导数构造函数_精品文档.pdf

1、 导数导数构造函数构造函数 一：常规的构造函数 例一.若33sincoscossin,02，则角的取值范围是()(A)0,4 (B),4 (C)5,44 (D)3,)42 变式、已知3355xyxy成立，则下列正确的是（B）A.0 xy B.0 xy C.0 xy D.0 xy 变式.已知()f x为定义在(,)上的可导函数，且()()f xfx对于xR恒成立且 e为自然对数的底，则（）A2012(1)(0),(2012)(0)fe ffef B2012(1)(0),(2012)(0)fe ffef C2012(1)(0),(2012)(0)fe ffef D2012(1)(0),(2012)

2、(0)fe ffef 变式 1.设()f x是R上的可导函数，且()()fxf x，(0)1f，21(2)fe.求(1)f的值.变式 2.()fx为()f x的导函数，若对xR，22()()f xxfxx恒成立，则下列命题可能错误的是 A(0)0f B(1)4(2)ff C(1)4(2)ff D4(2)(1)ff 变 式3.)(xf是 定 义 在)0,(上 的 可 导 函 数，其 导 函 数 为)(xf，且 有2)()(2xxxfxf，则不等式 0)2(4)2014()2014(2fxfx的解集为（）A.)2012,(B.)02012(，C.)2016,(D.)02016(，已知函数)(xfy

3、 对任意的)22(，x满足0sin)(cos)(xxfxxf(其中)(xf是函数)(xf的导函数)，则下列不等式成立的是（）B.)4()3(2ff B.)4()3(2ff C.)3(2)0(ff D.)4(2)0(ff 二：构造一次函数（读题时区分自变量）例二、对于满足|a|2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1a+2x 恒成立的 x 的取值范围.分析分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题.解解：原不等式转化为(x-1)a+x2-

4、2x+10 在|a|2 时恒成立,设 f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或 x3.即 x(,1)(3,+)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在 x 轴上方（或下方）即可.三：变形构造函数 例三已知函数21()(1)ln2f xxaxax，1a （）讨论函数()f x的单调性；（）证明：若5a，则对任意12,(0,)x x，12xx，有1212()()1f xf xxx 解：（）（II）例四、已知函数2()(1)ln1f xaxax.（）

5、讨论函数()f x的单调性；（）设2a ，证明：对任意12,(0,)x x，1212|()()|4|f xf xxx.四：消参构造函数 例五、设函数 21f xxalnx有两个极值点12xx，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论 f x的单调性；（II）证明：21 2 24lnf x【解】【解】（II）由题设和知 22210,2(1),2xaxx 于是 2222222(1)1f xxxx lnx 设函数 22(1)1,g tttt lnt 则 2(1 2)1g ttt lnt 当12t 时，()0g t；当1(,0)2t 时，0,g t故 g t在区间1,0)2是增函数 于是，当1(,0)2

6、t 时，11 2 2().24lng tg 因此 221 2 2()4lnf xg x 五：消元构造函数 例六、已知函数，（）若函数，求函数的单调区间；（）设直线为函数的图象上一点处的切线证明：在区间上存在唯一的，使得直线l与曲线相切 （）1()fxx，001()fxx，切线l的方程为0001ln()yxxxx,http:/即001ln1yxxx,6 分 设直线l与曲线()yg x相切于点11(,)xx e，()xg xe，101xex，10lnxx 8 分 直线l也为00011lnyxxxx，即0000ln11xyxxxx，9 分 xxfln xexg 11xxxfx xl00,xfxA,1

7、0 x xgy 由得 0000ln1ln1xxxx，0001ln1xxx 11 分 下证：在区间（1，+）上0 x存在且唯一.由（）可知，()x1ln1xxx在区间1,+（）上递增 又12()ln011eeeee，22222213()ln011eeeeee，13 分 结合零点存在性定理，说明方程()0 x必在区间2(,)e e上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0 x 故结论成立 六：二元合一构造函数 例七、已知函数21()ln(0)2f xxaxbx a且导数(1)0f（1）试用含有a的式子表示b，并求()f x的单调区间；（2）对于函数图象上的不同两点1122(,),(,)A x yB xy

8、如果在函数图象上存在点00(,)M xy（其中012(,)xx x）使得点M处的切线/lAB，则称AB存在“跟随切线”。特别地，当1202xxx时，又称AB存在“中值跟随切线”。试问：在函数()f x上是否存在两点AB、使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出AB、的坐标，若不存在，说明理由。解（1）（2）假设存在1122(,),(,)A x yB xy，不妨设120 xx，则222121212121211(lnln)()(1)()2ABxxa xxaxxyykxxxx 212121lnln1()(1)2xxa xxaxx （1）函数图象在1202xxx处的切线斜率为 12120122()()

