全国高中数学联合竞赛代数题汇总.docx

1、全国高中数学联合竞赛代数题汇总2009：二、求证不等式：， 2008：三、（本题满分50分）设，。证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（），；（）存在；（），。证 必要性：假设存在满足（），（），（iii）注意到（）中式子可化为 ， 其中将上式从第1项加到第项，并注意到得 10分由（）可设，将上式取极限得 ，因此 20分充分性：假设定义多项式函数如下：，则在0,1上是递增函数，且，因此方程在0,1内有唯一的根，且，即 30分下取数列为，则明显地满足题设条件（），且 因，故，因此，即的极限存在，满足（） 40分最后验证满足（），因，即，从而 综上，存在数列满足（），（），（） 50分2006

2、：在此记号系统下，原方程组的第一个方程为 （3.1） 于是2005：2004：2002：二、（本题满分50分）实数和正数使得有三个实根，且满足：；。求证：。解： f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)x2+(a+x3)x+x32+ax3+b x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的两个根 x2-x1= (a+x)2-4(x32+ax3+b)= 23x32+2ax3+2+4b-a2=0x3(x1+x2) () 且 4a2-12b-320 () 10分 f(x)=x3+ax2+bx+c = 20分 f(x3)=0 () 由()得 记p=，由() 和()可知p且 令 y=，则y0且 30分 =0 40分 取a=2,b=2,c=0,=2，则f(x)=x3+ax2+bx+c有根，0 显然假设条件成立，且 综上所述，的最大值是 50分2001：二、设（），且，求的最大值与最小值。解：先求最小值，因为1等号成立当且仅当存在i使得xi1，xj0，ji 最小值为1 10分再求最大值，令 设， 令 则 30分 令0，则 由柯西不等式得： 等号成立 由于a1a2an，从而，即xk0 所求最大值为 50分友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！