塑性力学二单元.ppt

1、第二单元 复杂应力状态,一、前言,二、应力分析,三、应变张量及其不变量,四、屈服条件、屈服曲面,五、两种常用的屈服条件,七、加载条件,八、塑性本构关系,六、屈服条件的实验验证,5个基本假设,一、前言,材料是均匀的、连续的。,各向均匀的应力状态,即静水应力状态不影响塑性变形而只产生弹性体积的变化。,忽略时间因素对材料变形的影响。（不计蠕变和松弛）,稳定材料。,均匀应力应变实验的结果，可以用于有应力梯度的情况。,二、应力分析,1、应力张量及其不变量,（1）一点应力状态的表示方式,（2）斜截面上的应力与应力张量的关系,（3）主应力及应力张量的不变量,2、偏应力张量及其不变量,（1）偏应力张量,（2）

2、偏应力张量的不变量,（3）引入与J2有关的几个定义,1、应力张量及其不变量,应力状态的概念：受力物体内某点处所取无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表明了该点的应力状态。考虑到剪应力互等,一点的应力状态用六个应力分量来表示。,应力张量的概念：数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力互等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为应力张量。,二、应力分析,（1）一点应力状态的表示方式,一点的应力状态由一个二阶对称的应力张量表示，在直角坐标系

3、中由九个应力分量表示。,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,用矩阵形式写成,工程力学的习惯写法,弹性力学的习惯写法,采用张量下标记号的应力写法,把坐标轴x、y、z分别用x1、x2、x3表示，或简记为xj(j=1,2,3)。,（2）斜截面上的应力与应力张量的关系,在xj坐标系中，考虑一个法线为N 的斜平面。,N是单位向量，其方向余弦为,则这个面上的应力向量 SN 的三个分量与应力张量 之间的关系,说明,i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于 这称为求和约定；,ii）不重复出现的下标 i 叫做自由下标，可取 i=1,2,3,采用张量下标记号,可简写成,（3）主应力及应力张量的不变量,主应力(

4、Principal stress),若某一斜面上，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力；,应力主向,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；,根据主平面的定义，设 SN 与 N 重合。若 SN 的大小为,则它在各坐标轴上的投影为,代入,即,将这个行列式展开得到,由几何关系可知,由于l1、l2、l3不能同时为零。对于包含这三个未知量的线性齐次方程，若有非零解，则此方程组的系数行列式应当等于零。,或,其中,当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 均将改变,但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变。因此,方程 的系数的J1、J2、J3值与坐标轴的取向无关，称为应力张量

5、的三个不变量。,应力张量的不变量,可以证明方程 有三个实根，即三个主应力,当用主应力来表示不变量时,静水“压力”,在静水压力作用下，应力应变间服从弹性规律，且不会屈服、不会产生塑性变形，则应力分量分成两部分。,应力,不产生塑性变形的部分,产生塑性变形的部分,平均正应力,2、偏应力张量及其不变量,（1）偏应力张量,应力张量可作如下分解：,用张量符号表示：,应力球张量,应力偏张量,应力球张量,单位球张量,与单元体的体积变形有关,或,应力偏张量,应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力而没有剪应力的状态。,应力偏张量,说明,材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改

6、变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的，应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。,z,x,y,x,y,z,m,m,m,-m,-m,-m,=,+,（2）偏应力张量的不变量,偏应力张量的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值（称为主偏应力）为：,或,应力偏张量也有三个不变量,其中应力偏张量的第二不变量 今后用得最多。,说明,再介绍它的其他几个表达式：,在后面章节中我们将看到，在屈服条件中起重要作用。至于 可以注意它有这样的特点：不管 的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有。这暗示 在屈服条件中不可能起决定作用。,（3）引入与J2有关的几个定义,等效应力,如果假定 相等的两个应力状态的力学效应相同

