第7章 MATLAB在概率统计中的应用.docx

1、第7章 MATLAB在概率统计中的应用第7章 MATLAB在概率统计中的应用一、统计量的数字特征（一）简单的数学期望和几种均值 mean(x) 平均值函数当x 为向量时，得到它的元素平均值；当x 为矩阵时，得到一列向量，每一行值为矩阵行元素的平均值，举例1：求矩阵A的平均值。D=74.001 74.005 74.003 74.001 74.00 73.998 74.006 74.02Mean(d)举例2：设随机变量x的分布规律如下表，求E(x)和E(3x2+5)的值E(x)的值X-20pk0.40.3 E(x)的值：x=-2 0 2，pk=0.4 0.3 0.3sum(x*pk) E(3x2+

2、5)的值。x=-2 0 2，pk=0.4 0.3 0.3z=3*x.2+5sum(z*pk)（二）数据比较 max 最大值 min 最小值 median 中值 sort 由小到大排序（三）求和与积 sum 求向量或矩阵的元素累和 prod： 求当前元素与所有前面元素的积举例：下面的程序用来求向量各元素的之和prod=1varx=2 3 4for x=varx prod=prod*xend（四）方差和标准差为了反映随机变量与其均值的偏离程度 方差表示为标准差表示为：样本方差为：样本标准差为： 方差函数VarVar(x) x为向量，返回向量的样本方差；x为矩阵，则返回矩阵各列的方差。Var(x,1

3、) 返回向量（矩阵x）的简单方差（即置前因子为的方差）Var(x,w) 返回向量（矩阵）x即以w为权的方差。 Std 标准差函数Std(x) 返回向量或矩阵x的样本标准差（置前因子为）Std(x,1) 返回向量或矩阵x的标准差（置前因子为）举例： d=74.001 74.005 74.003 74.001 74.00 73.998 74.006 74.02mean(d)var(d,1) %方差var(d) %样本方差std(d,1) %标准差std(d) %样本标准差 （五）协方差和相关系数 cov(x)：x为向量，返回向量的方差，x为矩阵时返回矩阵的协方差矩阵，其中协方差矩阵的对角元素是x矩

4、阵的列向量的方差值。 cov(x,y)：返回向量x.,y的协方差矩阵，且x，y的维数必须相同。 cov(x,1)：返回向量x的协方差（矩阵），置前因子为 corrcoef(x,y)：返回列向量x,y的相关系数。 corrcoef(x)： 返回矩阵x的列元的相关系数矩阵。举例：a=1 2 1 2 2 1x1=var(a) %向量的方差y1=cov(a) %向量的方差d=rand(2,6)cov1=cov(d) %矩阵D的样本协方差c=rand(3,3)x2=cov(c) %矩阵C的样本协方差y2=corrcoef(c) %矩阵C各列元的相关系数二、常用的统计分布量（一）期望和方差函数名调用方式参

5、数说明函数注释BetastatM，V=betastat（A，B）M为期望值V为方差值A、B为分布参数分布的期望方差BinostatM，V=binostat(N,P)N主实验次数P为二次分布概率二项式分布的期差和方差ChizstatM，v=Chi2stat(nu)nu为卡方分布参数卡方分分布的期望和方差ExpstatM，V=expstat(mu)mu为指数分布的特征参数指数分布的期望和方差FstatM1,V=fstat(v1,v2)V1和V2为F分布的两个自由度F分布的期望和方差GamstatM，v=gamstat(A1,B)A,B为分布的参数分布的期望和方差GeostatM，v=geostat

6、(P)P为几何分布的几何概率参数几何分布的期望和方差HygestatMN,V=hygestat(M1,K1,N)M,K,N为超几何概分布参数超几何分布的期望和方差LonstatM,V=logstat(mu,sigma)mu为对数分布的均值,sigma为标准差PoisstatM,V=Poisstat(LAMBDA)LAMBDN为泊松分布参数NormstatM1,V=normstat(mu,signa)Mu为正态分布的均值sinma为标准差正态分布的期望和方差TstatM,V=tstat(nu)Nu为T分布参数UnifstatM1,V=unifstat(A,B)A,B为均分布区间端点值举例1：求参

