数理方程与特殊函数复习课.pdf

1、数理方程与特殊函数复习课 课程内容概述 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 第二章 分离变量法 第三章 行波法与积分法 第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 第五章 贝塞尔函数 第六章 勒让德多项式 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 数学物理方程的导出步骤 数学物理方程的类型 定解条件 适定问题及叠加原理 数学物理方程的导出步骤 确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用在一个短的时间间隔内如何影响物理量。把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理，得到数学物理方程。三种类型的数理方程 波

2、动方程（双曲型）波动方程（双曲型）描述描述振动过程振动过程，关于连续介质（，关于连续介质（弦、杆、膜、弦、杆、膜、气体气体等）的振动问题，以及关于等）的振动问题，以及关于电磁振荡电磁振荡等等问题。问题。一维一维 二维二维 三维三维 22222uuatx222222222()uuuuatxyz2222222()uuuatxy三种类型的数理方程 热传导方程（抛物型）热传导方程（抛物型）描述描述输运过程输运过程，研究，研究热传导、扩散、电介质内热传导、扩散、电介质内电磁场电磁场的传播，的传播，粘性液体流动粘性液体流动等问题。等问题。一维一维 二维二维 三维三维 222uuatx2222222()uu

3、uuatxyz22222()uuuatxy三种类型的数理方程 稳定场方程（椭圆型方程）稳定场方程（椭圆型方程）描述描述稳恒过程稳恒过程，即不随时间变化的过程，如，即不随时间变化的过程，如固固定的电场、磁场、稳定的热场定的电场、磁场、稳定的热场等问题。等问题。二维二维 三维三维 2222220uuuxyz22220uuxy定解条件 初始条件初始条件 对于不同类型的方程初始条件的不同对于不同类型的方程初始条件的不同 边界条件边界条件 第一类第一类 第二类第二类 热传导问题 波动问题 边界条件的分类 以以S S 表示物体的边界，则有：表示物体的边界，则有：第一类边界条件第一类边界条件 第二类边界条件

4、第二类边界条件 如果边界条件中的如果边界条件中的f=0f=0，则称其为齐次边界条件，否则，则称其为齐次边界条件，否则 称为非齐次边界条件。称为非齐次边界条件。考试要求 振动、扩散物理问题的方程及振动、扩散物理问题的方程及定解条件，能够写出定解问题。定解条件，能够写出定解问题。方程推导过程不考。方程推导过程不考。重点：振动、扩散问题的边界重点：振动、扩散问题的边界条件如何确定条件如何确定 振动问题的边界条件振动问题的边界条件 固定端固定端 自由端自由端 热传导问题的边界条件 边界温度已知边界温度已知 边界有热流流入（或绝热）边界有热流流入（或绝热）第一类问题第一类问题：根据物理现象写出定解问题：

5、根据物理现象写出定解问题 弦的横振动问题：两个端点弦的横振动问题：两个端点x0和和xa固定，初始时处固定，初始时处于静止，初始位移如下图所示，写出相应的定解问题。于静止，初始位移如下图所示，写出相应的定解问题。X0 Xa X1 H H X2 x u 长为长为l 的杆，侧面绝缘，两端均有热流流出，的杆，侧面绝缘，两端均有热流流出，x0端热流强度为端热流强度为 ，xl 端热流强度为端热流强度为 杆的初始温度分布为杆的初始温度分布为 ，写出相应的定解问题，写出相应的定解问题。1()q t2()q t()x lxdQqdSdtudQkdSdtn 01()xukq tx2()x lukq tx流入或流入

6、或流出流出 0 0端流出，端流出，温温度梯度梯度方向度方向为为正正 l端流出，端流出，温温度度梯度方向梯度方向为负为负 0 0端端 l端端 长为长为l的弦两端固定，开始时在的弦两端固定，开始时在x=cx=c受到冲量受到冲量k k的作的作用，求此问题的定解问题。用，求此问题的定解问题。0 设有一长为设有一长为l的棒，表面绝热，包括它的两个端点（的棒，表面绝热，包括它的两个端点（x x0 0和和x xl），初始温度为），初始温度为f（x），写出此问题的定解问题。），写出此问题的定解问题。解此类题目的思路解此类题目的思路 1 1、对给定的物理、力学问题，识别此问题的方程属于、对给定的物理、力学问题，

7、识别此问题的方程属于哪一类（波动，热传导，拉普拉斯），写出方程，注哪一类（波动，热传导，拉普拉斯），写出方程，注意，方程中有没有自由项（外力作用）。意，方程中有没有自由项（外力作用）。2 2、根据问题所给的条件写出初始条件（波动问题：初、根据问题所给的条件写出初始条件（波动问题：初位移和初速度；热传导问题：初始温度；拉普拉斯问位移和初速度；热传导问题：初始温度；拉普拉斯问题：无初始条件）和边界条件（一类边界：固定端，题：无初始条件）和边界条件（一类边界：固定端，固定温度；二类边界：自由端，热流流入或绝热）固定温度；二类边界：自由端，热流流入或绝热）重点练习 习题一习题一 1 2 41 2 4

8、第二章第二章 分离变量法（在有界域内分离变量法（在有界域内求解定解问题）求解定解问题）分离变量法的基本思想分离变量法的基本思想 分离变量法的基本步骤分离变量法的基本步骤 基本思想 将定解问题的解表示成单变量函数将定解问题的解表示成单变量函数之积（变量分离），代入偏微分方程，之积（变量分离），代入偏微分方程，将方程降阶或化为带有参数的常微分将方程降阶或化为带有参数的常微分方程，使问题简化，达到求解目的。方程，使问题简化，达到求解目的。基本步骤 把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积的形式的形式 把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的把偏微分方程和

