2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文9.pdf

1、1 太阳影子定位太阳影子定位 摘要摘要 在视频数据分析中，视频拍摄的时间与地点信息具有极其重要的价值。本文根据相关的地理知识，以太阳影子的变化为突破口，在日期、时间与经纬度之间，建立了统一的数学模型。针对问题一，使用统一公式，将具体值代入即可求得太阳影子长度的变化曲线，影长在 9 时至 12 时时间段内先减小再增大，在 12 时影长最短，为 3.8414米。系统性的鲁棒分析过于复杂，本文使用了控制变量的思想，每次控制四个参数不变，通过作图的方式分析影长与另一参数之间的关系，研究讨论了影长与经纬度、北京时间与日期之间的关系。针对问题二，采用化归的思想，将缺少的经纬度与杆长看做未知元，使用MATL

2、AB,用遍历的方法反解三元方程，得到若干可能的点，再使用最小二乘法对其进行精筛选并进行拟合验证。但考虑到地理学使用的公式大多为近似公式，理论最优点有可能并不是实际点，故进一步结合散点图，研究可能点的分布趋势，最终得出测量点最有可能位于海南省万宁市，较有可能位于云南省腾冲县与普洱县之间。针对问题三，继续使用统一模型，分别对附件二、附件三中的数据使用遍历反解的方法，计算可能的地点、时间与日期。并由求出数据的散点图发现日期与纬度呈近似的正弦关系，得出附件二的测量点最有可能是 5 月 5 日与 7 月 27 日的新疆喀什地区，较有可能是 5 月 8 号的新疆和田地区；附件三的测量点最有可能是 9 月

3、28 日的宁夏银川，较有可能是 3 月 16 日的山西吕梁。针对问题四，考虑到透视畸变、直杆倾斜与缺乏基准点难以进行反演与测量，故使用 Photoshop 近似的测取影长，使用统一模型反解，得出测量点最优可能是内蒙古锡林郭勒盟，较有可能是内蒙古乌兰察布；在日期未知的情况下，得出测量点最有可能是 5 月 27 日的内蒙古呼和浩特，较有可能是 5 月 6 日的张家口，次有可能的是 8 月 19 日的山东淄博。本文还使用问题二的数据对建立的统一模型进行运算开销的分析，得到了本模型较适宜的遍历深度，结合问题一种的参数分析，较好的检验了本模型的合理参数与稳定性，较好的解决了问题。关键词：太阳关键词：太阳

4、高度角高度角 控制变量控制变量 最小二乘法最小二乘法 深度遍历深度遍历 2 问题重述问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定

5、直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？一一.问题分析问题分析 确定视频的拍摄地点与拍摄时间对视频数据的处理意义非凡，然而在实际处理数据的过程中，

6、采集视频所能获得的信息维度是不确定的，往往会有所遗漏或缀余。本题共四问，前三问的任务就是在不同信息富余程度下，确定视频的拍摄地点与拍摄时间。第四问则是在前三问的基础上加入视频数据转化处理的环节。问题一中，需要解决的是一个已知日期、时间、纬度、杆长、影长，求太阳在直杆上投影影长的问题。建立地平坐标系，根据地理学的基本公式，构造数学模型，再使用 MATLAB 将相关数据代入模型，就可以得到影长的变化曲线。问题二中，已知条件有日期、时间差、影长。参考问题一的模型，建立二元方程，利用程序遍历可能解，再通过最小二乘法进行筛选，便可得若干个可能的地点；问题三中，已知数据继续减少，影长，时间差，在第二问的基

7、础上，对缺失数据进行遍历。再通过最小二乘法筛选数据即可。问题四中，最大的难点显然是讲视频数据转化为数值数据。本题使用的地理定位方法是光度测量方法，需要分析太阳的角速度与视频中的投影在太阳旋转平面的投影角度。由于透视畸变，拍摄镜头与拍摄目标间空间距离的变化会使等长3 物体在视频中所占的像素块大小发生改变，同时视频中的直杆存在倾斜，投入运算之前需要进行矫正。最后，通过加大遍历密度测算模型开销经济性与控制变量测量模型稳定性对建立的模型进行校验，并评价结果的正确性和方法的可靠性。二二.基本假设基本假设 （1）假设数据反映真实情况，忽略测量带来的误差。（2）假设太阳光线是平行光，忽略大气层对太阳高度角的