9、(1)22xxxxkfxfaaxx （2）由（1）（2）得：2112212112lnln12()(1)(1)22xxxxa xxaaaxxxx 化简得：212112lnln2xxxxxx 所以22211211212(1)2()ln1xxxxxxxxxx 七：构造函数解不等式 例八、设函数f(x)mxmmxx12223(其中 m -2)的图像在 x=2 处的切线与直线 y=-5x+12 平行；（）求 m 的值与该切线方程；（）若对任意的 Mxfxfxx2121,1,0,恒成立，则求 M 的最小值；（）若a0,b0,c0 且 a+b+c=1，试证明：109111222ccbbaa 解：（）m=1，

10、2 分 y=5x+10(过程略)；4 分（）Mmin=274(过程略)；8 分（）xxxxxxf2122223 时取等号）（当且仅当（可证明）又时当时取等号当，时，由上知，当311093125027111,31,250272502711110,10,10,1;0,0,0)31(25027125027112750211,02222222222222222222cbaccbbaacbacbacbacbaccbbaacbacbacbaxxxxxxxxxx14 分 例九、设函数()ln1f xxpx（）求函数()ln1f xxpx的极值点（）当0p 时，若对任意的0 x，恒 有()0f x，求p的取值

11、范围。（）证明：222222222ln2ln3ln4ln21(,2)2342(1)nnnnN nnn 解：八不等式恒成立中的构造 九极值点偏移中的构造 值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.已知 21ln2f xxxmxx，mR若 f x有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：212ex x（e为自然对数的底数）解法一：齐次构造通解偏移套路解法一：齐次构造通解偏移套路 于是222121111222111lnlnlnlnln1xxxxxx

12、xxxxxxxx 又120 xx，设21xtx，则1t 因此，121lnlnln1ttxxt，1t 要证12lnln2xx，即证：1 ln21ttt，1t 即：当1t 时，有21ln1ttt设函数 21ln1th ttt，1t，则 222212111011ttth tttt t，所以，h t为1.上的增函数注意到，10h，因此，10h th学&科网 于是，当1t 时，有21ln1ttt所以，有12lnln2xx成立，212ex x 学&科网 解法二解法二 变换函数能妙解变换函数能妙解 证法证法 2：欲证212ex x，需证12lnln2xx 若 f x有两个极值点1x，2x，即函数 fx有两个

13、零点又 lnfxxmx，所 以，1x，2x是方程 0fx的两个不同实根显然0m，否则，函数 fx为单调函数，不符合题意 由11121222ln0lnlnln0 xmxxxm xxxmx，解法三解法三 构造函数现实力构造函数现实力 证法证法 3：由1x，2x是方程 0fx的两个不同实根得ln xmx，令 ln xg xx，12g xg x，由于 21 ln xgxx，因此，g x在1,e，e,来源:Z*xx*k.Com 设121exx，需证明212ex x，只需证明212e0,exx，只需证明 212ef xfx，即222ef xfx，即222e0f xfx来源：微信公众号 中学数学研讨部落 即

14、 2e1,eh xf xfxx，22221 lne0exxh xx，故 h x在1,e，故 e0h xh，即 2ef xfx 令1xx，则 2211ef xf xfx，因为2x，21ee,x，f x在e,，所以221exx，即212ex x 学&科网 解法四解法四 巧引变量（一）巧引变量（一）证法证法 4：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0 xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120ktt，则1ee1kkkt，2e1kkt 欲证212ex x，解法五解法五 巧引变量（二）巧引变量（二）证法证法 5：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则

15、由1122ln0ln0 xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120,1tkt，则1ln1kktk，2ln1ktk 欲证212ex x，需证12lnln2xx，即只需证明122tt，即1 ln21212lnln0111kkkkkkkkk，设 21ln0,11kg kkkk，22101kg kk k，故 g k在0,1，因此 10g kg，命题得证学&科网 已知函数2()(2)lnf xxaxax，若方程()f xc有两个不相等的实数根12,x x，求证：12()02xxf.欲证：12()0()22xxaff，结合()fx的单调性，即证：1222xxa 等价于证明：2211

16、2212112222lnlnxxxxxxxxxx11122121222222ln1xxxxxxxxxx 令12,(01)xttx，构造函数22()ln,(01)1tg tttt，求导由单调性易得原不等式成立，略.法二：接后续解:由得：11212122()()(2)()ln0 xxxxxaxxax 构造函数2(1)()ln,(01)1tm tttt，求导由单调性易得()0m t 在(0,1)t恒成立，又因为120,0axx，故12()02xxf成立.法三：接后续解：视1x为主元，设22222222222()4()1()lnln,()0()()xxxxxg xxxg xxxxxxxx 则()g x在2(0,)xx上单调递增，故2()()0g xg x，再结合120,0axx，故12()02xxf成立.法四：构造函数()()(),(0)222aaah xfxfxx，学&科网 则24()()()022()()22aaxh xfxfxaaxx，从而()h x在(0,)2a上单调递增，故()(0)0h xh，即()()22aafxfx 对(0,)2ax恒成立，从而()(),(0)2af xf ax