9、边界条件化成几个常微分方程的边值问题边值问题 求特征值问题，得到原来方程无穷多个满足边界求特征值问题，得到原来方程无穷多个满足边界条件且变量分离的特解条件且变量分离的特解 把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其中的系数。中的系数。(,)()()u x tX x T t分离变量法步骤图 定解问题 偏微分方程 齐次边界条件 初始条件 变量 分离 常微分方程1 常微分方程2 条件 特征值问题 特征值 解1 解2 解1 解2 所求解 用Fourier级数 确定叠加系数 必须会 一、一（一、一（0 0，l l），），一、二，一、二，二、一，二、一，二、二类边

10、界条件的特征值和特征函数二、二类边界条件的特征值和特征函数 上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问题题(矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式(注意：二注意：二二类解里多一个二类解里多一个u u0 0，0 0）圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解 解题时可以直接使用，不过要写出解题时可以直接使用，不过要写出“根据。的根据。的边界条件及分离变量法，可得：边界条件及分离变量法，可得：”应用分离变量法求解应用分离变量法求解 一维波动一维波动 一维热传导一维热传导 二维矩形域拉普拉斯二维

11、矩形域拉普拉斯 二维扇形域拉普拉斯二维扇形域拉普拉斯 二维环扇域拉普拉斯二维环扇域拉普拉斯 二维圆环域拉普拉斯二维圆环域拉普拉斯 二维圆域拉普拉斯二维圆域拉普拉斯 利用齐次边界条件，利用齐次边界条件，确定特征值问题，确定特征值问题，确定特征值和特确定特征值和特征函数征函数 利用周期条件，确定利用周期条件，确定特征值问题，特征特征值问题，特征值和特征函数值和特征函数 一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值，一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值，特征函数系特征函数系 方程 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系 一维振动 一维传导(0,)0(,)0utu l t(0,)0(,)0

12、xutu l t(0,)0(,)0 xutu l t(0,)0(,)0 xxutu l t()()0(0)()0XxX xXX l()()0(0)()0XxX xXX l()()0(0)()0XxX xXX l()()0(0)()0XxX xXX l2()01,2,.nnln221()020,1,2,.nnln2()00,1,2,.nnln221()020,1,2,.nnln()sin1,2.nnXxxln21()sin20,1,2.nnXxxln21()cos20,1,2.nnXxxln()cos0,1,2.nnXxxln矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题，特征值，矩形域两维拉氏问题对应的特

13、征值问题，特征值，特征函数系特征函数系 方程 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系 空间两维拉氏问题（矩形域）(0,)(,)0(,0)()(,)()uyu a yu xxu x bx(0,)(,)0(,0)()(,)()xuyu a yu xxu x bx(0,)(,)0(,0)()(,)()xuyu a yu xxu x bx()()0(0)()0XxX xXX a()()0(0)()0XxX xXX a()()0(0)()0XxX xXX a()()0(0)()0XxX xXX a2()01,2,.nnan221()020,1,2,.nnan2()00,1,2,.nnan221()02

14、0,1,2,.nnan()sin1,2.nnXxxan21()sin20,1,2.nnXxxan21()cos20,1,2.nnXxxan()cos0,1,2.nnXxxan00 xayb(0,)(,)0(,0)()(,)()xxuyu a yu xxu x bx两组边两组边界界条条件可件可对调对调 圆圆/扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系 区域区域 边界条件边界条件 特征值问题特征值问题 特征值特征值 特征函数系特征函数系 020002100000100()uf(,)(,2)uu 00()uf 11()uf(,)(,2)uu 0()u

15、f 00()uf 11()uf 00uu 00uu ()1,cos,sin,1,2.nnnn()1,cos,sin,1,2.nnnn()sin,1,2.nnn()sin,1,2.nnn22000,(0,0),(0,0)11,12,21,2211,12,21,22()(),()ttxxtxxttttua uxl tua uxl tuxux ux 边边界界条条件件 边边界界条条件件 1(11;22)0(12;21)2,20(,)()()nnnnnu x tuTat Xx 一一维维波波动动、热传导热传导方程方程 Tn由方程的性质而定，对于振动方程由方程的性质而定，对于振动方程 2200,na tnn

16、uc TC e 对于热传导方程对于热传导方程 2,2000,cossinnnnnnucd t TCatDat1(11;22)0(12;21)0022()()()nnxxnnnnnucd xc ed eYy 矩形域上的二矩形域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 chshnnnnaxbx 若若X X提供提供齐齐次次边边界界条条件件 1(11;22)0(12;21)0022()()()nnyynnnnnucd yc ed eXx 环环（圆圆）域上的二）域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 圆圆域域 00,u 扇扇环环（扇）域上的二（扇）域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 齐齐次次边边界界 若若为为扇域扇域 通解中待定系通解中待定系数数的确定方法的确定方法-代入定解代入定解条条件，利件，利用特征函用特征函数数的正交性求解的正交性求解 02()()lnnnCx Xx dxl 02 1()()lnnnnDx Xx dxla 001()lcx dxl 001()ldx dxl 一一维维波波动动方程方程 1(11;22)0(12;21)2,200(,)()(cossin)(),nnnnnnnu x