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1、ETF被动套利中指数复制设计及套利成本设定ETF被动套利中指数复制设计及套利成本设定长城伟业期货公司特约研究员 王红兵2007-05-10指数基金ETF是投资股指期货的主力机构。在美国资本市场，指数基金不到3年资产管理规模翻一番，约达4500亿美元。2007年第一季度，美国新上市指数基金110只。而同期新上市的全部传统型共同基金仅50只。在股指期货被动套利的现货选择上，交易型开放式指数基金组合比较合适，但众所周知，指数基金ETF的流动性不尽如人意，那么目前ETF是否可以用来进行股指期货被动套利？衍生的问题诸如ETF如何复制沪深300指数、在指数跟踪中发生哪些影响套利收益的成本、这些成本的大小等

2、，诸多细节在套利实务中十分关键，直接影响着套利的成败。本文利用ETF进行被动套利的技术细节及相应的套利成本测定，解决以下五方面问题。一、套利了结时点选择：T+0还是T+1?由于ETF可当天赎回操作，赎回的一揽子股票可当天出售，所以理论上利用ETF进行股指期货套利可实现T+0交易，但因ETF存在最小申购赎回单位以及流动性不足的限制，T+0可能不成立。按一般原则，当日申购的基金份额可同日卖出，但不得赎回；当日买入的基金份额可同日赎回，但不得卖出；当日赎回的证券可同日卖出，但不得用于申购基金份额；当日买入的证券可同日用于申购基金份额。最小申购赎回单位指投资者进行ETF实物申购、赎回申报的基本单位，又

3、称“创设单位”（Creation Unit,CU）。每只ETF最小申购赎回单位不尽相同，其大小的确定主要取决于目标指数成份股构成与基金跟踪误差控制目标的设定，但相对ETF的交易单位而言普遍较大。深证100ETF、上证50ETF最小申购赎回单位均为100万份基金份额，上证180ETF最小申购赎回单位为30万份。从换手率来看ETF的流动性，如图1.1所示：上证50ETF流动性最好，深证100ETF其次，上证180ETF最差。图1.1 三只ETF日均成交数量（2006.072007.01）目前ETF的流动性还比较弱，尤上证180ETF。为满足最小申购赎回单位，仅上证50ETF流动性尚且满足。这样的流

4、动性会导致巨大的冲击成本，套利过程中购买最小赎回单位的ETF必须承担一定的冲击成本。用分笔数据测试其冲击成本，由于流动性不足，最小赎回单位不可能一笔交易完成，连续的购买可能经历几种成交价格，这里把购买过程中相对于购买开始时间多付出的累积交易成本称为冲击成本。以2007年2月15日为例，配置最小赎回单位ETF的CVaR（Conditional ValueatRisk）值如图1.2所示，95置信水平下上证50ETF最大损失平均值为0.1267，而上证180ETF最大损失平均值为0.7307。流动性问题是利用ETF进行股指期货套利的主要障碍，不过随着股指期货的发展会逐渐改善，届时利用ETF进行股指期

5、货套利比较合适。图1.2 配置最小赎回单位ETF的CVaR（95）风险值受最小赎回单位的约束，T+0套利中基金的配置不能以任意比例进行，否则将导致套利规模过大，且如此局限的配置也将导致无法完全匹配期货头寸。以2007年2月合约为例，选取深证100ETF和上证50ETF（因流动性问题暂不考虑上证180ETF），ETF组合配置的比例及该比例下的规模如下表1所示：表1 ETF头寸匹配（以2007年01月19日收盘价计算）以表1中ETF的配置权重配置ETF组合，并使用2007年2月合约期间五分钟交易数据（2007012220070115）观察其可能的累计跟踪误差风险大小。如图1.3所示，当上证50ET

6、F配置25时ETF组合的CVaR值最小，即套利头寸了结时，跟踪误差导致的平均损失95的可能不会超过0.26。深证100ETF和上证50ETF进行1：1配置时与期货的匹配最好，但跟踪误差导致的平均最大损失有1.13。图1.3 不同配置下ETF组合的CVaR风险值上证50ETF配置25时需1000万的套利资金。如套利期间现货下跌，无法匹配的多余现货（0.6373/125.31）市值减少的风险无法对冲。假定现货头寸有些“多余”，现货部分中不匹配的比例为K，则套利过程可用下表表示：表2 利用ETF进行股指期货套利期末现金流可表示为各项现金流的和，如下式所示： （1）期货结算价一般收敛于现货价，如ETF

7、与指数拟合良好，则S0（1+RS）与PT之间的差异接近于零，期末现金流可表示为公式(2)，多余部分的市场风险暴露，且要承担多余部分的资金成本。 （2）二、最佳套利规模及规模下的套利成本设定套利了结时点选择T1更为合适。由于套利资金规模较大，那么发现套利机会后ETF组合能否承受这些套利资金规模呢？ETF组合跟踪指数能力的衡量主要采用累计跟踪误差均值和跟踪误差导致的CVaR，累计跟踪误差均值主要衡量未来任一时点了结时现货头寸的平均损益，跟踪误差CVaR主要用来衡量在一定置信水平下未来任一时点了结头寸可能导致最大损失的平均水平，假定95的置信水平，相应的跟踪误差CVaR简单来说指跟踪误差最大的前5交

8、易时点所发生的平均跟踪误差。1.跟踪误差导致的成本以2007年2月当月合约测试跟踪误差导致的成本，在未来累计1天和2天交易时间内相机了结，在合约随机选取20个建仓点测算跟踪误差导致的95CVaR值，结果如图2.1所示。可见未来1日和2日内了结在80（16个随机交易时点）交易时点上跟踪误差导致的最大平均损失基本可控制在0.66之内，未来2日了结的风险略大。实际套利中可跟踪最近历史数据进行推算，以便判断套利机会时设定成本。图2.1未来1日和2日内了结可能导致最大损失的平均水平 2.一定套利规模下的建仓成本受ETF流动性限制，套利规模越大建仓时冲击成本也越大，这里的建仓成本指由于冲击成本产生而导致现

