考研数学三真题.pdf

1、2010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 分析、详解和评注 分析、详解和评注 考研数学专家 曹显兵、刘喜波教授 解答 考研数学专家 曹显兵、刘喜波教授 解答 分析解答所用参考资料分析解答所用参考资料：曹显兵（线代、概率部分）与刘喜波（高数部分）的授课讲稿，黄先开、曹显兵与刘喜波主编的参考书：1.2010 考研数学经典讲义，简称经典讲义(人大社出版).2.2010 考研数学最新精选 600 题，简称 600 题.3.2010 考研数学经典冲刺 5 套卷，简称冲刺卷.一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四

2、个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上.(1)若 xxeaxx)1(1lim0=1,则 a 等于(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【】【答案答案】应选(C).【分析分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出 a.【详解详解】xeaxeaxxxxxx)1(1lim)1(1lim00=)1(lim0 xxxaexe+=1lim0 xxe=+a=1+a=1,所以 a=2.因此应选(C).【评注评注】本题形式上是一个反问题，实际上就是最基本的未定式“”型。原题见经典讲义微积分部分的例题原题见经典讲义微积分部分的例题 1.35,以及强化班第一讲中的例题以及强

3、化班第一讲中的例题 19.(2)设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数,使 y1+y2 是该方程的解,y1 y2是对应的齐次方程的解,则(A)21,21=.(B)21,21=.(C)31,32=.(D)32,32=.【】【答案答案】应选(A).【分析分析】此题主要考察线性微分方程解的性质和结构【详解详解】因 y1 y2 是方程y+p(x)y=0 的解,所以 (y1 y2)+p(x)(y1 y2)=0 即 y1+p(x)y1 y2+p(x)y2 =0 由已知得 ()q(x)=0,因为 q(x)0,所以 =0,又12yy+是非齐次y+p(x)y=q(x)的解

4、,1考研数学助手您考研的忠实伴侣故 (y1+y2)+p(x)(y1+y2)=q(x).即 y1+p(x)y1 y2+p(x)y2 =q(x).由已知得 (+)q(x)=q(x).因为 q(x)0,所以 +=1,解得 21,21=.【评注评注】此题属反问题，题目构造较新颖。原题见经典讲义微积分部分的第八章解的性质和解的结构定理原题见经典讲义微积分部分的第八章解的性质和解的结构定理 (3)设函数f(x),g(x)具有二阶导数,且满足等g(x)小于零,g(x0)=a是 g(x)的极值,则 f(g(x)在x0 取极大值的(一个充分)条件是(A)f (a)0.(C)f (a)0.(D)f (a)0.【】

5、【答案答案】应选(B).【分析分析】求 f(g(x)的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。【详解详解】f(g(x)=f (g(x)g (x),f(g(x)=f (g(x)g(x)=f (g(x)g(x)2+f (g(x)g(x),由g(x0)=a是 g(x)的极值知 g (x0)=0.于是有 ,0()|0 x xf g x=()000()|()()()x x0f g xfg xgxfagx=由于g(x0)0,要使f(g(x0)0.因此应选(B).【评注评注】本题主要考查导数的应用。原题见经典讲义微积分部分的第三章定理原题见经典讲义微积分部分的第三章定理 3.8、3.10(4)设f(

6、x)=ln10 x,g(x)=x,h(x)=10 xe,则当x充分大时有 (A)g(x)h(x)f(x).(B)h(x)g(x)f(x).(C)f(x)g(x)h(x).(D)g(x)f(x)h(x).【】【答案答案】应选(C).【分析分析】计算两两比的极限【详解详解】因为1010()1limlimlim()10 xxxxxh xeeg xx+=+，91091ln()lnlnlimlimlim 1010 lim()1xxxxxf xxxg xxx+=x 81lnln110 9 lim10 92 lim10!lim01xxxxxxx+=?x，所以当x充分大，()()()f xg xh x s.(

7、C)若向量组 II 线性无关,则 r s.(D)若向量组 II 线性相关,则 r s.【】【答案】应选(A).【详解】因向量组 I 能由向量组 II 线性表示，所以 r（I）r（II），即 r(1,2,r）r(1,2,s)s,而向量组I线性无关，于是 r(1,2,r)=r，所以 r s.选(A).【评注评注】这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案.原题见经典讲义线性代数部分的第三章原题见经典讲义线性代数部分的第三章1 中的推论中的推论 3.5.(6)设A为 4 阶实对称矩阵,且A2+A=O,若A的秩为 3,则A与相似于 (A).(B).01110111(C).(D).【

8、】01110111【答案】应选(D).【详解】设为A的特征值，由于A 2+A=O，知特征方程 2+=0，得 1=或 0.由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即 A ，r（A）=r（）=3，因此 A=，0111应选 D).【评注】(1)若 A 可对角化，则 r（A）=A 的非零特征值的个数.(2)本题由A 2+A=O即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉.几乎原题见经典讲义线性代数部分的例题几乎原题见经典讲义线性代数部分的例题 5.30，5.39,以及强化班第一讲中的例题以及强化班第一讲中的例题 8、冲刺辅导班讲义线性代数部分例题、冲刺辅导班讲义线性代数部分例题 4.(7)设随机

