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1、第六章习题解习习习题题题6.1 用(X(t),Y(t)表示二维标准布朗运动，用定理 2.1 证明对任何常数,W(t)=X(t)cos+Y(t)sin,t 0是标准的布朗运动。证证证明明明：因为(X(t),Y(t)为二维标准布朗运动，所以 X(t)于 Y(t)都是标准布朗运动，且服从正态分布 N(0,t).由 EX(t)=0 与 EY(t)=0,可得 EW(t)=EX(t)cos+EY(t)sin=0.E(W(t)W(s)=E(X(t)cos+Y(t)sin)(X(s)cos+Y(s)sin)=(cos)2EX(t)X(s)+(sin)2)E(Y(t)Y(s)+sincos)(EX(t)Y(s)

2、+EY(t)X(s)=(cos)2+(sin)2)s=s所以 W(t)是标准的布朗运动。6.2 设 B(t)是标准布朗运动，a 是正常数，证明一下的随机过程 W(t)都是标准布朗运动。(1)W(t)=B(t),t 0;(2)W(t)=B(t+a)B(a),t 0;(3)W(t)=B(at)/a,t 0;(4)W(0)=0,W(t)=tB(1/t),t 0;(5)对于正数 T，W(t)=B(T t)B(T)是时间段 0,T 中的标准布朗运动。证证证明明明：因为 B(t)是标准布朗运动，所以满足定理 2.1 的条件。我们只需要验证 EW(t)=0,EW(t)W(s)=s,t s 0 成立即可。(1

3、)EW(t)=E(B(t)=EB(t)=01第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动EW(t)W(s)=E(B(t)(B(s)=EB(t)B(s)=s所以 W(t)是标准布朗运动。(2)EW(t)=E(B(t+a)B(a)=EB(t+a)EB(a)=0E(W(t)W(s)=E(B(t+a)B(a)(B(s+a)B(a)=E(B(t+a)B(s+a)E(B(t+a)B(a)E(B(a)B(s+a)+E(B(a)B(a)=s+a a a+a=s所以 W(t)是标准布朗运动。(3)EW(t)=E(B(at)/a)=EB(at)/a=0E(W(t)W(s

4、)=E(B(at)/a)(B(as)/a)=1aE(B(at)B(as)=1a as=s所以 W(t)是标准布朗运动。(4)EW(t)=E(tB(1/t)=tE(1/t)=0E(W(t)W(s)=E(tB(1/t)(sB(1/s)=tsE(B(1/t)B(1/s)=ts 1/t=s所以 W(t)是标准布朗运动。(5)EW(t)=E(B(T t)B(T)=EB(T t)EB(T)=0E(W(t)W(s)=E(B(T t)B(T)(B(T s)B(T)=E(B(T t)B(T s)E(B(T t)B(T)E(B(T)B(T s)+B(T)B(T)=(T t)(T t)(T s)+T=s所以 W(t

5、)是标准布朗运动。2第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动6.3定义标准布朗运动 B(t)的镜面反射：Z(t)=|B(t)|，t 0。计算 EZ(t)，V ar(Z(t)。解解解:(1)EZ(t)=E|B(t)|=|x|2tex22tdx=20 x2tex22tdx=2t012tex22tdex22t=2t2t=2t(2)EZ(t)2=E|B(t)|2=|x|22tex22tdx=2t0 x2tdex22t=2t012tex22tdx=tV ar(Z(t)=EZ(t)2(EZ(t)2=t 2t2=t 2t6.4用标准布朗运动 B(t)定义几何布

6、朗运动Y(t)=exp(B(t)，t 03第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动计算 EY(t)，V ar(Y(t)。解解解:(1)E(Y(t)=E(eB(t)=e12t12=e12t(2)E(Y(t)2=E(e2B(t)=e12t22=e2tV ar(Y(t)=E(Y(t)2(E(Y(t)2=e2t et6.5对标准布朗运动 B(t)，在条件 B(1)=0 下,(a)计算 B(t)，0 6 t 6 1 的数学期望和协方差函数；(b)验证 B(t)，0 6 t 6 1 是正态过程；(c)验证 B(t)，0 6 t 6 1 是布朗桥。解：(a)B

7、(t)是标准布朗运动，所以对于 t 0,B(t)B(0)=B(t)v N(0,t).则 EB(t)=0,V B(t)=t,cov(B(t),B(s)=s,t s o.(b)(a)中已证明 B(t)是正态过程，服从 N(0,t)的正态过程。(c)由 B(t)是标准布朗运动得 B(0)=0，由题意知 B(1)=0，所以 B(t)是布朗桥。6.6对于布朗桥 X(t)，0 6 t 6 1,验证W(t)=(t+1)X(t/(1+t),t 0是标准布朗运动。解：X(t)为布朗桥，则存在一个标准布朗运动 B(t)，使得X(t)=B(t)tB(1).则W(t)=(t+1)X(t1+t)=(t+1)B(t1+t

