学而思春季第三讲格点与割补.pdf

1、2011 年四年级春季班 第三讲 格点与割补 程雪四年级春季班（八级下）四年级春季班（八级下）3.1 CBA第三讲 格点与割补 第三讲 格点与割补 一、格点多边形 一、格点多边形 满足两个条件 1、顶点都在格点上 2、图形的边是直线段 二、格点多边形面积计算 方法 1：数格子 方法 2：分割法1、顶点都在格点上 2、图形的边是直线段 二、格点多边形面积计算 方法 1：数格子 方法 2：分割法把图形分割成若干个可直接计算面积的规则图形 方法 3：扩展法 方法 3：扩展法把图形先扩展成易算面积的规则图形，再减去扩展的部分 方法 4：毕克公式 方法 4：毕克公式 若 N 表示内部的格点数，L 表示边

2、界上的格点数，S 表示面积 正方形格点 S=N+L2-1 S=N+L2-1 三角形格点 S=（N+L2-1）2S=（N+L2-1）2 注意 注意：公式所得结果为面积单位，即有多少个格子。例 1 略 例 1 略 例 2 计算格点多边形的面积 例 2 计算格点多边形的面积 解析解析：这是一个规则的三角形，可以直接用面积公式吗？好像不行，因为我们现在的知识还算不出相应边的长度，无法用面积公式。如果分割成知道一条边长度的三角形不就可以了吗？分割法：如左图，连结辅助线，将原图分割成两个三角形，这 两个三角形都知道一天边，且高也很容易观察出。上面的三角形：522=5 下面的三角形：522=5 共计：5+5

3、=10（面积单位）扩展法：如左图，将原图扩展为一个规则的长方形，再用长方形面积减去三个三角形 A,B,C 的面积即可。长方形：64=24 A：622=6 B：422=4 C：242=4 结果为：24644=10（面积单位）2011 年四年级春季班 第三讲 格点与割补 程雪四年级春季班（八级下）四年级春季班（八级下）3.2 毕克公式法：8+621=10例例 3 已知相邻两个格点距离是已知相邻两个格点距离是 1，求图形面积。，求图形面积。cBA解析：解析：本题需要注意的是，这是三个独立的图形组合而成的图形，所以最好是分开算，特别是想用毕克公式的同学，一定要分成三个图形用，不能看成一个图形用公式。同

4、学们自己练习一下吧，不管你用什么方法，看看结果对不对。A=5 B=4 C=12 合计：5+4+12=21（尖子）学案（尖子）学案 2 图中每个小正方形的面积都是图中每个小正方形的面积都是 4 平方厘米，求图中阴影部分的面积。平方厘米，求图中阴影部分的面积。解析解析：第一个图可以分割为 4 个一样的三角形和中间的一个田字格。不难算出面积是 24+4=12，但要注意这样算出来的是格子数，即有 12 个面积单位，每个面积单位是 4，那么，面积应该是 412=48（平方厘米）第二个图用分割法、扩展法、毕克公式都可以，比如说毕克公式，应该是 7+621=9（面积单位），49=36（平方厘米）例例 4 图

5、中有图中有 21 个点，其中相邻三点所形成的等边三角形的面积为个点，其中相邻三点所形成的等边三角形的面积为 1，试计算四边形的面积。，试计算四边形的面积。解析：解析：本题是三角形格点多边形了，如果用毕克公式要注意选用最后有2。毕克公式毕克公式法：S=（N+L21）2 =（5+421）2=122011 年四年级春季班 第三讲 格点与割补 程雪四年级春季班（八级下）四年级春季班（八级下）3.3 BADCBA三角形格点图形当中的分割法和扩展法同学们也要熟练掌握。只是要注意，计算规则三角形面积时我们多用的是等积变换或者倍数的思想，而不是面积公式。如本题用分割法分割法：分成 A,B 两个三角形A 以辅助

