“抽象函数周期性证明”的11种类型_精品文档.pdf

1、2 0 0 4 年第 1 8 期 数 学 通 讯 2 5 “抽象函数周期性证明”的1 1种类型、刘 冰 (哈尔滨市师范大学附属中 学，黑龙江1 5 0 0 8 0)抽象函数的周期性的证明，是学习中的 重点和难点 本文旨在扩大同学们知识面，攻 破其难点 共 1 1 种类型 记f(z)是定义在 R上的函数，且 ab 0 类型1 若对于任意一个实数 z，都有 ，(z+a)=f(z+b)，求证：函数=，(z)是周期函数 类型2 若对于任意一个实数 z，都有 ，(z+a)：一 f(z)，求证：函数=，(z)是 周期函数 类型3 若对于任意一个实数 z，都有 ，(z+口)(，(z)0)，求 ：函数：f(z

2、)是周期函数 类型4 若对于任意一个实数 z，都有 ，(z+口)=一 I_(，()0)，求 证：函 数 =f(z)是周期函数 类型 5 若对于任意一个实数 z都有：f(z+a)=f(一z+b)；函数=f(z)是奇函数，求证：函数=f(z)是周期函 数 类型 6 若对于任意一个实数 z都有：q)f(x+口)=f(一z+b)；函数=f(z)是偶函数，求证：函数 =，(z)是周期函数 类型7 若对于任意一个实数 z都有：f(z+口)=一f(一z+b)；函数=，(z)是奇函数，求证：函数=f(z)是周期 函数 类型 8 若对于任意一个实数 z都有：f(z+a)=一f(一z+b)；函数=，(z)是偶函数

3、，求证：函数=，(z)是周期 函数 类型9 若对于任意一个实数 z都有：，(z+a)=f(一z+a)；函数：f(z +b)=f(一 z+b)，求证：函数=，(z)是 周期函数 类型l O 若对于任意一个实数z都有：(z+a)=一f(一z+a)；函数=，(z+b)=一 f(一 z+b)求证：函数 =f(z)是周期函数 类型 l 1 若对于任意一个实数 z都有：q)f(x+a)=f(一z+a)；函数=f(z +b)=一 f(一 z+b)求证：函数 =，(z)是 周期函数 下面是以上1 1 个类型的证明过程 证明类型1：函数，(曩 于任意的实 数 z都有f(z+a)=f(z+b)，将上式中的 z以z

4、b代换，可得，z+(ab)：，(z)，这表明，(z)是R上的周的期函数，且 a b 是它的一个周期 类型 2：依题 意可知，厂(z+2 a)：一f(z+a)=f(z)，这表明f(z)是 R上的 周期函数，且2 口是它的一个周期 类型 3：依题意得可知，(z+2 a)=1 7 i l一 ，(z)，这 表 明，(z)是R 上 的 周 期函 数，且2 口 是它的一个周期 类型 4：依题 意可知，(z+2 a)=维普资讯 http:/ 数 学 通 讯 2 0 0 4 年第 l 8 期 一 工_ 厂()，这 表 明 厂()是 R 上 的 周期函数，且2 口是它的一个周期 类型5：对于任意的实数 都有，(

5、+a)=，(一 +b)，将上式中的 以 +b 代 换，可得 厂 +(a+b)=厂(一 )=一厂()，由 本文类型2，可得到，+2(a+b)=，()，这表明厂()是 R上的周期函 数，且2(a+b)是它的一个周期 类型6：对于任意的实数 都有，(+a)=，(一 +b)，将上式中的 以 +b 代 换，可得厂 +(a+b)=厂(一 )=f(x)，这表明，()是R上的周期函数，且 a+b 是 它的一个周期 类型7：对于任意的实数 都有厂(+a)=一 f(一 +b)，将上式中的 以 +b 代换，可得，+(a+b)=一 厂(一 )=厂()，这表明，()是R上的周期函数，且 a +b是它的一个周期 类型8：

6、对于任意的实数 都有厂(+口)=一，(一 +b)，将上式中的 以 +b 代换可得厂 +(a+b)=一 厂(_ )=一厂()，由 本文 类型2，可 得到，+2(a+b)=厂()，这表明厂()是 R上的周期函 数，且2(a+b)是它的一个周期 类型9：依题意可知。将式中的 以 +a 代换，可得f(Z a+)=，(一 )，同 理可 得，f(2 6+)=，(一 )，所以f(z a+)=f(2 6+)，将此式中的 以 一 2 6 代换，可 得厂(+2 a 一 2 b)=厂()，这表明，()是 R 上的周期函数，且2(a b)是它的一个周期 类型 1 O：依题意可知，将式中的 以 +a 代换，可得f(2

7、a+)=一，(一 )，同 理可得，f(Z b+)=一，(一 )，所以 f(z a +)=f(Z b+)，将此式中的 以 一 2 b 代换，可得，(+2 a 一 2 b)=厂()，这表明 ，()是R上的周期函数，且2(a一6)是它的 一个周期 类型 1 1：依题可知，将式中的 以 +a 代换，可得f(z a+)=，(一 )，同 理可 得，f(2 6+)=一，(一 )，所以f(z a+)=一 f(2 6+)，将此式中的 以 一 2 b 代 换，可得 厂(+2 a一2 b)=一厂()，所以 厂 4(a b)=一厂 +2(ab)=，()，这表明厂()是 R上的周期函数，且 4(a b)是它的一个周期

8、注 类型 1 类型4，函数满足特定的函 数方程时，函数是周期函数；类型5 类型8，函数同时具有奇偶性和对称性，函数具有周 期性；类型9 类型 1 1，函数，()具有对称 性(两个对称关系)，函数具有周期性，另外，对于这一类型还可推广到三个及三个以上对 称关系时，函数仍具有周期性，有兴趣的同学 可举例验证 例 (2 0 0 1 年全国高考 2 2 题)设，()是定义在R上的偶函数，其图象关于=1 对称，证明，()是周期函数 证明 ，()关于直线 =1 对称，有，()=厂(1+1 一 )，即 ，()=f(z )，R 又因为函数，()在 R上是偶函数，即 厂(一 )=，(工)，R，。厂(一 )=厂(一 +2)，R 将上式中的 一 以 代换，得，()=厂(+2)，R，因此，()是 R上的周期 函数，且2 是它的一个周期(收稿日期：2 0 0 4 0 4 0 4 J 维普资讯 http:/