1、圆与二次函数及答案圆与二次函数1、已知:二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c,且与x轴的正半轴交于A、B两点(点A在点B左侧)。若A、B两点的横坐标为整数。(1)确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标;(2)若点D的坐标是(0,6),点P(t,0)是线段AB上的一个动点,它可与点A重合,但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S,求S与t的函数关系式;(3)若点P与点A重合,得到四边形ABCD,以四边形ABCD的一边为边,画一个三角形,使它的面积等于四边形ABCD的面积,并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识,画一个三角形,使它的面积等于四边形ABCD的
2、面积(画示意图,不写计算和证明过程)。2、(1)已知:关于x、y的方程组 有两个实数解,求m的取值范围;(2)在(1)的条件下,若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且ABC的面积等于12,确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式;(3)你能将(2)中所得的抛物线平移,使其顶点在(2)中所得的直线上吗?请写出一种平移方法。3、已知:二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数。(1)求证:不论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的
3、倒数和为 ,求这个二次函数的解析式。4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像,确定当x取什么值时,y10,y1=0,y10; (2)根据(1)的结论,确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式;(3)若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点,试确定实数k与b应满足的条件。5、已知:如图,直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点,M经过原点O及A、B两点。(1)求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程;(2)C是M上一点,连结BC交OA于点D,若COD=CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式;(3)若延长BC到E,使D
4、E=2,连结EA,试判断直线EA与M的位置关系,并说明理由。(河南省)6、如图,已知点A(tan ,0) B(tan ,0)在x轴正半轴上,点A在点B的左边, 、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的RtABC的两个锐角。(1)若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点,求它的解析式;(2)点C在(1)中求出的二次函数的图像上吗?请说明理由。(陕西省)7、已知抛物线y=x2和直线y=(m2-1)x+m2.(1)当m为何实数时,抛物线与直线有两个交点?(2)设坐标原点为O,抛物线与直线的交点从左至右分别为A、B,当直线与抛物线两点的横坐标之差为3时,求AOB中的O
5、B边上的高。(四川省)8、如图,P为x轴正半轴上一点,圆P交x轴于A、B两点,交y轴于C点。弦AE分别交OC、CB于D、F。已知 = 。(1)求证:AD=CD;(2)若DF5/4,tanECB=3/4 ,求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(3)设M为x轴负半轴上一点,OM=1/2AE,是否存在过点M的直线,使该直线与(2)中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等?若存在,求出这条直线的解析式;若不存在,请说明理由。(大连市)9、如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=2时,y的值相等直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点,其中一
6、点的横坐标是4,另一点是这条抛物线的顶点M(1)求这条抛物线的解析式;(2)P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合),设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;(3)在线BM上是否存在点N,使NMC为等腰三角形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由(哈尔滨市)10、如图,在直角坐标系中,点O的坐标为(2,0),O与x轴交于原点O和点A,B、C、E三点的坐标分别为(-1,0),(0,3)和(0,p)且0p3.(1)求经过点B、C的直线的解析式;(2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与O是
7、这几种位置关系?当P分别在什么范围内取值时,直线BE与O是这几种位置关系?(3)设过点A、B、E的抛物线的顶点是D,求四边形ABED的面积的最大或最小值11、已知:抛物线y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a0,t0)的顶点是A,抛物线y=x2-2x+1的顶点是B(1)判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上,为什么?(2)如果抛物线y=a(x-t-1)2+t2经过点B,求a的值;这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形?若能,求出t的值;若否不能,请说明理由(南京市)12、已知:如图,抛物线c1经过A、B、C三点,顶点为D,且与X轴的另一个交点为E.(1)求抛物线C1
8、解析式;(2)求四边形ABDE的面积;(3)设抛物线C1的对称轴与X轴交于点F,另一条抛物线C2经过点E(抛物线C2与抛物线C1不重合),且顶点为M(a,b),对称轴与X轴相交于点G,且以M,G,E为顶点的三角形与以D,E,F为顶点的三角形全等,求a,b的值(只需写出结果,不必写出解答过程)13、已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过x轴上的两点A(x1,0)、B(x2,0)和y轴上的点C(0,-3/2),P的圆心P在y轴上,且经过B、C两点,若b= a, AB=2 .(1)求抛物线的解析式;(2)D在抛物线上,且C、D两点关于抛物线的对称轴对称,问直线BD是否经过圆心P?并说明理
9、由;(3)设直线BD交P于另一点E,求经过点E 的P的切线的解析式14、已知二次函数y=x2+ax+a-2(1)求证:不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方;(2)设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C,如果过点C且平行于x轴的直线与抛物线有两个不同的交点,并设另一个交点为点D,问:QCD能否是等边三角形?若能,请求出相应的二次函数解析式;若不能,请说明理由;(3)在第(2)题的已知条件下,又设抛物线与x轴的交点之一为点A,则能使ACD的面积等于1/4的抛物线有几条?请证明你的结论(杭州市)15、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A(x
10、1,0)、B(x2,0)两点,x和x是方程x2+2x-3=0的两个根(12)而且抛物线与y轴交于C点,ACB不小于90(1)求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴;(2)求点C的坐标(用含a的代数式表示);(3)求系数a的取值范围16、已知:如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x轴的另一个交点(深圳市)(1)求抛物线的解析式;(2)若点P在直线BC上,且SPAC=1/2SPAB,求点P的坐标1、2、5、7、8、9、10、11、分析:(1)y1的顶点为(t+1,t2),代入y2检验 x2-2x+1=(t+1)2-2(t+1)+1=
11、t2+2t+1-2t-2+1=t2, 点A在y2=x2-2x+1的抛物线上 (2)由y2=x2-2x+1=(x-1)2+0, y2顶点B(1,0),因为y1过B点,0=a(1-t-1)2+t 2at2+t2=0 t0,t20, a=-1 当a=-1时,y=-(x-t-1)2+t2, 它与x轴的两个交点纵坐标为零,即y1=0,有0=-(x-t-1)2+t2x-t-1=t x1=t+t+1=2t+1, x2=-t+t+1=1 情况一:两交点为E(2t+1,0),F(1,0) 而A(t+1,t2)由对称性有AF=AE(如图) 只能是FAE=90,AF2=AD2+DF2 而FD=OD-OF=t+1-1=t,AD=t2, AF2=t2+t2=AE2, FE=OE-OF=2t+1-1=2t 令EF2=AF2+AE2,则有(2t)2=2(t2+t2),4t2=2t4+2t2, t0,t2-1=0,t=1 情况二:E(1,0),F(2t+1,0) 用分析法若FAE为直角三角形,由抛物线对称性有AF=AE即AFE为等腰直角三角形 且D为FE中点,A(t+1,t2), AD=t2,OD=t+1, AD=DE,t2=OE-OD=1-(t+1), t2=-t, t1=0(不合题意,舍去),t2=-1 故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形,这时t=113、14、15、16、
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