6、线为底边，那么底边是 1 个面积单位三角形的 4 倍，高是 1 个面积单位三角形的 1 倍，那么它的面积应是1 个面积单位三角形的 41 倍，即 4。同样，B 以辅助线为底边，那么底边是 1 个面积单位三角形的 4 倍，高是 1 个面积单位三角形的 2 倍，那么它的面积应是 1 个面积单位三角形的 42 倍，即 8。所以面积共计为 4+8=12。扩展法：扩展法：用大三角面积减去 A,B,C,D 四个小三角形的面积。注意灵活运用倍数思想。大三角面积：55=25A：31=3B：12=2C：41=4D：41=4所求面积：253244=12例例 5 略（分割法，扩展法，毕克公式均可）略（分割法，扩展法

7、，毕克公式均可）三、建立新标准（构造面积单位）三、建立新标准（构造面积单位）例例 6 如图是一组总面积为如图是一组总面积为 80 平方厘米的七巧板，用它构成右图阴影部分的形状，这个形状内接于如图所示的矩形，请问这个矩形的面积为多少？平方厘米的七巧板，用它构成右图阴影部分的形状，这个形状内接于如图所示的矩形，请问这个矩形的面积为多少？解析：解析：要求一个长方形的面积，却又没有长和宽的相关数据，但是告诉了另一个参照图形（七巧板）的面积，遇到这种题，同学们要学会找到这两个图形的联系，能不能划分出一些标准小图形（面积单位）。不难看出，长方形可以划分成右图形式。只要求出一个小正方形是多少就好算了。在七巧

8、板中，每一块的面积之间都是倍数关系。最小的三角形是 8044=5（平方厘米）正方形面积是 52=10（平方厘米）那么所求长方形面积=5310=150（平方厘米）。（尖子）学案（尖子）学案 3 如图是一个正六边形的图案，已知正六边形的面积为如图是一个正六边形的图案，已知正六边形的面积为 54 平方厘米，求阴影部分的面积平方厘米，求阴影部分的面积2011 年四年级春季班 第三讲 格点与割补 程雪四年级春季班（八级下）四年级春季班（八级下）3.4 解析：解析：对于正六边形与正六角星，同学们一定要熟悉，它俩是可以互相变化的，即正六边形里面恰好“套”了一个正六角星，正六角星里又可以再“套”一个小一点的正

9、六边形其次，它们是典型的对称图形（既是轴对抽图形，又是中心对称图形）。我们连接正六边形的 3 条对称轴，发现将其分成了 6 个一样的正三角形。不难看出，在每个正三角形里，阴影部分均占 1/3（根据角度计算可知，正三角形被分成 3 个一样的小三角形），那么整个图形中，阴影部分也占整体面积的 1/3，所以，得到结果 543=18（平方厘米）（提高）学案（提高）学案 3 如图涂阴影部分的小正六角星面积是如图涂阴影部分的小正六角星面积是 16 平方厘米，求大正六角星的面积。平方厘米，求大正六角星的面积。解析解析：根据上题的启发，可以画出如上右图的辅助线，可知空白部分是阴影部分的 2 倍，那么大正六角星

10、的面积就是小正六角星的 1+2=3 倍，所以打正六角星的面积是 163=48（平方厘米）。（尖子）学案 4 （尖子）学案 4 图中正六边形 ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形 CEPQ 的面积。2011 年四年级春季班 第三讲 格点与割补 程雪四年级春季班（八级下）四年级春季班（八级下）3.5 解析解析：对于正六边形，除了前两题的划分办法，同学们还应记住一种，就是本题这种形式的，当告诉了有关边的三等分点，那我们可以连接相应的三等分点，即在原有把正六边形划分成 6个一样的正三角形的基础上，再把每个正三角形又划分成 33 个更小的正三角形。这不就是我们刚学的三角形格点吗？正六边形共有 69=54（面积单位），其面积是 54，说明每个面积单位就是 1 三角形 PFE 的面积=13=3 三角形 CDE 的面积=33=9 四边形 ABQP 的面积，可以连接 BP，三角形 ABP 的面积=23=6，三角形 BQP 的面积=15=5 阴影部分面积=54-3-9-（6+5）=31