8、影响。（3）假设测量过程中，测量环境平稳，地面平整，湿度适中，粉尘较少。（4）假设同一日期的赤纬角不变，忽略由于日地关系变化造成的赤纬角变化。（5）假设地球是一个理想球体，忽略梨形地球在不同角度下的转速区别。三三.符号系统符号系统 符号 含义 E 时差 0t 真太阳时 Bt 北京时间 0L 经度 纬度 时角 赤纬角 n 日期序列 太阳高度角 H 杆长 Y 影长 阀值 4 四四.模型的建立模型的建立 太阳影子定位技术的原理实质上与日晷是相似的，都是利用太阳位置来进行时间的计量，区别是太阳影子定位技术还可以结合不同时间下的日地关系与少量附加信息，更进一步的获得测量点的地理位置。换言之，太阳影子定位

9、技术就是研究并利用日地运行规律的技术。分别以空间与时间的角度对日地运行规律进行考察，可衍生出对应的空间坐标系系统与时间系统。具体而言，就是公转导致了四季更替，而想要考察日地间相对位置，则必须要建立合适的坐标系；时间是通过物质的运动形式来表达的，而自转产生的昼夜分割催生了时间计量系统。为了说明本文用到的相关变量，需先建立坐标系与时间系统，为此先扼要介绍下天文学中广泛使用的天球坐标系与太阳时的概念。5.15.1 模型的准备模型的准备 天球坐标系：天球坐标系：中国古代对天文地舆的描述大体上可归纳为“天圆地方”，天空像一个巨大的空心半球罩在大地上，而大地是一切的中心，而在西方天文学中也有类似的表述：假

10、定存在一个“天球”，以地球为坐标原点，无限长为天球半球，天空中的各种天体的投影错落分布在这个球的内表面上。根据运动的相对性原理，太阳好像在这个球面上周而复始的运动，本文中用到的天球坐标系包括赤道坐标系与地平坐标系。图 5-1：赤道坐标系 图 5-2：地平坐标系 赤道坐标系赤道坐标系：将地球两端无限延长，构成的这条直线成为天轴，天轴与天球球面相交于两点，为天极，与地球北极对应的一极为北天极 P，另一极为南天极 P；将地球的赤道无限的扩大，与天球球面相交所得的大圆为天赤道 QQ，以天赤道为基5 本圈，以天赤道和天子午圈的交点 Q 为原点的天球坐标系就是赤道坐标系，如图 5-1 所示，其坐标值为时角

11、和赤纬角。地平坐标系：地平坐标系：观测者相对于地平面所在的铅垂线，延长后与天球面相交于两点，在测者头顶上的一点为天顶 Z，另一点为天底 Z。通过球心 O 与 ZZ 相垂直的平面在天球上所截出的大圆叫做真地平，以真地平为基本圈，以南点 S 为原点的天球坐标系就是地平坐标系，如图 5-2 所示，其坐标值为高度角和方位角.1 太阳时太阳时：以太阳的视圆面中心表示真太阳，以真太阳作为量时天体所计量的时间叫做真太阳时，真太阳时可以表示时角，但是由于黄赤交角的存在以及地球公转速度不均匀，真太阳时是不等长的。日常使用的时间，是以真太阳的平均角速度，在天赤道上自西向东运行的假想一个量时天体（平太阳），并以此授