7、数为0.12 和0.34的分布的期望和方差m,v=betastat(0.12,0.34) m为期望，v为方差举例2：求参数为6的泊松分布参数的期望和方差m,v=poisstat(6) m为期望，v为方差（二）概率密度函数1 离散型随机变量的分布及其数字特征（1）基本概念如果随机变量X的所有可能取值为有限个或无穷可列个，则称X为离散型随机变量设X的所有可能值为X1，X2，并且X取这些值的概率为：PX=Xk=pk， k=1，2，则称其为随机变量X的概率分布它满足以下性质：(1) pk0,k=1，2， (2).称为累积概率分布（2）常见类型 二项式分布若随机变量X的所有可能取值为0，1，n，其概率分

8、布为其中q=1-p，则称X服从参数为n和p的二项分布，记作XB(n，p)显然，两点分布是二项分布的特例二项分布的数学期望为E(X)=np，方差为D(X)=npq在MATLAB中提供有二项分布的统计函数：binopdf()、binocdf()、binoinv()、binornd() 以及计算二项分布均值和方差的函数binostat()，其使用格式为：binopdf(X,N,P) 二项分布的密度函数binocdf(X,N,P) 二项分布的累积分布函数binoinv(Y,N,P) 二项分布的逆累积分布函数binornd(N,P,m,n) 产生服从二项分布的随机数binostat(N,P) 求二项分布

9、的数学期望与方差其中X为随机变量；N为独立试验的重复数；P为事件发生的概率；m和n分别是所产生随机矩阵的行数和列数若不指定m和n，则返回一个随机数，否则返回一个服从二项分布的mn阶随机矩阵 举例:不同试验重复数n和不同概率p下二项分布的函数分布图和累积分布函数图程序如下:x=0:70;y1=binopdf(x,30,0.67);z1=binocdf(x,30,0.67);y2=binopdf(x,50,0.67);z2=binocdf(x,50,0.67);y3=binopdf(x,80,0.67);z3=binocdf(x,80,0.67);subplot(2,2,1);plot(x,y1,

10、k.,x,y2,k.,x,y3,k.);subplot(2,2,2);sstep(x,z1,k); % sstep绘制累积函数分布图sstep(x,z2,k);sstep(x,z3,k);y1=binopdf(x,50,0.3);z1=binocdf(x,50,0.3);y2=binopdf(x,50,0.6);z2=binocdf(x,50,0.6);y3=binopdf(x,50,0.9);z3=binocdf(x,50,0.9);subplot(2,2,3);plot(x,y1,k.,x,y2,k.,x,y3,k.);subplot(2,2,4);sstep(x,z1,k);sstep(

11、x,z2,k);sstep(x,z3,k);运行结果如下:由于MATLAB不提供绘分段函数图象的命令，故可借助如下函数sstep()描绘累积函数分布图，其用法如下：sstep(Y)或sstep（X，Y）其中X用于指定画线位置，Y表示线相对坐标轴的高度，还可增加线的属性function xo,yo = sstep(varargin)error(nargchk(1,3,nargin);sym = ;if isstr(vararginnargin), sym = vararginnargin; msg,x,y = xychk(varargin1:nargin-1,plot); if isempty(

12、msg), error(msg); endelse msg,x,y = xychk(varargin1:nargin,plot); if isempty(msg), error(msg); endendif min(size(x)=1, x = x(:); endif min(size(y)=1, y = y(:); endn,nc = size(y); ndx = 1:n;1:n;y2 = y(ndx(1:2*n-1),:);if size(x,2)=1, x2 = x(ndx(2:2*n),ones(1,nc);else x2 = x(ndx(2:2*n),:);endx2(2*n)=2*

13、x2(2*n-1)-x2(2*n-3);y2(2*n)=y2(2*n-1);if (nargout 0 为常数，则称X服从参数为的泊松分布，记作XP() ，泊松分布的数学期望E(X)=，方差D(X)= 在MATLAB中，提供如下有关泊松分布的统计函数，使用格式为：poisspdf(X,LMD) 泊松分布的密度函数poisscdf(X,LMD) 泊松分布的累积分布函数poissinv(Y,LMD) 泊松分布的逆累积分布函数poissrnd(LMD,M,N) 产生服从泊松分布的随机数poissstat(LMD) 求泊松分布的数学期望与方差其中X为随机变量；Y为显著概率值；LMD为参数，M和为产生随

