线性规划在经济管理中的应用.pdf

1、第23卷第6期2008年12月电力学报 JOURNAL OF EL ECTR IC POW ERVol.23 No.6Dec.2008文章编号:100526548(2008)0620459204线性规划在经济管理中的应用刘春艳(内蒙古财经学院 金融学院,呼和浩特010051)摘要:线性规划是运筹学的一个分支,它广泛地应用现有的科学技术和数学方法以解决实际中的问题,帮助决策人员选择最优方针进行决策。针对如何把线性规划的知识运用到经济管理领域中,去研究人力资源分配、生产计划、套材下料、广告投入、动态投资、建厂选址等热点问题,通过建立模型及L I NDO求解,对经济管理中有限资源进行合理配置,从而获

2、得最佳经济效益。关键词:线性规划;运筹学;经济管理;L I NDO;最优解中图分类号:F127;F224文献标识码:A线性规划是应用分析、量化的方法,对管理系统中的有限资源进行统筹规划,为决策者提供最优方案,以实现科学管理。面对激烈的市场竞争,降低成本、增加利润、增强其核心竞争力,成为了每个企业追求的目标,而要实现其目标,就要对人、财、物等现有资源进行优化组合、实现最大效能。因此,将线性规划方法用于企业的产、销、研等过程成为了现代科学管理的重要手段之一。自从单纯形法提出以来,线性规划得到了广泛应用123,目前,线性规划的计算机求解软件主要有多种,规划问题的专用软件L I NDO,可以解决一些拥

3、有超过50 000个约束条件和200 000个变量的大规模复杂问题。L I NDO的出现使线性规划的求解问题变得简单易行,所以线性规划的具体运用也越来越受到管理者的重视。1线性规划的模型1.1线性规划的一般形式所谓线性规划,就是在一系列约束条件之下,求解某一经济目标最优(最大或最小)值的一种数学方法。它的一般形式表示如下4:max(或m in)Z=c1x1+c2x2+cnxn,s.t.a11x1+a12x2+a1nxn(=)b1,a21x1+a22x2+a2nxn(=)b2,an1x1+an2x2+annxn(=)bn,x1,x2,xn0.1.2线性规划的标准形式由于目标函数和约束条件内容和形

4、式上的差别,线性规划问题可以有多种表达式。为了便于讨论和制定统一的算法,可以把线性规划的一般形式化为如下的标准形5:max(或m in)Z=c1x1+c2x2+cnxn,s.t.a11x1+a12x2+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a2nxn=b2,an1x1+an2x2+annxn=bn,x1,x2,xn0;b1,b2,bn0.把一般形化为标准形的过程,可以简而言之为“三化”:即目标最值化、约束等式化和变量非负化。2线性规划在管理中的应用2.1人力资源分配问题例1某医院每天各时段内所需医护人员数统计如下表,设医护人员在某一时段开始上班,并连续工作8小时如表1,问该医院怎样安排医护

5、人员,才能既满足工作需要,又使配备的人员最少?表1时段人员配备表班次时段所需人数?人1T06001000902T100014001003T14001800904T18002200805T22000200506T0200060060收稿日期:2008210224基金项目:国家社会科学规范办课题(06XM Z018)作者简介:刘春艳(1975-),女,内蒙古通辽市人,讲师,研究方向为区域经济学和保险精算,(E2mail)LcyL解:设Xn表示第n班开始上班的医护人员数,由于每班实际上班的人数包括前一班开始上班的人数,可建立如下的数学模型:m inZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6,s.t.x1

6、+x690,x1+x2100,x2+x390,x3+x480,x4+x550,x5+x660,x1,x2,x60.用L I NDO 6.1解之得:最优值Z=240,最优解x1=90,x2=10,x3=80,x4=0,x5=60,x6=0。即医院按如上方案配备医护人员,只需240人即可满足工作需要。2.2生产计划问题例2某电器厂生产A、B、C三种产品,其有关资料如表2所示:表2某电器厂资源、市场情况表产品材料消耗?(kg件-1)台时消耗?(台时件-1)产品利润?(元件-1)市场容量?件A2.0420400B3.02.424500C8.0228200资源限制4 000 kg2 000台时问在资源限

7、量及市场容量允许的条件下,如何安排生产使获利最多?解:设A、B、C三种产品分别生产x1,x2,x3件时,能获利最多,则该问题数学模型为:maxZ=20 x1+24x2+28x3,s.t.2x1+3x2+8x34000,4x1+2.4x2+2x32000,0 x1400,0 x2500,0 x3200,x1,x2,x3为整数.用L I NDO 6.1解之得:最优值Z=19 600,最优解x1=100,x2=200,x3=500.即A、B、C三种产品分别生产100,200,500件时,能获利最多,且最多可获利19 600元。2.3套裁下料问题例3某厂欲生产100套钢架,每套用长为2.9m,2.1

8、m和1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m,问如何下料,使得原材料最省?解:最简单的方法是,在每根原材料上直接截取所需长度的圆钢各一根组成一套,这样每根圆钢余下料头0.9 m,共耗原材料100根,余下料头共9 m。若改用套裁下料方法,设在每根原材料上分别截取2.9 m,2.1 m和1.5 m的圆钢为n1,n2,n3根(其中n1,n2,n3为非负整数),由7.4-0.92.9n1+2.1n2+1.5n37.4,可得如下几个较优方案:表3某厂材料下料方案表长度?m方案下料数?根一二三四五2.9120102.1002211.531203合计7.47.37.27.16.6料头00.10.20.