9、货和期货无法完全匹配，下面采用2007年3月7日5秒钟高频数据进行建仓成本的模拟测算，套利规模分别为1至10份合约。3.套利规模与限时建仓成功的概率当上证50ETF、深证100ETF、上证180ETF数量配置比例为0.475:0.475:0.05时，当天建仓成功概率如图2.2。因ETF流动性不足，即使发现机会当天也不一定建仓成功，随着套利规模增大，建仓成功概率也将不断下降。从图2.2可见，当套利规模为1份合约时，当天建仓成功概率为98.09；套利规模在5份以上时，此概率下降到80以下；套利规模为10份合约时，以2007年3月7日收盘价计算，套利规模大概为776.8万元，此时当天完成建仓的概率只

10、有72.59。虽然套利规模越大可能未来绝对盈利也越多，但套利建仓失败的风险也越大。如果要求建仓时间非常短（如一分钟内），则图2.2所示成功概率还要降低，图2.3为限时建仓成功的可能性。事实上，2007年3月7日数据表明，一分钟几乎无法完成任何规模套利头寸的建仓，即使1份合约规模的套利，成功建仓的可能性也只有3.47。图2.2 0.475:0.475:0.05配置时，当天成功建仓的可能性图2.3 0.475:0.475:0.05配置时，限时建仓成功的可能性4.套利规模与建仓成本发现套利机会后立即建仓买入ETF现货组合，但由于建仓时流动性不足引发冲击成本，这就是建仓成本。图2.4是3月7日当天完成

11、建仓的建仓成本，套利规模越大建仓成本也越大，不过增大的幅度不大。当套利规模为1份合约时，建仓成本的CVaR(95%)为0.2488，5份时建仓成本的CVaR(95%)为0.4077，10份建仓成本的CVaR(95%)为0.5298。平均建仓成本基本都在0.2以下。建仓成本和当天行情关联较大，平衡市中成本可能较低，上涨行情中成本可能较高。图2.4 0.475:0.475:0.05配置时，建仓成本的CVaR(95%)和平均建仓成本5.配置比例与建仓成本配置比例的不同也会导致建仓成本产生细微差异，不过最优配置比例一般在套利前才能确定，所以这里只是给出2007年3月7日当天建仓成功且套利规模为5份的参

12、考数据。当上证50ETF、深证100ETF、上证180ETF配置比例为0.475:0.475:0.05、0.5:0.5:0、0.4:0.6:0 、0.6:0.4:0时，平均建仓成本及其套利建仓成本95CVaR值如下图2.5所示。显然，在ETF组合中，流动性最好的上证50ETF配置越多建仓成本就越低。图2.5 不同配置比例下平均建仓成本及其95CVaR值（5份套利规模）三、ETF组合构建方法的设计与比较目前来看，利用ETF进行股指期货的被动套利存在流动性方面的局限，使大规模的套利行为充满风险，不过随着ETF流动性的改善，未来还是可行的。那时涉及的问题就是如何构建ETF组合使其跟踪指数的能力满足套

13、利者的风险控制需求，从而降低套利失败的概率。优化是ETF组合构建中用到的主要方法，即利用历史数据在特定目标下优化出ETF的配置权重，优化可以有不同的目标，不同的优化目标下权重的配置有差异，从而导致不同的指数跟踪能力，这里我们设计了五种优化方法：1.定量配置权重，时点跟踪误差最小证券组合中各证券的数量权重为W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上时点跟踪误差的均方根最小，这种优化目标对于较大跟踪误差的证券权重进行压缩。2.定量配置权重，累计跟踪误差最小证券组合中各证券的数量权重为W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上累计跟踪误差的均方根最小，这种优化目标对于较大跟踪误差的证券权重进行更

14、为严厉的压缩。3.规避过大风险证券组合中各证券的数量权重为W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上超过阀值的累计跟踪误差的均方根最小，这种优化目的一般需采用遗传算法等比较复杂和耗时的算法工具。4.协整均衡即认为ETF组合与标的指数存在协整关系（cointegration），ETF的配置权重根据这一协整关系进行设定。5.以上几种方法的组合不同优化方法不可能在所有时点均保持最优的指数跟踪能力，同时采用上述方法计算权重后再次进行加权可能更为稳健，不过不同配置方法的权重分配较难确定，一般可根据历史模拟进行。四、市场不同阶段下ETF组合构建方法的优劣上述5种方法在指数跟踪上哪个更为优秀呢？考虑四个当

15、月合约2006.10.232006.11.17、2006.11.202006.12.15、2006.12.182007.1.19、2007.1.122007.2.16，以前一个合约期五分钟数据为历史数据构建ETF组合，以随后一整个合约期五分钟数据进行对比验证。1.较长周期的套利以0612合约期为例：整个合约期表现为强势的牛市行情。以2006.10.232006.11.17间数据构建期配置现货头寸，2006.11.202006.12.15为验证期，通过计算表明在整个合约期“累计跟踪误差最小”为最优方案，跟踪误差均值为0.48%，95%的CVaR值为-0.41%，即最大平均损失95概率不会超过0.41。以上结论假定合约期起点建立头寸，但套利机会的出现是随机的。那么在随机建仓时优化方法的指数跟踪效果如何？在合约期内随机选取10个建仓点，从建仓点到合约结束为套利期