随机过程及其在金融领域中的应用_精品文档.pdf

1、 1 目目 录录 第二章 概率空间.7 2.1 概率空间与随机变量.7 1、域.7 2、定理 2-1.7 3、Borel 集.8 3、概率空间.8 4、随机变量.9 5、分布函数.9 6、定义 2-2.9 7、两个重要的离散型分布.10 8、三个重要的连续型分布.10 2.2 随机变量的数字特征.12 1、离散型随机变量数字特征.12 2、连续型随机变量数字特征.13 3、Chebyshev 不等式.13 2.3 随机向量及其联合分布.14 1、n 维随机变量及其数学特征.14 2、随机事件独立和相关的定义.16 3、相互独立的随机变量的性质.16 2.4 条件数学期望.17 2 1、离散型随

2、机变量的条件数学期望.17 2、连续型随机变量的条件数学期望.18 2.5 矩母函数和特征函数.18 1、矩母函数.18 2、特征函数.19 3、特征函数性质.19 4、常见分布的特征函数.20 5、特征函数相关定理.20 第三章 随机过程.22 3.1 随机过程的基本概念.22 1、随机过程.22 2、随机过程分类：.22 3、有穷维分布函数.22 3.2 随机过程的数字特征.23 1、数学期望.23 2、方差与矩.23 3、协方差函数和自相关函数.24 4、实二阶矩过程.24 5、例 3-1.25 3.3 离散时间和离散型随机过程.26 1、例 3-2.26 2、例 3-3.27 3 3.

3、4 正态随机过程.28 1、正态随机过程.28 2、正态随机过程性质.29 3.5 Poisson 过程.30 1、独立增量过程.30 2、计数过程.30 3、Poisson 过程的两个定义.31 4、例题.32 3.6 平稳随机过程.34 1、严格平稳随机过程.34 2、严格平稳随机过程的一些特性.34 3、宽平稳随机过程.35 4、平稳随机过程自相关函数的性质.35 5、平稳随机过程的相关系数.36 第四章 Poisson 过程.37 4.1 齐次 Poisson 过程到达时间间隔于等待时间的分布.37 1、定理 4-1.37 2、定理 4-2.38 3、定理 4-3.39 4、顺序统计量

4、.39 5、定理 4-4.40 6、定理 4-5.41 4 7、例题.42 4.2 非齐次 Poisson 过程和复合 Poisson 过程.44 1、非齐次 Poisson 过程.44 2、定理 4-6.45 3、复合 Poisson 过程.45 4、定理 4-7.46 5、例题.46 第五章 离散参数 Markov 链.48 5.1 Markov 链的基本概念.48 1、Markov 链和转移概率矩阵.48 2、例题.49 3、定理 5-1.51 4、定理 5-2.52 5、例题.53 5.2 Chapman-Kolmogorov 方程.54 1、定理 5-3（Chapman-Kolmog

5、orov（切普曼-柯尔莫哥洛夫）方程，C-K 方程）.54 2、例题（两状态 Markov 链）.55 5.3 Markov 链的状态分类.56 1、互通.56 2、定理 5-4.56 3、周期.57 5 4、定理 5-5.57 5、首达时间.58 6、首达概率.59 7、常返.59 8、定理 5-6.60 9、定理 5-7.61 10、定理 5-8.62 11、定理 5-9.63 12、定理 5-10.63 13、定理 5-11.64 14、定理 5-12.64 5.4 闭集与状态空间的分解.65 1、闭集.65 2、相关引理.65 3、定理 5-13（分解定理）.66 4、例题.66 5、

6、随机矩阵.67 6、定理 5-14.68 7、例题.68 5.5 转移概率的极限状态与平稳分布.69 1、定理 5-15.69 2、定理 5-16.71 6 3、遍历链.71 4、定理 5-17.72 5、平稳分布.73 6、定理 5-18.73 7、例题.74 第 连续时间 Markov 链.78 6.1 连续时间 Markov 链的定义.78 1、连续时间 Markov 链.78 2、齐次 Markov 链.79 3、转移概率矩阵的性质.80 4、定义.81 6.2 极限定理和 Kolmogorov 方程.82 1、连通.82 2、定理 6-1.83 3、定理 6-2.84 4、定理 6-