12、时的，所以真太阳时需要用平太阳时换算。5.25.2 模型的建立模型的建立 下面开始说明本文用到的变量及其计算公式。时差时差 E E：钟表所指示的时间叫平太阳时，真太阳时与平太阳时之差叫做时差 E，即：其中0t为真太阳时，t 为平太阳时，E 可通过查询中国天文年历获得。真太阳真太阳时时0t：我国使用的平太阳时为“北京时间”，位处东八区，与格林威治时间相差 8小时。由地球每小时自转 15。与北京时间，可推算任意经度地点的平太阳时。式中Bt指北京时间，L0 指地方时间的标准子午线经度，单位为度。由式（1）和式（2）得任意地区真太阳时和北京时间之间关系为：004(120)BttEL (3)时角时角：时

13、角是天体相对子午圈的方位和角距离，如图 5-1 中QOB所示，是过天体M 的时圈平面与午圈平面之间的夹角，从天子午圈上 Q 点开始，向西顺时针度量，数学表达式为：式中0t单位为小时（4）（2）（1）6 赤纬角赤纬角：赤纬是天体相对于天赤道的方向和角距离，如图 5-1 中SOB所示。是天体S 与地心连线与天赤道平面之间的夹角，从天赤道开始向北天极方向度量为正，向南天极方向为负，可由 Cooper 方程近似计算得到：228423.45sin365n (5)其中 n 为日期，例如，1 月 1 日为 n=1，9 月 13 日为256n 。太阳高度角太阳高度角：太阳高度角是太阳相对于地平线的高度角，如图

14、 5-2 中SOM所示，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。太阳高度角可以使用下面的算式，经由计算得到很好的近似值2：式中 为太阳高度角，为时角，为当时的太阳赤纬，为当地的纬度。直杆直杆-影子系统：影子系统：本题的任务是根据直杆的影长获得测量点的时间与位置，实现这个过程的关键装置就是由直杆与其影子构成的系统。如图 5-3，分别以影长与杆长为直角边，构建一个简单的直角三角形模型，太阳高度角 即为夹角。换言之，得知任一点影长与杆长的比例关系，便可得到该点得太阳高度角，并借由上文提及的各个公式，得到该点得时间与位置信息。影长与杆长关系数学表达式为：tanHY （7）式中 H 是直杆长度

15、，Y 为阴影长度。太阳高度角 直杆高度H 阴影长度 Y 图 5-3：太阳高度角原理图（6）7 既此，我们可以找到太阳高度角、纬度、日期、北京时间、时差、经度之间的函数关系，太阳高度角是问题的关键，其求解流程如下：.由式（3）（4）（5）（6）（7）得到影长和北京时间、当地纬度、经度、杆长、日期五个独立变量有关，其统一表达式如下：上式中0t与 可分别由式（3），式（5）求出。本题四问都可以使用（8）式进行反解，区别仅在未知数数量与相应的遍历次数。第一问中数据充裕，可以获得唯一解；第二问、第三问与第四问由于数据的缺失，会得到一系列可能的时间或者地点。要得到符合现实条件的时空点，这就需要对初次计算后

16、的取值进行筛选。（8）式中的统一公式是以影长 Y 作为输出的，所以以影长 Y 为统一的筛选指标。理论上与实际杆长最接近的时空点是最优解，但由于误差的存在，实际测量点处的时空点可能并不是理论上的最优点。所以最后无法得到确定的时空点，仅仅能获得一系列可能性较高的时空点。本文使用最小二乘法，对求得的杆长与实际杆长进行最小二乘化处理，数学表达式如下：20()iYY3 （9）其中，iY为计算所得的杆长，0Y为实际杆长，阀值 设定为 0.05。太阳高度角 纬度 赤纬角 时角 日期 n 北京时间 tB 时差 E 经度 L0 图 5-4：各因素数量关系图（8）8 五五.模型的求解模型的求解 6.1 求太阳影子长度的变化曲线求太阳影子长度的变化曲线 本问中给出了日期、经纬度、杆长、北京时间，根据（8）式 0tan arcsinsinsincoscos(15180)HYcost 将 n=295,0L=116 度 23 分 29 秒,=39 度 54 分 26 秒，北京时间 9:00-15:00代入，可得影子长度的变化曲线，如图 6-1（a）所示：由图 6-1（a）可知，北京天安门广场 2015 年 10