Logistic模型的参数估计及人口预测_精品文档.pdf

1、第2 7 卷第6 期北京工商大学学报(自然科学版JV 0 1 2 7N o 62 0 0 9 年1 1 月J o u r n a lo fB e i j i n gT e c h n o l o g ya n dB u s i n e s sU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)N o v 2 0 0 97 5文章编号：1 6 7 1 1 5 1 3(2 0 0 9)0 6 0 0 7 5 0 4L o g i s t i c 模型的参数估计及人I 1 预测王学保，蔡果兰(中央民族大学理学院，北京1 0 0 0

2、8 1)摘要：用数值微分和线性拟合化技术对L o g i s t i c s 模型进行了参数估计，由此检验了2 0 0 52 0 0 7年中国总人口数的误差情况，其中2 0 0 7 年用相关参考文献的等差参数估算方法所得结果的相对误差为5 5 8，而本文参数估算所得结果的相对误差为0 1 1 4，预测取得了理想的效果关键词：L o g i s t i c 模型；人口预测；参数估计；数值微分；线性拟合中图分类号：0 2 2文献标识码：AI 背景简介人口问题是影响中国发展的重要因素，准确预测出未来人口的发展趋势对国家的整体发展规划有重要的指导意义，考虑到种内对资源的竞争，可以假设人口增长率r 是人

3、口z(t)的函数r(z)，即不同密度的人I Z l 有不同的净增长率L o g i s t i c 假设r(z)是2 7(t)的减函数，且是z 的线性函数，(z)=r 一$3 7，j 0，这里的，相当于2 7(z=0)时的增长率，(z)r，即人口不受环境和资源限制的固有(内禀)增长率，显然实际增长率，为了明确参数s 的物理意义，引入最大人口容量3 7。，即自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量则当3 7=z。时，人口的增长率为零，即0=，-一$3 7。；5=r z。，在L o g i s t i c 的线性假设下，有以下的L o g i s t i c 模型J，一、警=r【1 一手Jz，z(

4、0)=I O(1)u o山mL o g i s t i c 模型是1 9 3 8 年V e r h u l s t P e a r l 在修正非密度方程时提出的，他认为实际增长率不是内禀增长率，而是在一定的环境中种群的增长总存在一个上限，当种群的数量逐渐向着上限上升时实际增长率就要逐渐地减少，因而也被称为V e r h u l s t P e a r l方程【2 1 用变量分离法求得方程(2)的解为(2)设初始人口z o 0)是绝对值较小的增量，R，(f，c)为公式(4)的截断误差，公式(3)右端称中心差商，公式(4)称为中心差商公式如果将数值求导空间 t 2，b 进行7 等分，步长=气，当函

5、数y=，(z)在分点上用离散数值表示为(z 女，Y k)，口=z o z 1 z。=b 时，可以得到函数在分点的导数值为厂(z )竺丛三掣，足=1，2，z 一1，对于端点z。，z。，有厂(训兰止掣，厂(训兰止止掣，误差为o(h)，为了提高精度利用二次差值函数得到精度为O(h 2)的三点公式，即在X o，z ，z。处的求导公式m 旌土血鼍羟止幽厂(以)竺丛型掣(川 2 旷1)m 旌出出尘趔本文就是用三点公式作为数值微分公式来进行数值微分计算的3)多项式拟合及M A T L A B 应用一组数据(z i，Y i)，i=1，行用最d x-乘法作曲线拟合时，若选取一组r。(,2 7)，r。(z)为1，

6、z，z 2，z”(优 行)，则拟合曲线为多项式Y=n l z”+口+口。+1 对于指数型曲线拟合前需作变量代换，化为系数参数的线性函数而最小二乘法拟合的多项式拟合有现成的M A T L A B 程序格式口=p o l y f i t(z，y，m)，其中参数z，Y 为要拟合的数据，是数据自定义的数组，研为拟合多项式的次数求多项式在o Z 处的值的命令为Y=p o l y v a l(口，z)在本文中主要使用一次线性拟合3 模型的参数估计由L o g i s t i c 模型的解(3)中可知只要对参数z。，口，b 进行估计即可，主要方法和步骤如下：1)首先先求z。，对(2)式变形得到业：r 一与，

7、(5)Z工m 万方数据第2 7 卷第6 期王学保等：L o g i s t i c 模型的参数估计及人口预测令虫竽=“为年增长率，根据人口数据利用第二部分的数值微分方法算出方程左端即增长率“，然后对“进行线性拟合可以求得“=盯+d，对照(5)式我们可得z。=Id c1 2)求参数口，b，将z。的值代入(3)式并变形为X _ _ m m 一1：口f 口：纽一1，6=一r 1，两端取对数得Z 0、XOI1 n(血一1)_ l n 口+b t，令y=l n(纽一1)，B=l n 日，、Zi、Z 0A=b，则较为繁琐的指数形式的解就可变换为线性函数y=A t+B，利用M A T L A B 软件可以拟

8、合出A、B 的值，从而求出a=e B，b=A 的值，进而确定出人口模型解的具体形式4L o g i s t i c 人口模型对中国人口的预测从图1 中可以看出1 9 8 7 2 0 0 3 年中国人口的变化情况，出生率呈线性递减的趋势，而死亡率几乎保持在同一水平线上，从而导致人1 2 1 的自然增长率也呈线性递减趋势恰好满足L o g i s t i c 线性假设，因此可以运用L o g i s t i c 模型进行较长时间的预测图11 9 7 5 年2 0 0 3 年人口数据变化1)根据1 9 8 7 2 0 0 3 年人口数据(见表1)，运用第三部分的数值微分得到年增长率的值，然后利用M