7、3.84 5、非齐次情形下的向前方程和向后方程.84 6、齐次链的向前方程和向后方程.85 7、定理 6-4.85 8、定理 6-5.86 9、定理 6-6.86 10、定理 6-7.86 7 第二章第二章 概率空间概率空间 2.1 概率空间与随机变量概率空间与随机变量 1、域域 定义 2-1 若F是中一些字集组成的集类，且满足：（1）F；（2）若AF，则cAF；（3）若12,A AF，则1iiAF，则称F为上的一个域域或代数代数。并称二元组(,)F为可测空可测空间间。注：设是某一随机试验的基本事件空间基本事件空间或样本空间样本空间，中的元素就是描述该试验的基本事件，即试验的可能结果。样本空间

8、的子集称为事件事件。2、定理、定理 2-1 设C是中一些子集组成的集类，则存在唯一的的代数()C，它包含C而且被包含C的任一代数所包含。()C称为由由C生成生成的的代数代数，或包含C的最小最小代数代数。8 3、Borel 集集 设,1dRd，则集类()(,:,1,diiCa babid 是dR的子集类，式中的12(,)daa aa，12(,)dbb bb。则域()()ddBC称为 d 维维 Borel 域（代数）域（代数），其元素称为 Borel 集集。3、概率空间、概率空间 对于可测空间(,)F，在F上定义一个非负集函数()P，以度量F中事件发生可能性大小，它满足 非负性：0()1P A，对

9、于任何事件AF；规范性：()1P ；可列可加性：若12,A AF，且两两不交,1,2,ijAAij i j，则 11()()iiiiPAP A 称()P A为事件 A 的概率，称(,)F P为概率空间概率空间。9 4、随机变量、随机变量 设(,)F是一可测空间，若函数:,f 使得对任意x，有|()fxF 则称函数f是关于F（或上）的可测函数可测函数。在概率空间(,)F P上定义的可测函数称为随机变量随机变量。5、分布函数、分布函数 设()XX是定义在上的一个随机变量，令()()(:()XFxP XxPXx，x 称XF为随机变量X的分布函数分布函数。6、定义、定义 2-2 设()X是概率空间(,

10、)F P上的一个随机变量，对 Borel 集 B，定义()()(:()XP BP XBPXB 把()XPB称为X的分布分布。10 7、两个重要的离散型分布、两个重要的离散型分布（1）二项分布 设0,1,2,(0,1)np，若X的分布为()(1),0,1,kn knP Xkppknk 称随机变量X服从参数为(,)n p的二项分布(,)B n p。（2）泊松分布 设0，若X的分布为(),0,1,2,!kP Xkekk 称随机变量X服从参数为的泊松分布()P。8、三个重要的连续型分布、三个重要的连续型分布（1）均匀分布 如果连续型随机变量X的分布密度为 1,(,)()0,Xxa bfxba其他 则称

11、X在区间(a,b)上服从均匀分布均匀分布，记为(,)XU a b。11 （2）指数分布 如果连续型随机变量X的分布密度为,0()0,0 xXexfxx 则称X服从参数为(0)的指数分布指数分布。注：指数分布具有无记忆性，即若X服从指数分布，则对于任意,0s t，有 (|)()P Xst XtP Xs。反过来，如果一个非负连续型随机变量 X的分布函数()XFx具有无记忆性，则它一定是指数分布。（3）正态分布 如果连续型随机变量X的分布密度为 221()()exp,22Xxfxx 式中，2,0，则称X服从参数为2(,)的正态分布正态分布或高斯高斯分布分布，记为2(,)XN。12 2.2 随机变量的