7、，那么对一般应力状态可以定义：,在塑性力学中称为应力强度或等效应力，它代表复杂应力状态折合成单向应力状态的当量应力。,注意：这里的“强度”或“等效”都是在 意义下衡量的。,等效应力 随应力状态不同而变化，即,等效应力是衡量材料处于弹性状态或塑性状态的重要依据，它反映了各主应力的综合作用。,简单拉伸时,等效应力 的特点,）与空间坐标轴的选取无关；,）各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时 数值不变，即与应力球张量无关；,）全反号时 的数值不变。,标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应力）状态的距离或差别的大小。,可以看出 代表 空间的中的广义距离,空间,空间指的是

8、以 的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；,等效剪应力 T,在塑性力学中称为剪应力强度或等效剪应力,在纯剪时：,八面体上的剪应力,等斜面：通过某点做平面，该平面的法线与三个应力主轴夹角相等。,设将坐标轴 x、y、z 取与应力主方向一致，则等斜面法线的三个方向余弦为,满足上式的面共有八个，构成一个八面体，如图所示。,应力向量,正应力,剪应力,八面体的剪应力,说明,八面体面上的应力向量可分解为两个分量：,i)垂直于八面体面的分量，即正应力，它与应力球张量有关，或者说与 有关；,ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 与应力偏张量的第二不变量 有关。,八面体剪应力、等效应力和等效剪应力之间的换算关系

9、,说明,这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（在 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的“强度”作出定量的描述和比较。,例:设某点的应力张量为，试求其主应力 及主方向，并写出应力偏量，画出应力状态分析简图。,解：主应力由下式给出,解三次方程得到,因此可求得,将求得的,代入下式,可求得,相应于1的主方向余弦为,同理，可求得相应于2的主方向余弦为,同理，可求得相应于3的主方向余弦为,又对于应力张量ij,应力偏张量,用主应力表示的应力状态分析图如下：,-20,10,40,10,10,10,30,-30,=,+,三、应变张量及其不变量,1、应变张量,2、主应变及应变张量

10、的不变量,3、偏应变张量及其不变量,三、应变张量及其不变量,1、应变张量,设物体内一点(x，y，z)，这一点的三个位移分量是u，v，w 显然它们是x，y，z 的函数。在小变形条件下，应变和位移的关系(几何方程)如下：,其中 与工程剪应变相差一半，即,这样取 的目的是使 构成一个二阶对称张量，即应变张量。,注：以下标之间的逗号表示微商,公式的张量形式：,2、主应变及应变张量的不变量,平均正应变,类似地，应变张量有三个主应变和三个不变量：,3、偏应变张量及其不变量,应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即,应变球张量,它与弹性的体积改变部分有关,应变偏张量,只反映变形中形状改变的那部分,偏应

11、变张量,偏应变张量的不变量,其中 和 分别是主应变和偏应变张量的主值。,4、引入与I2有关的几个定义,等效应变,在简单拉伸时，如果材料不可压缩，则,等效剪应变,在纯剪时,四、屈服条件、屈服曲面,1、屈服条件,2、应力空间和主应力空间,3、屈服曲面、屈服曲线,4、平面上的几何关系,四、屈服条件、屈服曲面,简单应力状态下的屈服极限：,复杂应力状态下，设作用于物体上的外载荷逐步增加，在其变形的初始阶段，每个微元处于弹性阶段。,材料初始弹性状态的界限称为初始屈服条件，简称为屈服条件。,一般地：,受六个应力分量、应变分量、应变速率、时间、温度等因素的综合影响。,1、屈服条件,当不考虑时间效应且接近常温时

12、，在初始屈服前材料处于弹性状态，应力和应变间有一一对应的关系。,几何意义,屈服条件 在以应力分量为坐标的应力空间中为一曲面。称为屈服曲面。屈服曲面是区分弹性和塑性的分界面。,当应力点 位于曲面之内，即 时，材料处于弹性阶段。,当应力点 位于曲面之上，即 时，材料开始屈服，进入塑性状态。,静水应力不影响材料的塑性性质。这时，屈服条件只与应力偏量有关：,两点假设,材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。可表示为三个主应力的函数：,也可由应力偏张量的不变量表示：,或用应力不变量来表示：,2、应力空间和主应力空间,应力空间,一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力

