平面向量的数量积及其应用教案.doc

1、 教师助手 学生帮手 家长朋友 5.3平面向量的数量积及其应用1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1两个向量的夹角(1)定义已知两个_向量a和b，作a，b，则_称作向量a与向量b的夹角，记作a，b(2)范围向量夹角a，b的范围是_，且_b，a(3)向量垂直如果a，b_，则a与b垂直，记作_2平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义_叫做向量a

2、和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零其中|a|cos (|b|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影(2)向量数量积的运算律ab_(交换律)(ab)c_(分配律)(a)b_a(b)(数乘结合律)3平面向量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|a|若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)|ab的充要条件ab0a1b1a2b20夹角cosa，b(|a|b|0)cosa，b|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b

3、|a1b1a2b2|1已知下列各式：|a|2a2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个2设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b| BabCab Dab与b垂直3已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78) B(28，42)C52 D784若向量a，b满足|a|1，|b|2且a与b的夹角为，则|ab|_.5已知|a|2，|b|4且a(ab)，则a与b的夹角是_一、平面向量数量积的运算【例1】 (1)在等边ABC中，D为AB的中点，AB5，求，|；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求

4、(a2b)(2a3b)和|a2b|.方法提炼平面向量的考查经常有两种：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理；二是考查数量积，此时注意应用平面向量基本定理，选择恰当的基底，以简化运算过程坐标形式时，运算要准确提醒：向量数量积与实数相关概念的区别：1表示方法的区别数量积的记号是ab，不能写成ab，也不能写成ab.2相关概念及运算的区别(1)若a，b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc, 但由abac及a0却不能推出bc.(3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，

5、c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的(4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立请做演练巩固提升2二、两平面向量的夹角与垂直【例2】 已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)若a，b，求ABC的面积方法提炼1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b

6、|或得出它们的关系请做演练巩固提升1三、求平面向量的模【例31】(2012江西高考)设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_.【例32】已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值方法提炼利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|.请做演练巩固提升5四、平面向量的应用【例41】 已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重

7、心、垂心D外心、重心、内心【例42】 已知向量a(cos ，sin )，b(2cos ，2sin )，c(0，d)(d0)，其中O为坐标原点，且0.(1)若a(ba)，求的值；(2)若1，求OAB的面积S.方法提炼向量与其他知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题请做演练巩固提升3忽视对直角位置的讨论致误【典例】已知平面上三点A， B，C，向量(2k,3)，(2,4)(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若

8、ABC为直角三角形，求k的值错解：(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一条直线上，即向量与平行，4(2k)230.k.(2)(2k,3)，(k2，3)(k,1)ABC为直角三角形，0.2k40，解得k2.错因：因和已知，则可得(含k的式子)，若三点不能构成三角形，则有三点共线；若ABC为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条件的k的值正解：(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一条直线上，即向量与平行，4(2k)230，解得k.(2)(2k,3)，(k2，3)，(k,1)AB

9、C为直角三角形，则当BAC是直角时，即0，2k40，解得k2；当ABC是直角时，B，即0，k22k30，解得k3或k1；当ACB是直角时，即0，162k0，解得k8.综上得k的取值为2，1,3,8.答题指导：1用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点本题难度不大，属中档题2本题的错误非常典型造成错误的主要原因就是思维定势所致第(1)问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去第(2)问，由于思维定势，误认为A一定为直角，从而使解答不完整3考生书写格式不规范，不完整，也是失分的一个重要因素1(2012福建高考)已知向量

10、a (x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx02(2012天津高考)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若2，则()A. B. C. D23(2012湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，1，则BC等于()A. B. C2 D.4在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_5给出以下四个命题：对任意两个向量a，b都有|ab|a|b|；若a，b是两个不共线的向量，且1ab，a2b(1，2R)，则A，B，C共线121；若向量a(cos ，sin )，b(cos ，s

11、in )，则ab与ab的夹角为90；若向量a，b满足|a|3，|b|4，|ab|，则a，b的夹角为60.以上命题中，错误命题的序号是_6已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)非零AOB(2)0，a，b (3)ab2(1)|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b (2)baacbc(ab)基础自测1B解析：错，向量不能约分；中(ab)2|a|2|b|2cos2不一定与a2b2相等，错2D3A解析：a(bc)(1，3)(4263)(26，78)4解析：

12、|ab|2(ab)2a22abb212212cos227.|ab|.5解析：a(ab)，a(ab)0，即a2ab0，ab4，cos (是a与b的夹角)，.考点探究突破【例1】 解：(1)如图，向量，的夹角为120，|cos 12055.()，|2()2(|22|2)(25255cos 6025)，|.(2)a2b(3，4)2(2,1)(1，6)，2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)，(a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)123018.a2b(3，4)2(2,1)(7， 2)，|a2b|.【例2】 解：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|

13、b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.【例31】 解析：因为mb，所以mb2xy0.又因为m为单位向量，所以x2y21.由解得或所以|x2y|.【例32】 解：(1)abcoscossinsincos 2x.|ab|2|cos x|，x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122，x，cos x1.当cos x时，f(x)取得最小值，当cos x1时，f(x)取得最大值1.【例41】 C解析：如图，0，.依向量加法的平行四边形法则，知|2|，

14、故N为重心，()0.同理0，0，点P为ABC的垂心由|，知O为ABC的外心【例42】 解：(1)由a(ba)a(ba)0aba20，又|a|1，|b|2，a，b|，2cos|1cos|.由0，得.(2)|1，|2，记，1，2，(0，d)，d0，1，2，且1，2.由|cos 11cos 1得.由|cos 2cos 2得，AOB，S211.演练巩固提升1D解析：a(x1,2)，b(2,1)，ab，ab(x1,2)(2,1)2(x1)212x0，即x0.2B解析：设a，b，|a|1，|b|2，且ab0.()()(1)ba(ab)a2(1)b24(1)342，.3A解析：|cos(B)2|(cos B

15、)1，cos B.又cos B，|23.BC|.4北偏西30解析：如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知，|12.5，|25，由于四边形OADB为平行四边形，则|，又ODBD，在RtOBD中，BOD30，航向为北偏西30.5解析：错，|ab|a|b|cos |a|b|.错A，B，C共线，k.121.错，|ab|213，|a|2|b|22ab13，即ab|a|b|cos 6，cos .120.6解：(1)设c(x，y)，由ca和|c|2可得或c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20，253ab20.ab，cos 1，0，. 教师助手 学生帮手 家长朋友