次线性方程组ax=b的解，?是其导出组ax=0的解，则以下结论正确的是 （） a?+?是ax=0的解 c?-?是ax=b的解 8设三阶方阵a的特征值分别为a2,4,c b?+?是ax=b的解 d?-?是ax=0的解 11 ,3，则a-1的特征值为（） 24 b 1 3111, 24

13、3 11,3 24 1 d2,4,3 9设矩阵a= 2?1 ，则与矩阵a相似的矩阵是（） 1 a?1 ?12 3 01 b1 02 ?2 c 1 11 d ?2 1 10以下关于正定矩阵叙述正确的是（） a正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 c正定矩阵的行列式一定大于零 二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。 11设det (a)=-1，det (b)=2，且a，b为同阶方阵，则det (ab)=_ 3 b正定矩阵的行列式一定小于零 d正定矩阵的差一定是正定矩阵 1 12设3阶矩阵a=4 2t ?2 3，b为3阶非零矩阵，且ab=0，则

14、t=_ 1 -1 3?1 k 13设方阵a满足a=e，这里k为正整数，则矩阵a的逆a=_ 14实向量空间r的维数是_ n17设?是齐次线性方程组ax=0的解，而?是非齐次线性方程组ax=b的解，则a(3?2?)=_ 18设方阵a有一个特征值为8，则det（-8e+a）=_ 19设p为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则|px|=_ 20二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正惯性指数是_ 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 2 2 2 1 21计算行列式 142 ?12?614 2 ?1?1?4121 2 22设矩阵a= 3

15、5 ，且矩阵b满足aba=4a+ba，求矩阵b -1-1-1 23设向量组?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并 将其余向量通过极大线性无关组表示出来 ?1 24设三阶矩阵a=?2 45 3 3，求矩阵a的特征值和特征向量 2 ?4?2 25求下列齐次线性方程组的通解 ?x1?x3?5x4?0 ? ?2x1?x2?3x4?0 ?x?x?x?2x?0 234?1 2?24?20 26求矩阵a= 301 03 60 ?1101 10 的秩 ?12 四、证明题（本大题共1小题，6分） a11 27设三阶矩阵

16、a=a21 a12a22a32 a13 a23的行列式不等于0，证明： a33 a31 ?a13?a11?a12? ? ?1?a21?,?2?a22?,?3?a23?线性无关 ?a?a?a?31?32?33? 线性代数习题二 说明：在本卷中，a表示矩阵a的转置矩阵，a表示矩阵a的伴随矩阵，e表示单位矩阵。 的行列式，r(a)表示矩阵a的秩。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或t * a 表示方阵a 未选均无分。 1.设3阶方阵a的行列式为2，则 ? 1 2 a?() a.-1

17、b.?14 c. 14 d.1 x?2 x?1 x?2 2.设 f(x)?2x?2 2x?12x?2,则方程f(x)?0的根的个数为（） 3x?23x?23x?5 a.0 b.1 c.2 d.3 3.设a为n阶方阵，将a的第1列与第2列交换得到方阵b，若a?b,则必有（a.a?0 b. a?b?0 c. a?0 d. a?b?0 4.设a,b是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（） a.(a?b) 2 ?a2?2ab?b2 b.(a?b)(a?b)? a2?b2 c.(a?e)(a?e)?(a?e)(a?e) d.(ab) 2 ?a2b2 ?a1ba1b2a1b3? 5.设a? 1?a2b1

18、aa? 0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,则矩阵a的秩为（?a3b1 a3b2 a3b3? a.0 b.1 c.2 d.3 6.设6阶方阵a的秩为4，则a的伴随矩阵a*的秩为（） a.0 b.2 ） ）c.3 d.4 b.-4 d.10 ?x1?x2?x3?4? 8.已知线性方程组?x1?ax2?x3?3无解，则数a=() ?2x?2ax?4 2?1 a.?c. 1 2 b.0 d.1 1 2 9.设3阶方阵a的特征多项式为a.-18 c.6 ?e?a?(?2)(?3)2,则a?() b.-6 d.18 10.若3阶实对称矩阵a?(aij)是正定矩阵，则a的3个特征值可能为（） a.-1，-2，-3 c.-1，2，3 b.-1，-2，3 d.1，2，3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 30 11.设行列式d 4 2,其第3行各元素的代数余子式之和为_. ?22 53?2 12.设a? a?a?b?b?,b?,则ab?_. ?a?a?bb? ?103? ? ?103? 14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为_. ?x1?x2?x3?0 ? 16.设方程组?x1?x2?x3?0有非零解，且数?0,则?_. ?x?x?x?0 3?12