两电容器连接时的能量损失初探_精品文档.pdf

1、 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第4卷 第2期贵阳学院学报(自然科学版)(季刊)Vol.4No.2JOURNAL OF GU IYANG COLLEGE2009年6月Natural Sciences(Quarterly)Jun.2009两电容器连接时的能量损失初探3祁 翔(黄冈师范学院物理科学与技术学院,湖北 黄冈 438000)摘 要:两个带电电容器在连接前后的能量发生变化,论述了换路过程中,在理想和实际两种情况下电容电压是否发生跃,并解释其能量损失

2、原因。关键词:电容器;电场能量;换路;能量损失中图分类号:0441 文献标识码:A 文章编号:1673-6125(2009)02-0010-03An Exploration of Energy Loss in Connecting Two CapacitorsQ IXiang(College of Physical Science and Technology,Huanggang TeachersCollege,Huanggang Hubei,438000,China)Abstract:The energy of t wo charged capacitors changed before a

3、nd after connection.The present article exploreswheth2er the capacitor voltage greatly changed under the actual and ideal situations in the course of s witching circuit,and ex2plains the causes of energy loss.Key words:capacitor;electric field energy;s witching;energy loss 电容器是现代电工技术和电子技术中的重要元件,在各种物

4、理教材中都阐述了电容器的充放电过程。我们知道两带电电容器在连接前后,电容器上的电压、电量和能量都发生了变化,而电容器连接过程中能量守恒问题容易被忽视了,大多数物体教材中也很少讨论电容器连接前后的能量损失问题。1 问题的提出如图1,两电容器C1和C2分别充电至U1和U2(U1U2)后并联,在开关K闭合前,两电容器上储存的总能量为:W前=12C1U21+12C2U22当开关K闭合后,两电容器并联,总电容C=C1+C2,两电容器上的电压相同,根据连接前后电荷守恒有:Q=C1U1+C2U2=CU=(C1+C2)U并联后两电容器上储存的总能量为:图1并联后损失的能量为:W=W前-W后=C1C2(U1-U

5、2)22(C1+C2)(1)从式(1)可看出,两电容器并联后能量损失了,似乎不符合能量守恒定律,在大多数物理教材中解释为在导线中转化为焦耳热而损失了能量,而我们从式(1)可知损失的能量 W与电阻R无关,即当电路在理想和实际两种情况下能量的损失总是存在的。能量损失的原因究竟是什么?损失的013收稿日期:2009-03-20作者简介:祁 翔(1972-),男,湖北黄冈市人,湖北黄冈师范学院物理科学与技术学院讲师,主要从事物理学教学研究。基金项目:黄冈师范学院校级科研项目(08CB026)。1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing

6、House.All rights reserved.http:/能量到哪里去了?对于这些疑惑,我们可以电器原理和电磁场理论来分析两电容器在换路过程中能量损失的原因。2 换路过程中电容电压的跃变在图2所示的RC电路中,当开关K闭合后,电路中有电流i通过电容器C,由基尔霍夫定律并求解一阶微分方程,得电容电压和电路中电流的表达式为1,2:uc=Us(1-e-tRc)(2)i=Cducdt=UsRe-tRc(3)图2由上两式知t=0时电流值i(0)=UsR为有限值,uc(0+)=uc(0-)=0,即在换路时刻(t=0)电容电压不发生跃变。若在图2中没有电阻R,而是一个理想电压源和纯电容器组成的电路,设

7、K闭合前uc(0-)=0,则K闭合后,uc(0+)=Us,可见在换路时刻电容电压发生了跃变,即在t=0时刻,电容电压从零突然跃变到Us,该电容电压为一阶跃电压。根据电容电压与电流的关系及阶跃电压的微分性质,电路中电流i(t)=cducdt=Q(t),这是一个冲激电流,在t=0时刻其值为无穷大,它的物理意义是:在0-到0+的无穷小时间内运送的电荷量为Q,即冲激电流的强度是一常数,冲激电流具有如下性质:Q(t)=0(4)+-Q(t)dt=Q(5)由i=cducdt积分有uc(t)=uc(t0)+1ctt0Q(t)dt(6)当i为有限值时uc(0+)=uc(0-)(7)当i=Q(t)为冲激电流时由(

8、4),(5)两式得uc(0+)=uc(0-)+QC(8)即uc(0+)-uc(0-)=QC0这意味着电容电压在t=0-到t=0+之间发生了跃变,根据(8)式知Q=C uc(0+)-uc(0-)。通过以上分析,电容电压在换路时是否发生跃变,完全取决于通过电容的电流,若流过电容的电流为有限值,那么电容电压在换路时不会发生跃变,实际上这也是物理学中能量不能突变在电路分析中的表现。若流过电容的电流为冲激电流,那么电容的电压在换路时刻一定会发生跃变3,电压的跃变就会引起静电场本身变化而导致能量改变。3 理想情况下换路过程中电容的能量损失 将电容量分别为C1,C2两电容器分别充电到U1(0-),U2(0-

