高数上册内容总结.pdf

1、1 定义：2 运算法则：1 定义：2 运算法则：（1）四则运算（2）复合函数（1）四则运算（2）复合函数 3 性质：3 性质：（1）有界性（2）唯一性（3）保号性 （4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。（5）（1）有界性（2）唯一性（3）保号性 （4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。（5）)()()(limxAxfAxf+=，其中，其中0)(lim=x。4 无穷小量的阶：4 无穷小量的阶：第一章主要内容第一章主要内容机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束一、极限一、极限5 求极限的方法：求极限的方法：(1)定义，运算法则及性质;(2)夹逼定理；(3)单调有

2、界原理（求数列极限）；(4)单侧极限与极限的关系；(5)两个重要极限：(1)定义，运算法则及性质;(2)夹逼定理；(3)单调有界原理（求数列极限）；(4)单侧极限与极限的关系；(5)两个重要极限：1sinlim0=xxxexxx=+=+)11(limexxx=+=+10)1(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束ennn=+=+)11(lim常用的等价无穷小量：常用的等价无穷小量：当 当0 x时,时,xx sin，xx tan，xx)1ln(+xx arcsin，xx arctan，xex1,221cos1xx,xxaxln1 xx 1)1(+,机动 目录

3、上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束(6)利用等价无穷小代换；利用等价无穷小代换；(7)罗必达法则（注意应用条件）;（罗必达法则（注意应用条件）;（8）利用泰勒公式。）利用泰勒公式。1 定义：定义：)()(lim00 xfxfxx=；0lim0=yx。2 性质：性质：（1）初等函数在其定义域内是连续的。（2）连续等价与左右连续且相等。（1）初等函数在其定义域内是连续的。（2）连续等价与左右连续且相等。3 间断点的类型：间断点的类型：（1）第一类间断点；（2）第二类间断点。（1）第一类间断点；（2）第二类间断点。二、连续性二、连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录

4、 上页 下页 返回 结束4 闭区间上连续函数的性质：闭区间上连续函数的性质：（1）零点存在定理；（1）零点存在定理；（2）介值定理；（2）介值定理；（3）最大值，最小值定理；（3）最大值，最小值定理；1、导数的定义1、导数的定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx +=+=机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx +=;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx +=+函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导

5、数)(0 xf 和右 导数和右 导数)(0 xf+都存在且相等.都存在且相等.第二章主要内容第二章主要内容2、基本导数公式2、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx+=（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx+=arc机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回

6、 结束3、求导法则3、求导法则设 设)(),(xvvxuu=可导，则（1）可导，则（1）vuvu =)(,（2）,（2）uccu=)(c是常数),（3）是常数),（3）vuvuuv+=)(,（4）,（4）)0()(2 =vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(,)()(yxfxfyyx =则有的反函数为如果函数则有的反函数为如果函数机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)复合函数的求导法则(3)复合函数的求导法则).()()()()(,)(xufxydxd

7、ududydxdyxfyxuufy =或导数为的则复合函数而设=或导数为的则复合函数而设(4)对数求导法(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束(5)隐函数求导法则(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程间的函数关系与确定若参数方程xytytx=;)()(tt

8、dtdxdtdydxdy=.)()()()()(322tttttdxyd =(6)参变量函数的求导法则(6)参变量函数的求导法则机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束注意：注意：1、熟记求导公式；2、复合函数求导要熟练掌握；3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。1、熟记求导公式；2、复合函数求导要熟练掌握；3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。4、高阶导数4、高阶导数,)()(lim)(0 xxfxxfxfx +=二阶导数二阶导数记作阶导数的阶导数的导数称为函数的函数一般地记作阶导数的阶导数的导数称为函数的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()(

9、)(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束莱布尼兹公式.莱布尼兹公式.)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu=+=+=+=?常用的 高阶导数公式常用的 高阶导数公式nnxnx+=)1()1()()4()(?nnnxnx)!1()1()(ln1)(=)2sin()(sin)2()(+=+=nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(+=+=n

10、kxkkxnn)0(ln)()1()(=aaaanxnxxnxee=)()(1)(!)1()1()5(+=nnnxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束!)()(nxnn=1)()1(!)1()11(+=nnnxnx1)()1(!)11(+=nnxnx.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx=+=+=+=+=+=即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数即或记作的微分于自变量

11、增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数5、微分的定义、微分的定义定义定义.的线性主部叫做函数增量微分的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)(微分的实质)机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束6、导数与微分的关系6、导数与微分的关系.)(,)()(000 xfAxxfxxf=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理定理7、微分的求法7、微分的求法dxxfdy)(=求法：求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分.计算函数的导数，乘以自变量的微分.机动 目录

12、 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud=+=+=8、微分的基本法则8、微分的基本法则微分形式的不变性微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx=dxxfdy)(=机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(c

13、sctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221=dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(+=+=arc机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束9、导数和微分的求法9、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分

14、段函数的导数注意讨论分界点分界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5)高阶导数的求法(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束第三章内容小结：第三章内容小结：机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束罗尔

15、罗尔(Rolle)中值定理：中值定理：若若)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，内可导，且且)()(bfaf=，则在，则在),(ba内至少存在一点内至少存在一点)(ba ，使得：，使得：0)(=f 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理：中值定理：若若)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，则在内可导，则在),(ba内至少存在一点内至少存在一点)(ba ，使得：，使得：abafbff =)()()(一、微分中值定理：一、微分中值定理：柯西柯西(Cauchy)中值定理：中值定理：设 设)(xf和和)(xg在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，内可

16、导，且且)(xg 在在),(ba内每一点处均不为零，则在内每一点处均不为零，则在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使得：，使得：)()()()()()(gfagbgafbf =。二、洛比达法则：二、洛比达法则：注意应用的条件注意应用的条件机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+=+=?)()()!1()()(010)1(之间与在其中之间与在其中xxxxnfxRnnn+=+=)()(0nnxxoxR=或或三、泰勒公式：三、泰勒公式：)0()(!)0(!2)0()0()0()()(2+=+=xxoxnfxfxffxfnnn?)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2+=+=+nnnnxnxfxnfxfxffxf?麦克劳林(Maclaurin)公式麦克劳林(Maclaurin)公式带拉格朗日余项的麦克劳林公式带拉格朗日余项的麦克劳林公式带佩亚诺余项的麦克劳林公式带佩亚诺余项的麦克劳林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束机