13、空间。,考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。,一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。,主应力空间,它是以 为坐标轴的假想的三维空间，这个空间中的一个点，就确定了用主应力 所表示的一个应力状态。,主应力空间的性质,L直线：主应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线。,其方程为 显然，L直线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。,平面：主应力空间中过原点而与L直线垂直的平面。,其方程为 由于 平面上任一点的平均正应力为零，所以 平面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形的应力状态。,主应力空间中任意

14、一点P所确定的向量 总可以分解为：,O,所以向量 是在 平面上,这样任意应力状态就被分解为两部分，分别与应力球张量和应力偏张量部分对应。,应力球张量,应力偏张量,O,O,3、屈服曲面、屈服曲线,对应于应力状态的球张量部分，即静水压力部分；由于静水应力不影响屈服，即屈服与否与 无关。,因此当 P 点达到屈服时，线上的任一点也都达到屈服。,屈服曲面是一个等截面柱面，其母线平行于L直线。并且此柱面垂直于 平面。,屈服曲线：屈服曲面与平面相交所得的一条封闭曲线，或称屈服轨迹。,屈服曲线,屈服曲面,由于材料是初始各向同性的，屈服条件不因坐标变换而变化，因此屈服曲线关于 三轴对称。,屈服曲线的方程,屈服曲

15、线的主要性质:,对于大多数金属材料，初始拉伸和压缩的屈服极限相等，因此屈服曲线关于 三轴的垂线也对称。,分别在主应力空间的三根坐标轴上截取长度为1的线段。由于等斜面 与平面平行，所以角为平面与主应力空间的夹角，也即 的夹角。,4、平面上的几何关系,其中：,1,1,1,把S投影到平面上，可得到其（x,y）坐标为：,在平面上取x、y轴，如图。,则屈服曲线上任一点S 在平面上的坐标为：,当采用极坐标表示时：,三种特殊情况,单向拉伸,纯剪切,单向压缩,就是Lode应力参数,平面的定义。,问题,什么叫屈服条件？,屈服条件 在什么假定下变为。,为什么 平面上的屈服曲线有六条对称轴。,的几何意义是什么？,应

16、力张量状态的三个不变量的表达方式？偏应力张量状态的三个不变量的表达方式？,偏应变张量状态的三个不变量的表达方式？,五、两种常用的屈服条件,1、Tresca屈服条件(1864年),2、Mises 屈服条件,3、平面上Mises圆同Tresca六边形的几何关系,五、两种常用的屈服条件,1、Tresca屈服条件(1864年),基于实验观测，Tresca假设材料在某处出现屈服是由于该点的最大剪应力达到某一极限值k。,当已知 Tresca屈服条件可以表示为,也就是材料力学的第三强度理论,由对称性拓展后，得到平面上的一个正六边形。,如不规定,在主应力空间中，它们构成一母线平行于L直线的正六边形柱面,对于平

17、面应力状态，当 时，,变为,即在 平面上，其屈服轨迹呈斜六边形，这相当于正六边形柱面被 的平面斜截所得的曲线。,式,常数 k1 一般由实验确定：,在单向拉伸时：,在纯剪切时：,比较这二者可知，采用Treca条件就意味着,Treca屈服条件的适用范围,1、在主应力方向和大小顺序都已知时，Tresca屈服条件求解问题是比较方便的，因为在一定范围内，应力分量之间满足线性关系。,2、在主应力方向已知，但其大小顺序未知时，不失一般性，屈服条件可写为：,然后可用应力偏张量的不变量的形式写成,3、主应力方向未知，很难用表达式描述。,Treca屈服条件一般仅适用于主应力方向已知的情况。,Tresca条件的局限