14、机矩阵的行数和列数例如类似于二项分布可用下述程序绘出服从泊松分布的密度函数和累积分布函数图(见图2):图2 泊松分布的概率密度与累积概率分布图举例：x=0:5;y1=poisspdf(x,0.3);z1=poisscdf(x,0.3);y2=poisspdf(x,0.6);z2=poisscdf(x,0.6);y3=poisspdf(x,0.9);z3=poisscdf(x,0.9);subplot(2,1,1);plot(x,y1,k.,x,y2,k.,x,y3,k.);subplot(2,1,2);sstep(x,z1,k);sstep(x,z2,k);sstep(x,z3,k);利用逆累

15、积概率分布函数求一定显著概率条件下，泊松分布假设检验临界值:x=0:0.1:1;x= 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0poissinv(x,5)ans = 1 2 3 4 4 5 5 6 7 8 Infpoissinv(x,10)ans = 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Infpoissinv(x,100)ans = 1 87 92 95 97 100 102 105 108 113 Infpoissinv(x,1)ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 Inf求服从泊松分布的随机数及数学期望与方差如下：po

16、issrnd(1) ans = 1poissrnd(5) ans = 5poissrnd(5,5,10)ans = 4 6 9 1 4 10 7 3 3 6 7 5 4 3 4 5 4 6 5 2 6 4 3 8 2 6 4 5 5 6 3 8 6 8 8 8 1 6 3 7 4 4 10 6 7 4 5 4 2 3e,d=poisstat(5) e = 5 d = 5e,d=poisstat(10) e = 10 d = 10 超几何分布如果随机变量X的所有可能取值为，(L=minM，N)， X的概率分布为其中整数M，N0，且nM-N ，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布，记作XH(N，

17、M，n) MATLAB中有关超几何分布的统计函数为：hygepdf(M,n,k,N) 超几何分布的密度函数hygepcdf(M,n,k,N) 超几何分布的累积分布函数hygeinv(P,n,k,N) 超几何分布的逆累积分布函数hygestat(n,k,N) 超几何分布的数学期望与方差2 连续型随机变量的分布及其数字特征(1)基本概念设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f (x)，使对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，并称 f (x)为X的概率密度，它满足以下性质：1 f (x)0，-x+; ; Pa0，则称X服从参数为和2 的正态分布，记作XN(,2)当=0， =1时，称X服从

18、标准正态分布，记作XN(0,1)MATLAB提供的有关正态分布的函数如下： normpdf(X,M,C) 正态分布的密度函数 normcdf(X,M,C) 正态分布的累积分布函数 norminv(P,M,C) 正态分布的逆累积分布函数 normrnd(M,C,m,n) 产生服从正态分布的随机数 normstat(M,C) 求正态分布的数学期望和方差其中X为随机变量，M为正态分布参数，C为参数，P为显著概率，m和n为随机矩阵的行数和列数绘制标准正态分布的密度函数及累积分布函数图（图5-7上）和一般正态分布的密度函数及累积分布函数图（图5-7下）的程序如下：x=-4:0.01:4;y=normpd

19、f(x,0,1);z=normcdf(x,0,1);subplot(2,2,1);plot(x,y,k);axis(-4,4,-0.1,0.5);subplot(2,2,2);plot(x,z,k);axis(-4,4,-0.1,1.1);x=-4:0.01:16;y1=normpdf(x,6,1);z1=normcdf(x,6,1);y2=normpdf(x,6,4);z2=normcdf(x,6,4);y3=normpdf(x,6,0.6);z3=normcdf(x,6,0.6);subplot(2,2,3);plot(x,y1,k,x,y2,k,x,y3,k);axis(-4,16,-0

