小学奥数著名问题之一笔画问题习题集.docx

1、小学奥数著名问题之一笔画问题习题集一笔画问题（教师必备）一、欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。二、顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数

2、。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。(2)有K个奇点的图形要K2笔才能画成。例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ

3、，共需三笔，即(62)笔画成。一个K(K1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。三、到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画，看下面的例题：1.下列图形分别是几笔画？怎样画？2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？4

4、.下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？如果能，请你把它画出来。 数学趣闻集锦之欧拉与哥尼斯堡七桥问题拓扑学起源于公元1736年一个著名问题哥尼斯堡七桥问题的解决哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥该河流经城区的这两个岛岛与河岸之间架有六座桥，另一座桥则连接着两个岛星期天散步已成为当地居民的一种习惯，但试图走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次却从来没有成功过但直至引起瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，17071783)注意之前，没有人能够解决这个问题那时，欧拉正在圣彼得堡为俄国女皇凯瑟琳服务在解决该问题的过程中，欧拉创立了一个数学分支，即后来人

5、们所熟知的拓扑学他在解哥尼斯堡七桥问题时，采用了今天人们称之为网络的拓扑学知识运用网络，欧拉证明了要走过哥尼斯堡的七座桥且每桥只通过一次是不可能的这一问题及欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。它开创了拓扑学研究的先河拓扑学是一个相对较新的领域19世纪，数学家们才开始对它以及其他的非欧几何开展研究论述拓扑学的第一篇论文，写于1847年一个网络基本上可以看成是一个问题的图样哥尼斯堡七桥问题的网络可以图解如下一个网络由顶点和弧线组成一个可以遍历的网络是指它可以准确一次地穿经所有的弧线，但顶点却可以通过任意次数哥尼斯堡七桥问题的网络顶点，有如上图所示的A

6、，B，C，D注意每个顶点发出的弧线数A为3，B为5，C为3，D为3由于这些数全是奇数，这类顶点我们称之为奇顶点或奇点如果一个顶点发出的弧线数为偶数，我们则称之为偶顶点或偶点欧拉发现，对于一个可以遍历的网络，其奇、偶点具有许多性质特别地，欧拉注意到：一个奇顶点在这种遍历式的旅行中，要么是起点，要么是终点由于一个遍历的网络只能有一个起点和一个终点，因而这种网络的奇点数不能多于两个然而在哥尼斯堡七桥问题的网络中却有四个奇点，因而它是不可能被遍历的以上网络中哪一个是可以遍历的(即一笔而不重复地画成)？你能找到穿经每个门各一次且笔不离纸的通道吗？试证明你的结论三年级奥数下册：第二讲 从哥尼斯堡七桥问题谈起