全国初中数学竞赛辅导初3 第19讲 平面几何中的几个著名定理.docx

1、全国初中数学竞赛辅导初3 第19讲 平面几何中的几个著名定理第十九讲* 平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看

2、作是一种享受下面我们来介绍一些著名的定理1梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著球面论，着重讨论球面三角形的几何性质以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理定理 一直线与ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证 过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图398由AXQBXP得同理将这三式相乘，得说明 (1)如果直线与ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出

3、现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AXBYCZ=XBYCZA，仍然成立(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果那么X，Y，Z共线”梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线例1 已知ABC的内角B和C的平分线分别为BE和CF，A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线证如图399有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线 例2(戴沙格定理) 在ABC和ABC中，若AA，BB，CC相交于一点S，则AB与AB，BC与BC，AC与AC的交点F，D，E共线 证 如图3100，直线FAB截SAB，由梅内劳斯定理有

4、同理，直线ECA和DCB分别截SAC和SBC，得将这三式相乘得所以D，E，F共线2塞瓦定理意大利数学家塞瓦(GCeva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理定理 在ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则证 如图3101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则由于BHDCKD，所以同理可证将这三式相乘得说明 (1)如果P点在ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BDCEAF=DCEAFB，仍然成立(2)塞瓦定理的逆定理

5、也成立，即“在ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF相交于同一点” 证 如图3102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F，由塞瓦定理得 所以 FB=FB，即F与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点证 (1)如果D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB的中点，则由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点(2)如果D，E，F分别是ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，

6、BE，CF共点(3)设D，E，F分别是ABC的高AD，BE，CF的垂足(i)当ABC是锐角三角形时(如图3103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点(ii)当ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos(180-A)=-ccosA，AF=bcos(180-A)=-bcosA,FB=acosB，所以 由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点(iii)当ABC是直角三角形时，高AD，BE，

7、CF都经过直角顶点，所以它们共点例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点 证 如图3104设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即其中=CBA1=BCA1同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点3斯台沃特定理 定理 ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则 证 过A作AEBC，E为垂足(如图3105)，设DE=x，则有AE2=b2-(v-x)2=

8、c2-(u+x)2=t2-x2，(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v)于是得消去x得(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，这就是中线长公式(2)当AD是ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质 设a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式(3)当AD是ABC的高时，AD2=b2-u2=c2-v2再由u+v=a，解得所以若设AD=ha，则这就是三角形的高线长公式当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式这就是三角形的面积公式伦公式例5 如图3106在ABC中，cb，AD是ABC的角平分线，E在BC上，BE=CD求证：AE2-AD2=(c-b)2证 为方便起见

9、，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u由斯台沃特定理得所以因为AD是角平分线，所以于是 4托勒密定理托勒密(Ptolemy，约公元85165年)是古代天文学的集大成者一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积证 设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，CPD=(图3107)若四边形ABCD的四边都相等，则四边形A

10、BCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立若四边不全相等，不失一般性，设BD，于是ABDEDB，从而AD=BE又而 S四边形ABCD=S四边形BCDE，所以即(ADBC+ABCD)sinEBC=ACBDsin由于=DAC+ADB=DBC+EBD=EBC，所以ADBC+ABCD=ACBD说明 (1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，ABCD+ADBCACBD当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立”由此可知，托勒密定理的逆定理也成立(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成 例6 如图3108过A的圆截平行四边形A

11、BCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：APAB+AQAD=ARAC证 连结PQ，PR，QR在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得APQR+AQPR=ARPQ又因为1=2，3=4，所以PQRCAB，于是设上面的比值为k，并考虑到BC=AD，有QR=kAB，PR=kAD，PQ=kCA，于是可推得APAB+AQAD=ARAC 例7 如图3109等边ABC内接于XYZ，A在YZ上，B在ZX上，C在XY上，证明：证 对四边形ABXC运用托勒密定理，得AXBCBXAC+XCAB，所以AXBX+XC同样地BYCY+YA，CZAZ+ZB将上述三式相加就得所要证明的不等式等号成立的充分必要条件是X，Y，Z

12、在ABC的外接圆上，但ZBX，XCY，YAZ都等于，因此等号成立只能是X，Y，Z分别与C，A，B重合的情况平面几何中的著名定理，除了上述所介绍的梅内劳斯定理、塞瓦定理、斯台沃特定理、托勒密定理外，还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫莱定理等等这里，限于篇幅，因此不作讨论练习十九1已知ABC的内角B和C的平分线分别为BE和CF，A的外角平分线与BC的延长线相交于D求证：D，E，F共线2过ABC的三个顶点A，B，C分别作ABC的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB的延长线交于D，E，F求证：D，E，F三点共线3在ABC的边BC上任取一点D，设ADB和ADC的角平分线分别交AB，AC于F和E求证：AD，BE，CF相交于同一点4在梯形ABCD中，ABDC，ADBD，DC=3，BC=7，DA=8，求AB，BD和AC的长PA(PA+PC)=PB(PB+PD)6设P是等边三角形ABC所在平面上的任意一点，那么根据P落PC+PA=PB或PC+PAPB