1、2 0 0 4 年第 1 8 期 数 学 通 讯 2 5 “抽象函数周期性证明”的1 1种类型、刘 冰 (哈尔滨市师范大学附属中 学,黑龙江1 5 0 0 8 0)抽象函数的周期性的证明,是学习中的 重点和难点 本文旨在扩大同学们知识面,攻 破其难点 共 1 1 种类型 记f(z)是定义在 R上的函数,且 ab 0 类型1 若对于任意一个实数 z,都有 ,(z+a)=f(z+b),求证:函数=,(z)是周期函数 类型2 若对于任意一个实数 z,都有 ,(z+a):一 f(z),求证:函数=,(z)是 周期函数 类型3 若对于任意一个实数 z,都有 ,(z+口)(,(z)0),求 :函数:f(z
2、)是周期函数 类型4 若对于任意一个实数 z,都有 ,(z+口)=一 I_(,()0),求 证:函 数 =f(z)是周期函数 类型 5 若对于任意一个实数 z都有:f(z+a)=f(一z+b);函数=f(z)是奇函数,求证:函数=f(z)是周期函 数 类型 6 若对于任意一个实数 z都有:q)f(x+口)=f(一z+b);函数=f(z)是偶函数,求证:函数 =,(z)是周期函数 类型7 若对于任意一个实数 z都有:f(z+口)=一f(一z+b);函数=,(z)是奇函数,求证:函数=f(z)是周期 函数 类型 8 若对于任意一个实数 z都有:f(z+a)=一f(一z+b);函数=,(z)是偶函数
3、,求证:函数=,(z)是周期 函数 类型9 若对于任意一个实数 z都有:,(z+a)=f(一z+a);函数:f(z +b)=f(一 z+b),求证:函数=,(z)是 周期函数 类型l O 若对于任意一个实数z都有:(z+a)=一f(一z+a);函数=,(z+b)=一 f(一 z+b)求证:函数 =f(z)是周期函数 类型 l 1 若对于任意一个实数 z都有:q)f(x+a)=f(一z+a);函数=f(z +b)=一 f(一 z+b)求证:函数 =,(z)是 周期函数 下面是以上1 1 个类型的证明过程 证明类型1:函数,(曩 于任意的实 数 z都有f(z+a)=f(z+b),将上式中的 z以z
4、b代换,可得,z+(ab):,(z),这表明,(z)是R上的周的期函数,且 a b 是它的一个周期 类型 2:依题 意可知,厂(z+2 a):一f(z+a)=f(z),这表明f(z)是 R上的 周期函数,且2 口是它的一个周期 类型 3:依题意得可知,(z+2 a)=1 7 i l一 ,(z),这 表 明,(z)是R 上 的 周 期函 数,且2 口 是它的一个周期 类型 4:依题 意可知,(z+2 a)=维普资讯 http:/ 数 学 通 讯 2 0 0 4 年第 l 8 期 一 工_ 厂(),这 表 明 厂()是 R 上 的 周期函数,且2 口是它的一个周期 类型5:对于任意的实数 都有,(
5、+a)=,(一 +b),将上式中的 以 +b 代 换,可得 厂 +(a+b)=厂(一 )=一厂(),由 本文类型2,可得到,+2(a+b)=,(),这表明厂()是 R上的周期函 数,且2(a+b)是它的一个周期 类型6:对于任意的实数 都有,(+a)=,(一 +b),将上式中的 以 +b 代 换,可得厂 +(a+b)=厂(一 )=f(x),这表明,()是R上的周期函数,且 a+b 是 它的一个周期 类型7:对于任意的实数 都有厂(+a)=一 f(一 +b),将上式中的 以 +b 代换,可得,+(a+b)=一 厂(一 )=厂(),这表明,()是R上的周期函数,且 a +b是它的一个周期 类型8:
6、对于任意的实数 都有厂(+口)=一,(一 +b),将上式中的 以 +b 代换可得厂 +(a+b)=一 厂(_ )=一厂(),由 本文 类型2,可 得到,+2(a+b)=厂(),这表明厂()是 R上的周期函 数,且2(a+b)是它的一个周期 类型9:依题意可知。将式中的 以 +a 代换,可得f(Z a+)=,(一 ),同 理可 得,f(2 6+)=,(一 ),所以f(z a+)=f(2 6+),将此式中的 以 一 2 6 代换,可 得厂(+2 a 一 2 b)=厂(),这表明,()是 R 上的周期函数,且2(a b)是它的一个周期 类型 1 O:依题意可知,将式中的 以 +a 代换,可得f(2
7、a+)=一,(一 ),同 理可得,f(Z b+)=一,(一 ),所以 f(z a +)=f(Z b+),将此式中的 以 一 2 b 代换,可得,(+2 a 一 2 b)=厂(),这表明 ,()是R上的周期函数,且2(a一6)是它的 一个周期 类型 1 1:依题可知,将式中的 以 +a 代换,可得f(z a+)=,(一 ),同 理可 得,f(2 6+)=一,(一 ),所以f(z a+)=一 f(2 6+),将此式中的 以 一 2 b 代 换,可得 厂(+2 a一2 b)=一厂(),所以 厂 4(a b)=一厂 +2(ab)=,(),这表明厂()是 R上的周期函数,且 4(a b)是它的一个周期
8、注 类型 1 类型4,函数满足特定的函 数方程时,函数是周期函数;类型5 类型8,函数同时具有奇偶性和对称性,函数具有周 期性;类型9 类型 1 1,函数,()具有对称 性(两个对称关系),函数具有周期性,另外,对于这一类型还可推广到三个及三个以上对 称关系时,函数仍具有周期性,有兴趣的同学 可举例验证 例 (2 0 0 1 年全国高考 2 2 题)设,()是定义在R上的偶函数,其图象关于=1 对称,证明,()是周期函数 证明 ,()关于直线 =1 对称,有,()=厂(1+1 一 ),即 ,()=f(z ),R 又因为函数,()在 R上是偶函数,即 厂(一 )=,(工),R,。厂(一 )=厂(一 +2),R 将上式中的 一 以 代换,得,()=厂(+2),R,因此,()是 R上的周期 函数,且2 是它的一个周期(收稿日期:2 0 0 4 0 4 0 4 J 维普资讯 http:/
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