9、30.8设按照上述各方案下料的圆钢根数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则可得如下的数学模型:m inZ=x1+x2+x3+x4+x5,s.t.x1+2x2+x4100,2x3+2x4+x5100,3x1+x2+2x3+3x5100,x1,x2,x50.用L I NDO 6.1求得最优解:x1=30,x2=10,x3=0,x4=50,x5=0。最优值Z=90,即按照上述五种方案下料的圆钢根数分别30,10,0,50,0,最后共需圆钢90根。2.4广告投放问题例4某产品要在某电视台作广告宣传,广告对象是妇女和老人,一次早上广告节目需要200元,估计有1 000位妇女和1 000位老人收看,一次

10、中午的广告节目需280元,估计有1 500位妇女和2 000位老人收看。一次晚上的广告节目需840元,估计有5000位妇女和4 000位老人收看。该企业广告节目要求每天至少有30 000位家庭妇女和25 000位老人收看,如何安排广告节目的配合比,使之达到上述要求,又能使广告费用费用最少?解设早上广告次数为x1,下午广告次数为x2,晚上广告次数为x3,则模型为:m inZ=200 x1+280 x2+840 x3,s.t.1 000 x1+1 500 x2+5 000 x330 000,1 000 x1+1 500 x2+4 000 x325 000,x1,x2,x30.解得x1=2,x2=2

11、,x3=5,z=5 160,即早晨和中064电力学报第23卷午各播出2次,晚上播出5次,就能达到广告要求,并且最少的广告费用为5 160元。2.5动态投资问题例5某公司现有资金1 000万,今后五年欲投资以下项目,已知:项目A:五年内每年年初可购买公债,于当年年末收回本利和106%;项目B:从第一年到第四年每年年初都可以投资,次年末回收本利和128%,但规定每年最大投资额不能超过150万元;项目C:第三年年初需要投资,到第五年年末能收回本利140%,但规定最大投资额不能超过400万元;项目D:第二年年初需要投资,到第五年年末能收回本利和155%,但规定最大投资额不能超过500万元。测定每万元投

12、资的风险指数如表4所示:表4投资方案风险指数项目风险指数?(万元次-1)A0.6B3C4D5.5问:(1)如何投资,使得五年末的本利和最大?(2)如何投资,使得五年末在本金增值50%的基础上而总的风险指数最小?解:设xij为第i年投资于j项目的金额(单位万元),根据已知,列表如下:表5投资设置表项目年份12345Ax1Ax2Ax3Ax4Ax5ABx1Bx2Bx3Bx4BCx3CDx2D(1)不考虑风险,只追求本利和最大,可得如下的数学模型:maxZ=1.06x5A+1.28x4B+1.40 x3C+1.55x2D,s.t.x1A+x1B=1 000,x2A+x2B+x2D=1.06x1A,x3

13、A+x3B+x3C=1.06x2A+1.28x1B,x4A+x4B=1.06x3A+1.28x2B,x5A=1.06x4A+1.28x3B,xiB150(i=1,2,3,4),x3C400,x2D500,xij0(i=1,2,3,4,5;j=A,B,C,D).用L I NDO 6.1求得最优解:x5A=118.8,x4B=150,x3C=400,x2D=500,x1A=850,x3B=150,x2A=251,x2B=150,x3A=0,x3B=58.1,x4A=42。最大本利和为1 652.967万元。(2)若在本金增值50%的基础上要求总的风险指数最小,则得如下的数学模型:m inf=0.6

14、(x1A+x2A+x3A+x4A+x5A)+3(x1B+x2B+x3B+x4B)+4x3C+5.5x2D,s.t.x1A+x1B=1 000,x2A+x2B+x2D=1.06x1A,x3A+x3B+x3C=1.06x2A+1.28x1B,x4A+x4B=1.06x3A+1.28x2B,x5A=1.06x4A+1.28x3B,xiB150(i=1,2,3,4),x3C400,x2D500,1.06x5A+1.28x4B+1.40 x3C+1.55x2D1 500,xij0(i=1,2,3,4,5;j=A,B,C,D).用L I NDO 6.1求得最优解:x1A=1 000,x2A=788.1,x

15、3A=435.4,x4A=461.5,x5A=489.2,x1B=0,x2B=0,x3B=0,x4B=0,x3C=400,x2D=271.9。最小风险系数和为5 000。2.6建厂选址问题例6某大型超市连锁公司欲在某市的东、南、西、北四区建立新的超市,拟议中有十个位置Ai(i=1,2,10)可供选择,考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度,规定:在东区由A1,A2,A3三个点至多选择两个;在西区由A4,A5两个点至少选择一个;在南区由A6,A7两个点至少选一个;在北区由A8,A9,A10三个点至多选择两个。Ai各点的投资额及每年可获利润由于地点不同都是不一样的,预测情况见表6:但投资额不能

16、超过720万元,问应选择哪几个销售点,可使年利润最大?解:设01变量xi=1当点Ai被选用;0当点Ai没被选用。则该问题的数学模型为:maxZ=36x1+40 x2+50 x3+22x4+20 x5+30 x6+25x7+48x8+58x9+61x10,164第6期刘春艳等:线性规划在经济管理中的应用s.t.100 x1+120 x2+150 x3+80 x4+70 x5+90 x6+80 x7+140 x8+160 x9+180 x10720,x1+x2+x32,x4+x51,x6+x71,x8+x9+x102,xi=0,1(i=1,2,10).用L I NDO 6.1求得最优解:x1=1,x2=1,x3=0,x4=0,x5=1,x6=1,x7=0,x8=0,x9=1,x10=1可获得最大年利润245万元。即在拟议中的A1,A2,A5,A6,A9,A10投资建立销售点,能获得最大利润,最大年利润为245万元。表6投资利润表单位:万元A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10投资额100 120 15080709080140 160180利润364050222030254858613结