12、数字特征随机变量的数字特征 1、离散型随机变量数字特征、离散型随机变量数字特征 设离散型随机变量X的分布率为(),1,2,kkpP Xxk，则 1()XkkkE Xx p 称为随机变量X数学期望数学期望或均值均值。令221()()XkXkkVar Xxp 称2X为随机变量X的方差方差。令1(),llkkkE Xx p l 称()lE X为随机变量X的l阶矩阶矩。令1()()kkkE g Xg xp 称()E g X为函数()g X的数学期望数学期望。13 2、连续型随机变量数字特征、连续型随机变量数字特征 设连续型随机变量X的分布密度为()Xfx，则()()XXE Xxfx dx 称为随机变量

13、X数学期望数学期望或均值均值。令22()()()XXXVar Xxfx dx 称2X为随机变量X的方差方差。令()(),llXE Xx fx dx l 称()lE X为随机变量X的l阶矩阶矩。令()()()XE g Xg x fx dx 称()E g X为函数()g X的数学期望数学期望。注：数学期望反映了随机变量取值的平均水平。方差和标准方差X体现了随机变量与期望值得偏离程度。3、Chebyshev 不等式不等式 设随机变量X的均值为，方差为2，则对于任意0，不等式 22(|)PX 14 称为切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）不等式）不等式。2.3 随机向量及其联合分布随机向量及其联合

14、分布 1、n 维随机变量及其数学特征维随机变量及其数学特征 设1(,)nXX，如果其中每一个分量1,nXX是一维的、取值为实数的随机变量，则称1(,)nXX 为 n 维随机向量维随机向量。定义 2-2 设1(,)nXX 为 n 维随机向量，则1,nXX的联合概率分布定义为 1111()(,)(:(),()XnnnnFxP XxXxPXxXx 其中 x1(,)dnxx。()XFx又简称为的分布函数分布函数。设(Xfx1)(,)Xnfxx为n上非负可积函数，使得对任意1(,)nnxx，有 1111(,)(,)nxxXnXnnFxxfyy dydy 则称1(,)nXX为连续型随机变量，1(,)Xnf

15、yy为的联合概率联合概率密度密度。15 设Xf为随机变量的概率密度，那么其中任意分量组(1),(,),(,),(,)iijijkijmnXX XX XXX XX 个 都存在概率密度，把它们称为的边缘密度。边缘密度。随机变量,X Y的协方差协方差定义为(,)()()()()()Cov X YE XE XYE YE XYE X E Y 随机变量,X Y的相关系数相关系数XY定义为(,)()()XYCov X YVar XVar Y 随机变量的数学期望数学期望定义为 1()(),()nEE XE X 随机变量,X Y的协方差矩阵协方差矩阵定义为(,),1,)ijXCov X Xi jn 其中，2(,

16、)iijXCov X X 16 2、随机事件独立和相关的定义、随机事件独立和相关的定义 定义 2-4 随机变量,X Y称为是相互独立的相互独立的，如果有 121212(,)()(),P XB YBP XB P XBB B 即事件1XB与2YB是互相独立的。定义 2-5 如果随机变量1,nXX，对于任意11,kiink为整数，1kn,满足 11111(,)()(),kkkkiiiiiiiinP XBXBP XBP XBBB 则称随机变量1,nXX是相互独立的，即事件11,XB,nnXB是相互独立的。3、相互独立的随机变量的性质、相互独立的随机变量的性质 定理定理 2-3 如果如果1,nXX相互独立且它们的数学期望存在，则对于任何实函数相互独立且它们的数学期望存在，则对于任何实函数 1(),()ng xgx，有，有 1111(),()()()nnnnE g XgXE g XE gX 定理 2-4 17 设1(,)nXX为 n 维随机向量，设1(,)Xnfxx为其概率密度函数。现有 n 元函数1(,)(1,)iinyg xxin，且存在唯一反函数 1(,)(1,)iinxh yyin。如果,