离散时间信号与系统.docx

1、离散时间信号与系统9 离散时间信号与系统在这一章中，我们首先考虑离散时间信号，或者，更简单，离散信号。一个离散时间信号被定义在一个确切的时间点。我们定义一个离散时间信号为xn。其中地理变了n只可以去证书的值。在本张杰的第二个问题，我们考虑离散时间系统，或者，更简单，离散系统。离散时间系统是指所有信号在时间上都是离散的。这章紧跟着第二章的概要。如上所述，一个离散信号只被定义为在离散的时间。例如，假设一个连续时间信号f(t)被一个数字电脑处理。这个操作成为数字信号处理DSP。因为计算机处理一个数字，连续时间信号必须被转换成一个序列。这种转换过程叫做采样。如果信号是按时间t的增量采样的，数字序列f(

2、nT),n=,-2,-1,0,1,2,结果。时间增量T被称为采样周期。（这里与接下来的章节有一点混乱的危险，符号T被用于表示采样周期，而在章节5和6不是这样.）图9.1(a)所示是采样过程，其中每个样本值由通过一条垂线端点表示。通常被用于采样的硬件在标9.1(b)中。正如第一章所述，模数转换器（A/D或ADC）是一个电子电路，将每个样品取样电压信号并将其转换成一个二进制数，二进制数字可以被发送到数字计算机来被处理。因此，一个A/D勇于生成和传输数列给计算机。取样时间是由计算机的定时脉冲决定。一个信息是关于符号整齐的。符号f（t）表示一个连续信号。符号f(nT)表示在f(t)值在t=nT。符号f

3、n表示一个时域离散信号，只被定义在整数。圆括号表示连续时间；括号表示离散时间。然而，这个符号不是万能的；他在这里是用来区分f(nT)和fn.如果fn是有f(t)间隔T秒采样而得，然后f(nT)=f(t)|t=nT还有fn=f(t)|t=nTf(t)|t=n （9.1）公式9.1(c)阐述了数字信号处理的整个系统。将时域连续信号f(t) 采样，得到时域离散信号f(nT)=fn；处理器输出的信号是gn；f(t)定义在所有的时间，gn仅被定义在n个整数；例如，g1.2根本不存在。一个时域离散信号xn可以作为一个幅度连续的信号，他的振幅可以是任意值-xn 。第二类时域离散信号是一种离散复读信号，其中x

4、n只能取被定义的幅度。一个幅度离散时间离散的信号也被称作数字信号。一个复读离散时间离散信号的例子是一个数模转换器的输出。（见表1.19）例如，如果数模转换器输出8位二进制，输出信号幅度只能为28=256个不同的值。幅度离散时域离散信号的第二个例子是任何一个在数字计算机内部的信号。总之，一个时间离散信号就是一个数字序列。序列通常被表示为fn，这个符号代表序列,f-2,f-1,f0,f1,f2,我们通常认为fn，其中n是一个整数，没有定义的。一些工程师对时域离散信号感兴趣的原因有以下几个：1. 如果我们使用数字信号处理采样是必要的，这比模拟信号处理更有通用性。2. 许多通信系统出于各样的原因被设计

5、成依离散时间信号为基础的。3. 采样一个信号允许我们存储信号到独立存储。4. 某些传感器的输出是测量物理变了的离散时间变量。5. 自动控制的物理系统需要数字计算机来实现复杂的控制策略。控制信号源于计算机，是时域离散的。6. 许多消费品例如CD，DVD，数码相机还有MP3播放器都是使用数字信号的。9.1 时域离散信号与系统在这一部分中，我们介绍了时域离散信号的例子。我们用数值积分为例。加入我们希望一个电压信号，x(t)，使用一个数字计算机。由数字计算机集成需要我们用一个数值算法。在一半情况下，数值算法是基于近似一个信号与一个位置积分和一个信号有一个已知积分。因此，所有的集成算法在本身是近似。我们