9、变量的分布函数=.1,1,10,21,0,0)(xexxxFx 则 PX=1=(A)0.(B)21.(C)121e.(D)1e1.【】【答案答案】(C)【分析分析】本题考查如何利用分布函数来计算随机变量取值的概率.属基本题.【详解详解】根据分布函数的性质,有 3 PX=1=PX 1 PX=.0),(,0),()(21xxbfxxafxf (a 0,b 0)为概率密度,则 a,b 应满足 (A)2a+3b=4.(B)3a+2b=4.(C)a+b=1.(D)a+b=2.【】【答案答案】(A)【分析分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质，属基本题.【详解详解】由已知有 21221)(xexf=,

10、=.,0,31,41)(2其他xxf 由概率密度的性质有 1=+dxxf)(+=0201)()(dxxfbdxxfa+=+30141)(2dxbdxxfaba432+=，所以 2a+3b=4,选(A).几乎原题见经典讲义概率统计部分的例题几乎原题见经典讲义概率统计部分的例题 2.5,以及强化班第二讲中的例题以及强化班第二讲中的例题 4.二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.(9)设可导函数 y=y(x)由方程确定,则dttxdtexyxt=+020sin20|=xxddy=_.【答案

11、答案】应填1.【分析分析】先由方程求出时0 x=0y=，再两边对求导，属基础题型.x【详解详解】由，令 x=0，得 y=0,dttxdtexyxt=+020sin2等式两端对 x 求导得 xxdttdxdyexyx202)(sinsin)1(2+=+=+,将 x=0，y=0 代入上式，得0|10=+=+=xdxdy,所以0|=xxddy=1.【评注评注】利用变限积分求导公式时，被积函数中不能含有及的函数。xx几乎原题见经典讲义微积分部分习题精选二解答题的第几乎原题见经典讲义微积分部分习题精选二解答题的第 2 题。题。(10)设位于曲线)ln1(12xxy+=(e x+)下方,x 轴上方的无界区

12、域为 G,则 G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 _.4【答案答案】应填24.【分析分析】利用旋转体的体积公式即得【详解详解】dxxxdxyVee+=)ln1(122)(lnln112xdxe+=arctan lnx+e)42(=24【评注评注】计算时须注意这是一个反常积分。(11)设某商品的收益函数为R(P),收益弹性为 1+PP 3,其中P为价格,且R(1)=1,则R(P)=_.【答案答案】应填)1(313PeP.【分析分析】利用弹性的定义列方程，然后解此微分方程【详解详解】由弹性的定义知 31dR PPdP R=+=+,得dPPPRdR)1(2+=,两边积分得 ln R=ln P

13、+CP+331 又由 R(1)=1 知，31=C,所以)1(313=PePR.故应填)1(313PeP.【评注】此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，属基本题型.几乎原题见经典讲义微积分部分第九章的例题几乎原题见经典讲义微积分部分第九章的例题 9.6(12)若曲线 y=x 3+a x 2+bx+1 有拐点(1,0),则b=_.【答案答案】应填 3.【分析分析】利用(1,0)是曲线拐点的条件列方程解出 b.【详解详解】y=x 3+a x 2+bx+1 在整个实数区间上可导,且 y=3 x 2+2 a x+b,y=6x+2 a,因(1,0)是曲线的拐点，有 026=+a,即 a=3.又点(

14、1,0)在曲线上,于是 0=(1)3+3(1)2+b(1)+1,得b=3.故应填 3.(13)设A,B为 3 阶矩阵,且|A|=3,|B|=2,|A1+B|=2,则|A+B1|=_【答案答案】应填 3.【分析分析】本题考查矩阵的运算、行列式的性质.【详解详解】由于|A+B 1|=|(AB+E)B1|=|(AB+AA1)B1|=|A(B+A1)B1|=|A|A1+B|B1|=3221=3 因此应填 3.5【评注】也可以由 得|A+B|11BBAABEBAA+=+=+=+=+1|=3.类似的问题见经典讲义线代部分的例题类似的问题见经典讲义线代部分的例题 2.10.(14)若若X1,X2,Xn 为来

15、自正态总体N(,2)的简单随机样本,=niiXnT121,则ET=_.【答案答案】应填 2+2.【分析分析】本题考查重要统计量的数字特征，是一道非常基本的题.【详解详解】ET=)1(12=niiXnE)(112=niiXEn)(12XnEn=E(X 2)=2+2.故应填 2+2.原题见经典讲义概率统计部分的习题七中第二个选择题原题见经典讲义概率统计部分的习题七中第二个选择题,类似的问题见强化班第五讲中的例题类似的问题见强化班第五讲中的例题.三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算

16、步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分本题满分 10 分分)求极限xxxxln11)1(lim+.【分析分析】化为指数形式，用洛必达法则及等价无穷小替换【详解详解】xxxxxxxexln)1ln(limln111)1(lim+=xxxxxxxxe1ln111lim211+=)1(ln1limln+=xxxexxe xxxxxelnln1lim+=e 1.【评注评注】（1）1lnlimlim1xxxxxxe+=，本题是未定式型.00 （2）1ln11 lnxxxxexx=.(16)(本题满分本题满分 10 分分)计算二重积分,其中 D 由曲线 x=+Ddyx3)(21y+与直线 x+2y=0 及 x2y=0所围成.【分析分析】被积函数展开，利用二重积分的对称性【详解详解】，显然D关于x轴对称,且D=D1D2 ,其中 D1=(x,y)|0 y1,212yxy+,D2=(x,y)|1 y0,212yxy+.6+Ddyx3)(+=Ddxdyyxyyxx)33(3223+=DDdxdyyyxdxdyxyx)3()3(3223+=1)3(223Ddxdyxyx+0(被积函数