《离散数学》试题及答案.docx

1、离散数学试题及答案一、填空题 1 设集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 则A - B_3_; (A) - (B) _3,1,3,2,3,1,2,3_ .2. 2. 设有限集合A, |A| = n, 则 | (AA)| = _3. 设集合A = a, b, B = 1, 2, 则从A到B的所有映射是_ 1= (a,1), (b,1), 2= (a,2), (b,2), 3= (a,1), (b,2), 4= (a,2), (b,1);_, 其中双射的是_ 3, 4._4. 已知命题公式G (P Q)R，则G的主析取范式是_(P QR)_.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点

2、，则G的总度数为_12_，分枝点数为_3_.6 设A、B为两个集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 则从A B_4_; A B_1, 2, 3, 4_;AB _1, 2_ .3. 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是_自反性；对称性；传递性_.8. 设命题公式G (P (Q R)，则使公式G为真的解释有_(1, 0, 0)_，_ _(1, 0, 1)_, _(1, 1, 0)_.9. 设集合A1,2,3,4, A上的关系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R1 = (2,1),(3,2),(4,3), 则 R1 R2 = _(1,3),(2,2),(

3、3,1)_,R2 R1 =_(2,4),(3,3),(4,2)_ _, R12 =_(2,2),(3,3)_.4. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| | (A B)| = _2m n_.11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = x | -1x1, x R, B = x | 0x 2, x R,则A-B = _x | -1x 0, x R_ , B-A = _x | 1 x 6 (D)下午有会吗？5 设I是如下一个解释：Da,b, 则在解释I下取真值为1的公式是( D ). (A) x yP(x,y) (B) x yP(x,y) (C) xP(x,x

4、) (D) x yP(x,y).6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G xP(x), H xP(x),则一阶逻辑公式G H是( C ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.8 设命题公式G (P Q)，HP (Q P)，则G与H的关系是( A )。 (A)G H (B)H G (C)GH (D)以上都不是.9 设A, B为集合，当( D )时ABB.

5、 (A)AB (B)A B (C)B A (D)AB .10 设集合A = 1,2,3,4, A上的关系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 则R具有( B )。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对11 下列关于集合的表示中正确的为( B )。 (A)a a,b,c (B)a a,b,c (C) a,b,c (D)a,b a,b,c12 命题 xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.13. 设G是连通平面图，

6、有5个顶点，6个面，则G的边数是( A ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( A )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为( D ). (A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、计算证明题1.设集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R为整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元

7、。(1) (2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2. 设集合A1, 2, 3, 4，A上的关系R(x,y) | x, y A 且 x y, 求 (1) 画出R的关系图；(2) 写出R的关系矩阵.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. 设R是实数集合， , , 是R上的三个映射， (x) = x+3, (x) = 2x, (x) x/4,试求复合映射 ， , , ， . (1) ( (x) (

8、x)+32x+32x+3.(2) ( (x) (x)+3(x+3)+3x+6,(3) ( (x) (x)+3x/4+3, (4) ( (x) (x)/42x/4 = x/2,(5) ( ) +32x/4+3x/2+3.4. 设I是如下一个解释：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011试求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) x y P (y, x).(1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2) = P(3, 2)P(2, 3) = 10 = 0.

9、(2) x y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3) = (01)(01) = 11 = 1.5. 设集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R为A上整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；(3) 写出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.1)(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. 设命题公式G = (PQ)(Q( PR),

10、 求G的主析取范式。G = (PQ)(Q( PR) = ( PQ)(Q(PR) = (P Q)(Q(PR) = (P Q)(QP)(QR) = (P QR)(P Q R)(PQR)(PQ R)(PQR)( PQR) = (P QR)(P Q R)(PQR)(PQ R)( PQR) = m3m4m5m6m7 = (3, 4, 5, 6, 7).7. (9分)设一阶逻辑公式：G = ( xP(x) yQ(y) xR(x)，把G化成前束范式.G = ( xP(x) yQ(y) xR(x) = ( xP(x) yQ(y) xR(x) = ( xP(x) yQ(y) xR(x) = ( x P(x) y

11、 Q(y) zR(z) = x y z( P(x) Q(y)R(z)9. 设R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元关系, R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出r(R), s(R), t(R)；(2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.(1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d)