6、使用欧拉法则(在章节1.3中讨论过的)，在图9.1中描绘的。欧拉规则估算曲线x(t)下的面积由显示的矩形区域的和表示。在图中步长H（每个矩形的宽）被称为数值积分增量。该算法的实施要求x(t)在每H秒被采样，结果为数列x(nH)，n为整数。让y(t)作为下面x(t)的积分： (9.2)x(t)的积分从t=0到t=nH在图9.2中表示为可积的，对于t=0到t=(n-1)H加上积分(n-1)H到nH。因此，在公式(9.2)中， (9.3)忽略锁设计的近似，我们把方程表示为 (9.4)然而，y(nH)只是x(t)在t=nH时的一个近似的积分。以前讨论的时域离散信号中的符号，(9.4)被解释为 (9.5

7、)这种类型的方程叫做差分方程。一般的n阶常系数线性差分方程的形式为, (9.6)其中常系数为ai和bi是常数，i=1,2,N。把n替换为(n+N)，我们也可以把差分方程表达为, (9.7)(9.6)和(9.7)的格式被用于指定的差分方程。在本章节，我们考虑的时域离散信号是在(9.6)和(9.7)中xn和yn的类型还有差分方程描述的离散系统。但是，我们不限制差分方程是否为线性。9.2 时域离散信号的变换在本节中，我们讲研究对于时域离散信号xn的6种变换。其中3个变换是关于独立变量n和其他3个独立变量x。对于离散信号变化的命名，我们继续使用术语离散时间，或者单时间点，对于离散增量变了n，由于通常，

8、我们考虑到采样信号。对于采样信号，我们用n来表示时间t=nT，T为采样周期。时间变换首先，我们考虑3次变换。在这些变换中，为了更清晰理解，我们用m来表示原始信号中的时间，用n来表示信号变换后的离散时间。时间反转对于时间反转信号xm，我们用-n来取代独立变量m。这样，我们得到, (9.20)其中yn表示变换后的信号。这个操作可以得到xm关于坐标系垂直轴的镜像效果。在第十章中我们将看到，时间反转的一个应用是在计算某些系统的响应。时间标度给定一个信号xn，时间缩放版本的这个信号为, (9.21)这里我们只考虑在a=k或者a=1/k的情况下（k的值为整数）。为了看起来更清晰，这里在此把原始信号的时间变

9、量替换为m。振幅变换接下来我们考虑关于振幅的3个变换。振幅变换也沿用与时间变换的相同的规则。三种振幅变换的基本形式为， （9.24）其中A和B是常数，不一定是整数，例如：,值A=-3.1产生振幅反转（因为符号为负）还有幅度缩放（），还有值B=-5.75给出了信号的振幅变化的直流电平移位（平均值）。现在幅度缩放的一个例子已经给出了。9.3 时域离散信号的特征在2.2章节中，我们定义了时域连续信号的一些有用的特性。现在我们考虑时域离散信号的相同的特征。奇偶信号在本节中，我们定义了奇偶信号（函数）。如果一个时域离散信号xen是偶信号的话xen= xe-n （9.25）如果xon是奇信号的话xon=-

10、 xo-n （9.26）任何时域离散信号xn都可以表示为一个奇信号与偶信号的总和：xn=xen+xon （9.27）为了证明这一点，我们用-n来替代变量nx-n=xe-n+xo-n=xen-xon （9.28）将式子（9.27）与式子（9.28）关于xn的部分相加 （9.29）将式子（9.27）与式子（9.28）关于xn的部分相减 （9.30）这两个方程通常用来寻找一个时域离散信号的奇部分和偶部分。记住公式（9.29）和（9.30）还有（9.27）。一个时域离散信号的平均值是有下面这个公式得来： （9.31）和时域连续信号的情况一样，一个时域离散信号的平均值包含在偶部分，奇信号的平均值总是为零