18、：,主应力未知时表达式过于复杂；,未考虑中间主应力的影响。,1913年Mises 指出:Tresca条件在平面上的截迹是一个正六边形,因此不能用一个简单的方程来表示;此外,六角形的六个顶点是由实验得到的,但是连接这六个点的直线却包含了假定(认为中间主应力不影响屈服),这种假定是否合适,需经实验证明。,Mises认为：用一个圆来连接这六个点似乎更合理，并且可以避免因曲线不光滑而引起的数学上的困难。Mises条件在应力空间中的轨迹是外接于Tresca六角柱体的圆柱体。,Mises屈服条件假定屈服曲线的一般 表达式具有如下的最简单形式：,2、Mises 屈服条件,由屈服曲线上的点在平面上投影可知,因

19、此，在平面Mises屈服条件可用一个圆来表示。,确定常数 K2 以后，Mises屈服条件可写成以下常用的形式：,或,在主应力空间中是一个母线平行于L直线的圆柱面。,常数 K2 一般由实验确定：,在单向拉伸时：,在纯剪切时：,比较这二者可知，采用Mises条件应有：,在 平面上，这是一个椭圆。为主应力空间中的Mises圆柱面被平面 斜截所得。,对于平面应力状态，当 时，有：,由于上式中右端常数由单向拉伸实验确定，所以图中Mises椭圆外接于Tresca斜六边形。,3、平面上Mises圆同Tresca六边形的几何关系,如果假定在简单拉伸时两种屈服条件相重合，则Tresca六边形将内接于Mises圆

20、。,内接Tresca六边形,Mises圆,Mises:Tresca:,纯剪切时，Tresca六边形同Mises圆之间的相对偏差最大，为,单向拉伸,外接Tresca六边形,Mises圆,如果假定在纯剪切时两种屈服条件相重合，则Tresca六边形将外切于Mises圆。,Mises:Tresca:,纯剪切,单向拉伸时，Tresca六边形同Mises圆之间的相对偏差最大，为,试判断下图中的主应力状态是弹性状态还是塑性状态。,解：利用Mises屈服准则判别：,（图1）,（图2）,（图3）,对图1，用 代入得,满足Mises屈服条件，所以处于塑性状态。,对图3用,（图2）,（图3）,解：利用Mises屈服

21、准则判别：,对图2用 代入,满足Mises屈服条件，所以处于塑性状态。,解：利用Mises屈服准则判别：,不满足Mises屈服条件，所以处于弹性状态。,代入,设某点的应力张量为,材料的s=25Mpa,求出其主应力及最大切应力；根据Tresca屈服条件和Mises屈服条件判断材料处于弹性状态还是塑性状态；画出两种屈服条件在主应力空间的屈服曲面和平面上的屈服曲线；画出平面应力状态下的Tresca屈服准则及Mises屈服准则图形，并进行比较。,应用：根据两种屈服准则，由任意应力状态确定材料处于弹性状态还是塑性状态。,主应力的大小为：1 2 3=47.8482 34.0881 20.0637最大切应力

22、为：12 23 31=7.0122-13.8922 6.8801,根据Tresca屈服条件和Mises屈服条件判断材料状态结果为：经Tresca屈服条件判断,材料处于塑性阶段经Mises屈服条件判断,材料处于弹性阶段,画出两种屈服条件在主应力空间的屈服曲面和平面上的屈服曲线；其中，图中*表示任意点的应力状态，*若在屈服曲线内则表示材料处于弹性阶段，*若在屈服曲线外则表示材料处于塑性阶段。,画出平面应力状态下的Tresca屈服准则及Mises屈服准则图形，并进行比较（如图所示）。,解 由于壳体几何形状和受力都是对称于球心,是球对称问题。这样壳体内剪应力分量必为零，否则就不是球对称了。各点只有正应

23、力分量，并且有,q,o,x,y,z,主应力排序为,例：一内半径为a，外半径为b 的球形壳，在其内表面上作用均匀的压力q。试写出其屈服条件。,代入Tresca屈服条件,发现它们有一样的屈服条件。,代入Mises屈服条件,问题,两种屈服条件的物理解释。,两种屈服条件分别在 平面，主应力空间和对应于 的平面应力状态的图形（画出）。,两种屈服条件的函数表示形式（写出具体的表达式）,六、屈服条件的实验验证,试验二、薄圆管受拉力T和扭矩M的作用。,试验一、薄圆管受拉力T和内压 p 的作用。,Tresca屈服条件与Mises屈服条件的适用范围：,六、屈服条件的实验验证,试验一、薄圆管受拉力T和内压 p 的作