9、A T L A B 软件线性拟合为如下直线方程“=啊+d(c=一4 9 9 99 1 0 5，d=7 0 7 40)，估算z。=1 4 14 8 0 万人2)把所求的2 1 7。代A(2)采用第三部分的线性变换并拟合一步，估算a=0 2 9 5，b=0 0 7 13 从而求出人口预测解的具体形式，1 4 14 8 0庐再1 五02 9 5i 而丽+1 P”。o表11 9 8 7 2 0 0 3 年中国人口数据【万人)年份总人口年份总人口1 9 8 71 0 9 3 0 01 9 9 61 2 23 8 91 9 8 81 1 10 2 61 9 9 71 2 36 2 61 9 8 91 1

10、27 0 41 9 9 81 2 47 6 11 9 9 01 1 4 3 3 31 9 9 91 2 57 8 61 9 9 11 1 58 2 32 0 0 01 2 67 4 31 9 9 21 1 7 1 7 12 0 0 11 2 76 2 71 9 9 31 1 8 5 1 72 0 0 21 2 84 5 31 9 9 41 1 9 8 5 02 0 0 31 2 9 2 2 71 9 9 51 2 1 1 2 1通过M A T L A B 软件进行拟合可以直观地看到数值的变化情况(见图2)图21 9 8 7 2 0 0 3 年数据点与拟合曲线3)模型检测：我们用2 0 0 5

11、2 0 0 7 年的中国人口进行检验，详见表2 从表2 知利用数值微分与线性拟合化技术对参数进行的估计，其解对人口的预测精度要比以前的方法好很多4)预测结果：从表3 的预测结果来看，在未来的2 0 年内中国的人口总数不会超过1 4 亿，由于人口数量均高于人口容量的一半，属于慢速增长期即我国现在处在人口增长缓慢阶段，但人口增长率仍然为正值 万方数据7 8北京工商大学学报(自然科学版)2 0 0 9 年1 1 月表22 0 0 5 2 0 0 7 年的人口预测值与实际统计值(单位：万人)的误差表3 未来2 0 年的人口预测值(单位万人)年份总人口年份总人口年份总人口年份总人口年份总人口2 0 0

12、81 3 27 0 92 0 1 21 3 47 8 12 0 1 61 3 63 8 22 0 2 01 3 76 1 22 0 2 41 3 85 5 12 0 0 91 3 32 7 72 0 1 31 3 52 2 12 0 1 71 3 67 2 12 0 2 11 3 7 8 7 12 0 2 51 3 87 4 92 0 1 01 3 3 8 1 12 0 1 41 3 56 3 42 0 1 81 3 7 0 3 82 0 2 21 3 8 1 1 32 0 2 61 3 88 3 32 0 1 11 3 4 3 1 12 0 1 51 3 60 2 02 0 1 91 3 7

13、3 3 52 0 2 31 3 83 4 02 0 2 71 3 9 1 0 5由此可知若人口数据充分时，利用数值微分和线性拟合化技术来估算相关参数，可以更加有效预测未来的人口数量，从而对国家的整体发展规划具有重要的指导意义参考文献：1】林振山种群动力学 M 北京：科学出版社，2 0 0 6 2 陈兰荪数学生态学模型与研究方法 M 北京：科学出版社1 9 8 5 李秋红，何先平数学模型在人口增长中的应用 J 太原师范学报，2 0 0 8，7(2)：5 5 5 6 邵晓峰，张克新黄冈市人口增长模型的研究 J 数学的实践与认识2 0 0 8，3 8(1 3)：9 7 1 0 1 李振福长春市城市人

14、口的L o g i s t i c 模型预测 J 吉林师范大学学报，2 0 0 3(1)：1 6 1 9、3 4 李华中L o g i s t i c 模型在人口预测中的应用 J 江苏石油化工学院学报，1 9 9 8，1 0(2)：3 2 3 4 任玉杰数值分析及其M A T L A B 实现 M 北京：高等教育出版社，2 0 0 7 P A R A M E T E RE V A L U A T I o No FL O G I S T I CM o D E LA N DP O P U L A T I o NP R E D I C T I O NW A N GX u e b a o C A IG

15、 u o-l a n(D e p a r t m e n to f M a t h e m a t i c s，C e n t r a lU n i v e r s i t y f o，N a t i o n a l i t y，B e O i n g1 0 0 0 8 1，C h i n a)A b s t r a c t：I nt h i sp a p e r，p a r a m e t e r so ft h el o g i s t i cm o d e la r ee v a l u a t e db yn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t

16、 i o na n dl i n e a r i t ys i m u l a t i o n T h er e s u l ts h o w st h a tt h ef o r e c a s t i n gc o n s e q u e n c eo ft h i sm e t h o dw a sm o r ee f f e c t i v et h a nt r a d i t i o n a lm e t h o d so fr e f e r e n c e dl i t e r a t u r eb yc h e c k i n gp o p u l a t i o no fc h i n af r o m2 0 0 5t o2 0 0 7 i nw h i c ht h er e l a t i v ee r r o ro f2 0 0 7i s0 1 1 4 oc o m p a r e dw i t h5 5 8 o fi n t e r r e l a t i n gl i t e r a t u r e K e yw o r d s：l o g i s t i