11、。（见习题9.11）奇偶信号有一下几个特性：1. 两个偶信号的和是偶信号。2. 两个奇信号的和是奇信号。3. 一个奇信号与一个偶信号的和既不是奇信号也不是偶信号。4. 两个偶信号的乘积是偶信号。5. 两个奇信号的乘积是偶信号。6. 一个奇信号与一个偶信号的乘积是奇信号。这些特性是很容易被证明的。（见习题9.12。）现在给出一个关于奇偶信号的例子。9.4 常见的时域离散信号在2.3节中，我们定义了一些常见的发生在系统瞬踢响应的时域连续信号。在本部分中，我们将介绍等效的时域离散信号，这些信号可以出现在一定的离散系统的瞬态响应中。比如这个信号，正弦曲线，我们在第9.3节中提到过。例如，一个数字计算机

12、可编程输出一个离散正弦信号来产生可变频率的声音。离散正弦信号传输到计算机数字模拟转换器（D/A），模数转换器是一个电子电路，它可以把二进制数转换为一个时间连续的电压信号。（见1.3章）然后这个电压通过功率放大器到达扬声器。计算机定时芯片用来确定采样周期T还有，音调的频率。以我们现在使用一个系统为例，来介绍常见的时域离散信号。本装置的例子是在数字计算机中的以为计算机或者内存的位置。每隔T秒，我们改变储存在设备的数量。然后一个不同的数字被转换到设备然后被存储下来。如果我们用xn来表示转换到设备的数字，那么被转移出的数字一定是xn-1。按这种方式使用的设备称作一个理想时间延迟。长期的理想表明，数字不

13、会有任何方式的改变，仅仅是被延迟。9.5 时域离散系统在本节中，我们定义了时域离散系统的一些通用符号。记住，我们定义的所有离散时间系统的信号是时间离散的。这一部分紧跟着2.6节。我们开始通过重复定义一个在2.6节中出现的系统。系统：一个系统是一种因果关系存在的过程。我们的目的是找出系统输入信号与系统输出信号直接的关系。同城，我们指的是输入信号和输出信号，简单些，输入和输出，这样分别。在9.1节中描述的欧拉积分和差分方程是一个时间离散系统的例子。eq(9.5) 在这个方程中，xn是数字积分器的输入信号，yn是输出信号。一个数字控制系统是一个由数字计算机控制的系统，它没有人类的干预。一个例子是商业

14、飞机的自动着陆系统。某些种类的数字滤波器的基础成分在数字控制系统被用于积分器。欧拉积分是被用于这些滤波器中。另一种流星的积分器是基于梯形规则。（见习题9.22）对于积分器（9.5），输入信号是xn和输出信号为yn。我们也可以把这个积分器转化为： （9.59）这个符号代表一个变换而非一个函数；就是说，T(xn)不是一个来替代xn和直接计算yn的数学函数。有关输入xn和输出yn的方程组被称为一个数学模型，或者简单来说，模型。给定输入xn，就有对应的解yn。时域离散系统的模型，通常是一组差分方程。正如前面所述，我们常常说到的系统的粗心。一般来说，当我们使用文字系统，我们指的是一个物理系统的数学模型，而不是物理系统本身。这是在本书接下来常用的用法。如果我们指的是一个物理系统，如果有混乱情况出现我们将它称为一个物理系统。9.6 时域离散系统的性质在9.5章中，欧拉积分给出了离散时间系统的例子。在本书中，我们提出了时域离散系统的性能和特点。接下来，xn表示系统输入，yn表示系统输出。我们用这种符号来表示他们的关系。 （9.63）就像时域连续系统那样，我们把这种关系比作xn产生yn。这和（9.63）关系式有相同的意义等式（9.59） 这里给出的定义与在2.7章中对时域连续系统的定义相似。有记忆系统我们首先对有记忆系统一个定义：记忆一个有记忆的系统，它在n0时刻的输出取决于输入的值xn0。否则