9、)后并联,设U1(0-)U2(0-),如图1,则C1向C2充电,换路过程中回路瞬间产生冲激电流,电容电压发生跃变。换路前电容器储存的能量为:W1(0-)=12C1U21(0-),W2(0-)=12C2U22(0-)换路结束瞬间电容储存的能量为:W1(0+)=12C1U21(0+),W2(0+)=12C2U22(0+)换路过程中能量损失为:W=W1(0-)+W2(0-)-W1(0+)+W2(0+)=12C1U21(0-)-12C1U21(0+)+12C2U22(0-)-12C2U22(0+)=12C1U1(0-)-U1(0+)2-12C2U2(0+)-U2(0-)2+C1U1(0+)U1(0-)

10、-U1(0+)-C2U2(0-)U2(0+)-U2(0-)(9)而在换路过程中由(6)式知:U1(0+)=U1(0-)+1C10+0-Q1(t)dt=U1(0-)+Q1C1则Q1=U1(0+)-U1(0-)C1i1(t)=Q1(t)=U1(0+)-U1(0-)C1(t)同理i2(t)=Q2(t)=U2(0+)-U2(0-)C2(t)C1在换路过程中放电,减少的能量W1=120+0-U1(0-)-U1(0+)i1(t)dt=-12C1U1(0-)-U1(0+)211 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All

11、rights reserved.http:/C2在接路过程中充电,获得的能量W2=120+0-V2(0+)-V2(0-)i2(t)dt=12C2U2(0+)-U2(0-)2W=|W1|-W2=12C1U1(0-)-U1(0+)2-12C2U2(0+)-U2(0-)2W 为式(9)右边前两项,它表示出在换路过程中电场力移送电荷做功而消耗的能量,式(9)右边后两项则正好体现了两个电容器在换路过程中由于电压跃变引起静电场本身变化而导致能量的改变4。由于以上分析是在理想情况下电路中没有电阻的存在而得出的能量损失,W是不会转变为热能的,能量到底以什么形式损失掉呢?由于回路中产生了冲激电流,而电路最高频率

12、对应的波长远大于电路自身尺寸,我们只有用电磁场理论才能解释能量的损失。对于图1,可认为回路导线这一匝线圈组成电感L.因L很小,由 0=1LC可知0极大,根据天线原理,此电路结构是开放性的,可看作是发射电磁波的天线,因此在换路过程中,损失的能量应转换成电磁波的能量向空间辐射出去。4 实际情况下换路过程中电容能量的损失在实际电路中始终是有电阻存在的,如图3在换路过程中,充放电过程将在0 时间内完成,回路中电流不再是冲激电流,由换路定理知U(0+)=U(0-),式(9)中 W=0,即换路结束瞬间能量没有损失,而在换路结束瞬间到电路达到稳定状态这个暂态过程中,能量才会以焦耳热的形式损失,我们知道在RC

13、电路中=RC=RC1C2C1+C2(此时C1,C2与R为串联关系)图3电流i(t)=i(0+)e-1t=U1(0+)-U2(0+)Re-1t由(7)式知i(t)=U1(0-)-U2(0-)Re-1t当电路达到稳定状态时U1()=U1(0-)-1C10i(t)dt=U1(0-)-1C10U1(0-)-U2(0-)Re-1tdt=U1(0-)-C2C1+C2U1(0-)-U2(0-)同理U2()=U2(0-)+1C20i(t)dt=U2(0-)+C1C1+C2U1(0-)-U2(0-)整个过程中能量损失为:将U1()和U2()代入上式并化简得W=C1C22(C1+C2)U1(0-)-U2(0-)2

14、(10)全过程中电阻R上消耗的能量为WR=0i2(t)Rdt=0U1(0-)-U2(0-)2Re-2tdt=C1C22(C1+C2)U1(0-)-U2(0-)2(11)从式(10)和式(11)可知 W=WR损失的能量全部转换为电阻R所消耗的能量,其值只与电容的大小及电容电压的初始值有关,与回路的电阻值R无关。5 结 语通过理想和实际两种情况下的分析,两带电电容器在连接时总是有能量的损失,它一样地遵守能量守恒定律。在理想情况下能量损失主要为电磁辐射,只是理想情况难以实现,闭合电路也难以做到对空间完全封闭,而且一般电路中也不允许这样并联,在实际情况下,能量损失主要为焦耳热,但是不管在哪种情况下能量的损失与电阻R无关,只与电容的大小及电容电压初始值有关。参考文献:1马世豪.电路原理M.北京:科学出版社,2005,255-261.2姚海彬.电工技术(第二版)M.北京:高等教育出版社,2004,153-155.3杨蕴玠.电路中电容电压和电感电流的突变J.内江科技,2007(4):118-119.4郭洪昌.关于理想平行板电容器并联时的能量传输问题J.长春师范学院学报,2007,(4):42-44.21