伴随矩阵的性质及其应用1_精品文档.pdf

1、第15卷第3期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.15 No.32 0 0 6年9月Journal of Henan Institute of Education(Natural Science)Sep.2006收稿日期:2006-02-20作者简介:王莲花(1964),女,河南宁陵人,北京物资学院基础部副教授,从事代数教学与研究.伴随矩阵的性质及其应用王莲花,田立平(北京物资学院 基础部,北京101149)摘要:讨论了矩阵的伴随矩阵在对称、反对称、正定、正交、相似和特征值等方面的性质及其在线性代数解题中的应用.关键词:伴随矩阵;正交矩阵;正定矩阵;相似矩阵;特征值中图分类号O151121

2、文献标识码:A 文章编号:1007-0834(2006)03-0004-03 矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念.对于它的一些性质的推证,涉及到线性代数中许多基本的概念与方法.本文作者归纳、总结了伴随矩阵的性质.1 伴随矩阵的性质定理 n阶矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的行列式不等于零,即|A|0,且A-1=1|A|A3.1此定理解决了n阶矩阵A可逆的必要条件,而且说明矩阵A的逆矩阵是由A来确定的,更重要的是,此定理还给出了A的逆矩阵的构造方法,这在理论上是非常重要的.矩阵的秩是矩阵的重要特性.若以r(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:命题1 设A是n阶矩阵,则r(A)=n,r(A)=n1,r(

3、A)=n-10,r(A)n-1证明(1)当r(A)=n时,|A|0,由AA3=|A|E知,|AA3|=|A|A3|=|A|n,即|A3|=|A|n-10,所以r(A3)=n.(2)当r(A)=n-1时,|A|=0,所以AA3=0,知A3的列向量都是方程组AX=0的解.由于r(A)=n-1,齐次线性方程组AX=0的解向量组的秩为n-(n-1)=1,知A3的列向量组的秩为1,即列秩为1,故r(A3)=1.(3)当r(A)n-1时,A3的每一个元素Aij都是零,因为A没有不为0的n-1阶子式,故r(A3)=0.由上所述,A与A3同时可逆或不可逆.进一步可得出结论:r(A3)3)=n,r(A)=n0,

4、r(A)0,当t(0,)时,使|tE+A|0,|tE+B|0,令A1=tE+A,B1=tE+B,那么|A1|0,|B1|0,且B1=tE+B=tE+P-1AP=P-1(tE)P+P-1AP=P-1(tE+A)P=P-1A1P则由(1)知B31=P-1A31P,即(tE+B)3=P-1(tE+A)3P上式两端矩阵的元素都是关于t的多项式,由于当t(0,)时,对应元素相等,所以对任意t上式都成立.取t=0时,P-1A3P=B3,即A3与B3相似.性质12 若A是正定的,那么A3也是正定的.证明 A是正定的,故存在可逆矩阵P,使PTAP=E,则有(PTAP)3=E3,即P3A3(PT)3=E,所以A

5、3也是正定的.性质13 若矩阵A与B合同,且A与B可逆,则A3与B3也合同.证明 因为矩阵A与B合同,则存在可逆矩阵P,使PTAP=B,又A与B可逆,则有P-1A-1(PT)-1=B-1,即CTA-1C=B-1,其中C=(P-1)T又|P|2|A|=|B|,则(|P|C)T|A|A-1(|P|C)=|B|B-1,即QTA3Q=B3其中Q=|P|C是可逆矩阵.故A3与B3也合同.性质14 设n阶方阵A是可逆的,那么A3可表示为A的多项式.证明 A的特征多项式为f()=n+an-1n-1+L+a1+a0.因A可逆,所以a0=(-1)n|A|0.由哈密尔顿 凯莱定理知f(A)=0,即An+an-1A

6、n-1+L+a1A+a0E=0故-1a0(An-1+an-1An-2+L+a1E)A=E右乘A3,得-|A|a0(An-1+an-1An-2+L+a1E)=A3故 A3=(-1)n-1(An-1+an-1An-2+L+a1E).2 伴随矩阵性质的应用例1已知三阶矩阵A=(aij)33满足条件:5(1)aij=Aij(i,j=1,2,3),其中Aij是aij的代数余子式;(2)a110.求|A|.解 由条件(1)和性质2知,A3=AT,则|A|=|AT|=|A3|=|A|2,所以|A|=0或|A|=1.又|A|=a11A11+a12A12+L+a1nA1n=a211+a212+L+a21n0,故

7、|A|=1.例2 设A为三阶矩阵,A的特征值为1,3,5.试求行列式|A3-2E|.1解 因为|A|=135=15,由性质10知,A3的特征值分别为15,5,3.于是A3-2E的特征值为15-2=13,5-2=3,3-2=1.故|A3-2E|=1331=39.例3 求矩阵A的伴随矩阵A3.A=-110-430102.解 矩阵A的特征多项式为:f()=|E-A|=3-42+5-2因a0=-20,所以矩阵A可逆.由性质14知A3=(-1)3-1(A2-4A+5E)=6-208-20-311.例4 证明若A为降秩矩阵,那么,A的伴随矩阵A3的n个特征值至少有n-1个为零,且另一个非零特征值(如果存在

8、的话)等于A11+A22+L+Ann.2解 由于|A|=0,所以r(A)n-1.(1)当r(A)n-1时,由定理2知,r(A3)=0,所以A3的特征值为0,0,0.则结论成立.(2)当r(A)=n-1时,由定理2知,r(A)3=1,设A3的特征值为 1,2,L,n,由Jordan标准形知T-1AT=1300n因为r(A)3=1,可设2=L=n=0,这时变为T-1AT=13L300L0MMM00L0因为r(A)3=1,所以10所以1=trA3=A11+A12+L+Ann.参 考 文 献1 卢刚.线性代数(第2版)M.北京:高等教育出版社,2004.2 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京:中央民族大

9、学出版社,2002.Some Properties and its Applications of Adjoint MatrixWANGLian2hua,TIAN Li2ping(Basic Course Department,Beijing WuZi University,Beijing101149,China)Abstract:Some properties of adjoint matrix are discussed in the essay.The properties include symmetry,anti-symme2try,positive definite,orthogonal,similar and characteristic value.Key words:adjoint matrix;orthogonal matrix;symmetry matrix;similar matrix;characteristic value6