8、)t1+tB(1)=(t+1)B(1)B(11+t)t1+tB(1)=(t+1)11+tB(1)B(11+t)=B(1)(1+t)B(11+t)4第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动显见，W(0)=0则，由 eg2.1(4)知，当 B(t)为标准布朗运动时，W1(t)=tB(1/t)也为标准布朗运动；再由 eg2.1(2)，当 W1(t)为标准布朗运动时，W2(t)=W1(t+1)W1(1)=(1+t)B(1/(1+t)B(1)也是标准布朗运动；再由 eg2.1(1)，当 W2(t)为标准布朗运动时，W3(t)=W2(t)=B(1)(1+t)

9、B(1/(1+t)即 W(t)也是标准布朗运动.6.7对标准布朗运动 B(t)及其最大值 Mt=sup0stB(s),计算条件概率P(Mt|Mt=B(t).解：P(Mt|Mt=B(t)=P(Mt,Mt=B(t)P(Mt=B(t)余下的我不会解，不好意思。6.8标准布朗运动 B(t),定义有漂移系数 的布朗运动如下:W(t)=B(t)+t,t 0.对于 x 0,证明当 t 0 时，P(sup0st|W(s)|x)=o(t).解:P(sup0st|W(s)|x)=P(Tx t)即证P(Tx t)=o(t)5第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动由应

10、用随机过程（清华大学出版社）Page95 的定理 5.6.1,设 B(t),t 0 为布朗运动，令 X(t)=B(t)+tTa=mint:t 0,X(t)=a,X(0)=x,x=a则当 h 0 充分小时，有P(Ta h|X(0)=x)=o(h)因为P(Ta h|X(0)=x)=P(Tax h|X(0)=0),P0(Tax h)P0(Tax h)=P0(max0stB(s)+s a x)P0max0shB(s)a x|h=P0(Tax|h h)2P0|B(h)|a x|h=22h|y|ax|hexp(y2/2h)dy22h+y4(a x|h)4exp(y2/2h)dy=2(a x|h)43h2所

11、以P(Ta h|X(0)=x)6h2(a x|h)43h2=o(h)故有P(Tx t)=o(t)6.9 设 X 有连续的分布函数 F(x),X1,X2,Xn是来自总体 X 的随机变量.定义 Yi=F(Xi).(a)计算 Yi的分布函数 G(y);(b)写出基于随机变量 Y1,Y2,Yn经验函数 G(y)6第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章 布布布朗朗朗运运运动动动(c)计算经验过程 Dn(t)=n(GN(t)G(t)的协方差函数.解解解(a)已知:X 的分布函数 F(x)连续单调不减,我们不妨假设 F(x)的反函数 F1(x)存在.则当 y 0,1 有:P(Yi y

12、)=P(F(Xi)y)=P(Xi F1(y)=F(F1(y)=y当 y (,0)时有:P(Yi y)=P(F(Xi)y)=0当 y (1,+)时有:P(Yi y)=P(F(Xi)y)=1 Yi U(0,1),G(y)=0,y (,0)y,y 0,11,y (1,+).(b)经验函数为 Gn(y)=1nni=1IYi y,y 0,1(c)当 0 s 0,0 t0 t1 tn,由乘法公式和 B(t)增量独立性知:P(U(t0+s)=i0,U(t1+s)=i1,U(tn+s)=in)=P(U(t0+s)=i0)P(U(t1+s)=i1|U(t0+s)=i0)P(U(tn+s)=in|U(tn1+s)=in1).()又由(c)的结论有:在 U(s)=u 下,U(t+s)的分布仅与时间差 t 有关.所以()=P(U(t0)=i0)P(U(t1)=i1|U(t0)=i0)P(U(tn)=in|U(tn1)=in1)=P(U(t0)=i0,U(t1)=i1,U(tn)=in)=i0pi0i1(t1 t0)pin1in(tn tn1)8OU 过程是严平稳过程.6.11 对标准布朗运动 B(t),用 表示质点在 0,1 中最后一次回到 0的时刻:=supt|t 1,B(t)=0.计算 的分布函数.解解解P(x)=P(N(x,1)=0),由布朗运动的 Arcsin 律有P(x)=2arcsinx.9