12、, (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图:11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：(1) G = (PQ)( PQR) (2) H = (P(QR)(Q( PR)G(PQ)( PQR)(PQ R)(PQR)( PQR)m6m7m3 (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q( PR)(PQ)(QR)( PQR)(PQ R)(PQR)( PQR)(PQR)( PQR)(PQ R)( PQR)(PQR)m6m3m7 (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. 设R和S是集合Aa, b, c, d上的关系，其中R(a, a)

13、,(a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 试写出R和S的关系矩阵；(2) 计算RS, RS, R1, S1R1.(1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四、证明题1. 利用形式演绎法证明：PQ, RS, PR蕴涵QS。证明：PQ, RS, PR蕴涵QS(1) PR P(2) RP Q(1)(3) PQ P(4) RQ Q(

14、2)(3)(5) QR Q(4)(6) RS P(7) QS Q(5)(6)(8) QS Q(7)2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(BC).证明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC) = A(BC) = A-(BC)3. (本题10分)利用形式演绎法证明： AB, C B, CD蕴涵AD。证明： AB, C B, CD蕴涵AD(1) A D(附加)(2) AB P(3) B Q(1)(2)(4) C B P(5) BC Q(4)(6) C Q(3)(5)(7) CD P(8) D Q(6)(7)(9) AD D(1)(8)所以 AB, C B, CD蕴涵AD.

15、4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：A(AB) = (AB)B .4. 证明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB) (AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB) = AB所以：A(AB) = (AB)B.参考答案一、填空题 1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2. .7. 1= (a,1), (b,1), 2= (a,2), (b,2), 3= (a,1), (b,2), 4= (a,2), (b,1); 3, 4.8. (P QR).9. 12, 3. 10. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. 11. 自反性

16、；对称性；传递性.12. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).13. (1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).14. 2m n.15. x | -1x 0, x R; x | 1 x 2, x R; x | 0x1, x R.16. 12; 6.17. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).18. x( P(x)Q(x).19. 21.20. (R(a)R(b)(S(a)S(b).21. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(

17、1, 2),(1, 3). 二、选择题 1. C. 2. D. 3. B. 4. B.5. D. 6. C. 7. C.8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A. 15. D三、计算证明题1. (1)(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. (1) ( (x) (x)+32x+32x+3.(2) ( (x) (x)+

18、3(x+3)+3x+6,(3) ( (x) (x)+3x/4+3, (4) ( (x) (x)/42x/4 = x/2,(5) ( ) +32x/4+3x/2+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2) = P(3, 2)P(2, 3) = 10 = 0. (2) x y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3) = (01)(01) = 11 = 1.5. (1)(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界

19、，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. G = (PQ)(Q( PR) = ( PQ)(Q(PR) = (P Q)(Q(PR) = (P Q)(QP)(QR) = (P QR)(P Q R)(PQR)(PQ R)(PQR)( PQR) = (P QR)(P Q R)(PQR)(PQ R)( PQR) = m3m4m5m6m7 = (3, 4, 5, 6, 7).7. G = ( xP(x) yQ(y) xR(x) = ( xP(x) yQ(y) xR(x) = ( xP(x) yQ(y) xR(x) = ( x P(x) y Q(y) zR(z) = x y z( P(x) Q(y)R

20、(z)9. (1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图:11. G(PQ)( PQR)(PQ R)(PQR)( PQR)m6m7m3 (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q( PR)(PQ)(QR)( PQR)(PQ R)(PQR)( PQR)(PQR)

21、( PQR)(PQ R)( PQR)(PQR)m6m3m7 (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. (1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四 证明题1. 证明：PQ, RS, PR蕴涵QS(1) PR P(2) RP Q(1)(3) PQ P(4) RQ Q(2)(3)(5) QR Q(4)(6) RS P(7) QS Q(5)(6)(8) QS Q(7)2. 证明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC) = A(BC) = A-(BC)3. 证明： AB, C B, CD蕴涵AD(1) A D(附加)(2) AB P(3) B Q(1)(2)(4) C B P(5) BC Q(4)(6) C Q(3)(5)(7) CD P(8) D Q(6)(7)(9) AD D(1)(8)所以 AB, C B, CD蕴涵AD.5. 证明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB) (AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB) = AB所以：A(AB) = (AB)B.