24、用。,T,T,p,设圆管的平均半径为R，壁厚为h，h R，在拉力T和内压 p 的作用下，圆管近似地处于均匀应力状态。在柱坐标中其应力分量为,由此求得Lode应力参数为,单向拉伸,纯剪切,此时：,如果,则可取,减去静水应力 后：,在 的范围内改变拉力T和内压p的比值时，就可以得到 范围内的任意应力状态。,Lode（1925）拉伸内压试验：,代入Mises屈服条件,得到：,为了使两种屈服条件便了比较，可以将它们改写成统一的形式。在主应力大小次序 已知时，屈雷斯加屈服条件可写成：,在单向拉伸时：,铁,-1,1,1.1,0,1.2,1,Mises屈服条件,对于Tresca屈服条件,Tresca屈服条件

25、,铜,镍,Lode用铁、铜、镍等金属薄管做出的实验结果，同Mises屈服条件曲线比较接近。可见，Mises屈服条件更适合于金属材料。,对于Mises屈服条件,试验二、薄圆管受拉力T和扭矩M的作用。,T,T,M,M,相应的主应力,因而Lode应力参数是,单向拉伸,纯剪切,只要P0，改变T与M的比值，便可得到 的任意应力状态。,TaylorQuinney(1931)试验：,对于Tresca屈服条件,改写成：,对于Mises屈服条件,改写成：,软钢,1,0,Mises屈服条件,Tresca屈服条件,铜,铝,0.2,0.4,0.6,0.2,0.4,0.6,0.8,在图上都是椭圆，但长短轴的比值不同。T

26、aylor和Quinney用钢、铜、铝薄管进行了试验，结果也同Mises屈服条件比较接近。,Tresca屈服条件与Mises屈服条件的适用范围：,1、实验表明，多数金属材料的屈服性态接近Mises屈服条件。,从物理意义上，这两种屈服条件都表明，材料的屈服与剪应力有密切关系；Tresca屈服条件表明材料的屈服与最大剪应力有关，但它没有考虑中间主应力对材料屈服的影响，然而实验表明这种影响确实是存在的。Mises屈服条件表明材料的屈服与均方根剪应力有关，从而考虑到中间主应力对材料屈服的影响。在这一点上，应该说Mises屈服条件更为合理些。,2、在应用上 主应力方向已知时用Tresca条件较方便。主应

27、力方向未知时用Mises条件较方便。,而无论何种情形，二者的相对偏差不会超过15.5%。,外接Tresca六边形,Mises圆,纯剪切,内接Tresca六边形,Mises圆,单向拉伸,Tresca屈服条件在偏量平面上的轨迹是正六边形，Mises屈服条件的轨迹是正六边形的外接圆。在六个顶点处两个轨迹重合，这意味着在广义单向应状态情况下，两种屈服条件是一致的。,内接Tresca六边形,Mises圆,单向拉伸,除六个顶点外，两种屈服条件都不一致，外接圆在正六边形之外，表明按Mises屈服条件，需要更大的应力才能使材料屈服。由此可见，两者差别最大的有六个点，这六个点对应的是广义纯剪切应力状态。,Tre

28、sca屈服条件可表示成主应力的线性函数，在主应力大小次序已经确定的情况下使用是很方便的，因为它的数学表达式简单。所以，究竟采用那一种屈服条件，要视具体情况而定。此外，按照Tresca屈服条件，要求材料的拉伸和剪切屈服极限之间存在关系s=2s；而按照Mises屈服条件要求材料的s=s。因此，由材料的s和s值；也可判断采用哪种屈服条件更为合适。,在材料力学中，Tresca屈服条件和密席斯屈服条件作为强度理论使用时，分别称为第三和第四强度理论。,3、在实际问题中，并不限制使用何种屈服条件，二者都可用。,问题,为什么实验用薄壁结构，能否改用厚壁。,两种实验结果结论。,判断某物体材料适用Tresca屈服