20、.1,0.8);subplot(2,2,4);plot(x,z1,k,x,z2,k,x,z3,k);axis(-4,16,-0.1,1.1);图5-7 正态分布的密度函数及累积分布函数图（3）求解方法 通用函数介绍.Pdf 计算已选函数的概率密度函数,调用格式为:Y=Pdf(name, X,A)Y=Pdf(name, X,A,B)Y=Pdf(name, X, A,B,C) Name为上表中取stat后的字符，如beta、 bino 、chiz、exp等。 利用专用函数.Betapdf(X1，A1，B)Binopaf(X,N,P)（4）举例举例1：计算正态分布N（0，1）下的在点0.7733的值

21、pdf(morm,0.7733,0,1)举例2：绘制卡方分布密度函数在n分别等于1，5，15 时的值 x=0:0.2:30y1=chi2pdf(x,1)plot(x,y1,+)hold ony2=chi2pdf(x,5)plot(x,y2,+)y2=chi2pdf(x,15)plot(x,y2,o)axis(0,30,0,0.2)举例3：3概率值函数 求X点处概率值. Binocdf(X,N,P) Betacdf(X,A,B) Normcdf(X1,mu,sigma).数值点函数(逆概率函数,ZNV)-已知概率值求概率分布点时. 函数名+inv(参数) betainv(P,A,B) binoi

22、nv(Y,N,P)chixinv(P,v)举例1：设xN(3,22)求p2x5, p-4x2, px3a1=normcdf(2,3,2)a2=normcdf(5,3,2)p1=a2-a1p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)p3=1-normcdf(2,3,2)+normcdf(-2,3,2)p4=1-normcdf(3,3,2)三、参数估计1参数估计函数表 函数名调用形式函数注解BetafitBetafit(x),PHAT,PCI=betafit(X,ALPHA)返回分布的最大似然估计值和水平的置信区间BinofitBinofit(X)PHAT,PCI=bino

23、fit(x,AaLPHA)二项式分布最大似然估计，水平的参数估计和置数区间ExpfitExpfit(x)MUHAT,MUCI=expfit(x,ALPHA)指数分布的最大似然估计，水平的参数估计和水平的置信区间GaamfitGamfit(x)PHAT,PCI=gamfit(x,ACPHA)返回最大似然估计；水平的期望,方差值和区间的估计 NormfitNoormfit(x,ALPHA)MUHAT,SIGAHT,SIGMACI=normfit(x,ALPHA)正态分布的最大似然估计,水平的期望、方差值和区间的估计PoissfitPoissfit（x）cAMBAHAT，LANBDACI=poiss

24、fit（x，ALPHA）泊松分布的最大估计；水平的参数和区间估计UnifitUnifit（x，ALPHA）AHAT，BHAT，ACT，BCI=unifit（x，ALPHA）均匀分布的最大估计，水平的参数及其区间估计举例1：假设某种清漆的9个样本，其干燥时间（以小时计）分别为5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0，设干燥时间总体服从正态分布N（，2），求，的置信度为0.95的置信区间。time=6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0MUHAT,SIGMAHAT,MUCI,SIGMACI=normfit(time,0.05)其中：MUHAT为

25、的估计值，此例为6，MUCI为估计区间5.5584，6.4416，SIGMAHAT为的估计值，此例为0.57456，此例为，SIGMACI的估计区间0.3880 1.1005。四、假设检验（一）单个总体（u，2）均值的检验。1巳知时的u检验（u检验法）ztest H、SIG=Ztest（X、M、sigma，ALPHA，TAIL）当标准差sigma巳知时，函数一正态检验来判断是否来自一正态公布的样本的期望值。M作为评判标分准估计，默认值ALPHA=005，TAIL=0当原假设为“期望值等于M”当TAIL=0时，备择假设为“期望值不等于M”当TAIL=0时，备择假设为“期望值大于M”当TAIL=0时，备择假设为“期望值小于M”ALPHA为设生产的显若水平，（默认为005），sig为当原假设为真时，得到观察的概率样本，H=0，表示“在显著水平为alpha”情况下，不能拒绝原假设，H=1，表示“在显著水平为alpha”情况下，可以拒绝原假设。例1：x=0.497