29、条件还是Mises屈服条件，最简单的办法是什么？,七、加载条件,1、等向强化（各向同性强化）模型,2、随动强化模型,3、组合强化模型,七、加载条件,理想塑性材料:,（初始）屈服曲面是固定不变的，是材料未经受任何塑性变形时的弹性响应的界限。应力状态不能落在屈服曲面之外。理想塑性材料由于屈服极限不能再增加，因而屈服面也不能继续扩展。,强化材料：,对于强化材料，由于应力达到屈服极限后仍能继续增长，因此屈服面仍能继续变化，其屈服面称为后继屈服曲面，或加载曲面。,以参数 来刻划材料的塑性加载历史，则后继屈服条件可表示为：,后继屈服条件与材料塑性变形的历史有关。,实际材料的加载曲面的演化规律非常复杂，在应

30、用中使用简化模型。,1、等向强化（各向同性强化）模型,认为后继屈服曲面（加载曲面）就是屈服曲面在应力空间的相似扩大。,等向强化模型的表达式可写成：,其中f 是初始屈服函数，是 的单调递增函数。在加载过程中 逐渐加大。从几何上看，后继屈服曲面（加载面）与初始屈服曲面形状相似，中心位置也不变。,后继屈服曲面对加载历史的依赖性只表现在：后继屈服曲面仅由加载路径中所曾达到的最大应力点所决定。如右图所示Mises初始屈服面及其后继屈服面。,2、随动强化模型,等向强化模型未考虑包氏效应，在分析应力作反复变化的问题时，往往误差较大。,随动强化模型认为：,后继屈服曲面就是初始屈服曲面随着塑性变形的过程而在应力

31、空间作刚性移动，而其大小和形状都没有改变。,初始屈服面,随动强化,随动强化模型的表达式可写成：,3、组合强化模型,将等向强化模型同随动强化模型结合起来，就构成更一般的组合强化模型。,组合强化模型的表达式可写成：,具体到平面上考察Mises屈服圆，那么在加载过程中后继屈服曲线始终是一个圆，但其半径和圆心位置都不断发生变化。,组合强化,初始屈服面,随动强化,组合强化,初始屈服面,随动强化,问题,何为加载条件？什么叫后继屈服面？,两种模型在Mises屈服条件下对应于平面上的图形表示。,八、塑性本构关系,1、广义Hooke定律、弹性应变能,2、Drucker公设,3、加载、卸载准则,4、理想塑性材料的

32、增量本构关系,5、简单加载时的全量理论,八、塑性本构关系,1、广义Hooke定律、弹性应变能,直角坐标系下表示：,其中,张量写法：,其中,为平均正应力。,将三个正应变相加，得：,记：平均正应变,体积弹性模量,则平均正应力与平均正应变的关系：,可用应力偏量 表示应变偏量,由等效应力和等效应变的关系：,或,可得：,当应力从加载面（后继屈服面）卸载时：,应力和应变的全量不满足广义Hooke定律，但它们的增量仍满足广义Hooke定律。,Mises屈服条件的物理解释中将弹性应变能分解为体积应变能和形状改变比能。这里，由弹性本构关系将三者表示为：,弹性应变能,2、Drucker公设,两类力学量,外变量：能

33、直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。,内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功。内变量只能根据一定的假设计算出来。,关于塑性应变和塑性功的假设：,材料的塑性行为与时间，温度无关。,应变可分解为弹性应变和塑性应变。,材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变。,根据以上假设，内变量 可以由外变量 表示出来。,对于各向同性材料：,将总功分解为弹性功和塑性功。,这样，内变量 也可以由外变量 表示出来。,对于各向同性材料：,Drucker公设,对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。,应力循环,1(4）,2,3,单元体在应力状态 下处于平衡。,在单元体上施加一附加力，使应力达到，刚好在加载面上，即开始发生塑性变形。,继续加载至，在这期间，将产生塑性应变