第四章-根轨迹法.ppt

1、第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹4-2 绘制系统根轨迹的基本法则4-3 广义根轨迹 小结,4-1 根轨迹,4.1.1 根轨迹的基本概念 反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就更困难了。,1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一种确定系统闭环特征根的图解法根轨迹法。在已知开环传函，即已知开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法就可以非常方便的确定闭环极点。定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹

2、。一般取开环传递系数（根轨迹增益Kg）作为可变参数。,式中，K为系统的开环比例系数。Kg=2K 称为系统的开环根轨迹增益。系统的闭环传递函数为：,举例说明：已知系统的结构图，分析0 K，闭环特征根在s平面上的移动路径及其特征。,解：系统的开环传递函数为,一定要写成零极点表达式,系统的闭环特征方程为：s2+2s+Kg=0 可求得闭环特征根为：,(1)Kg=0：s1=0,s2=2,是根迹的起点(开环极点),用“”表示。,2,1,(2)0 Kg 1：s1，s2 均是负实数。Kg s1，s2。s1从坐标原点开始沿负实轴向左移动；s2从（2，j0）点开始沿负实轴向右移动。,(3)Kg=1：s1=s2=1

3、，重根。,闭环特征根s1，s2是Kg的函数，随着Kg的改变而变化。,(4)Kg 1：,Kg=0s1,Kg=0s2,Kg=1,Kg,Kg,根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得n阶系统，会有如下的结论：（1）n阶系统有n个根，根轨迹有n条分支；（2）每条分支的起点(Kg=0)位于开环极点处；（3）各分支的终点(Kg)或为开环零点处或为无限点；（4）重根点，称为分离点或汇合点。,4.1.2 根轨迹与系统性能1.稳定性 当Kg从0 时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统对所有的Kg值都是稳定的。,高阶系统的根轨迹有可能会进入s 右半平面，如图所示。此时根迹与虚轴交点处的Kg 值，称为临

4、界开环增益。下图中临界Kg=30，只有当 0 Kg 30时系统才是稳定的。,Kg=30,2.稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于I 型系统，因而根迹上的K 值就是静态速度误差系数Kv。如果给定系统ess 的要求，则由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。,3.动态性能 由图可见，当0 Kg 1时，闭环极点均位于负实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。,当 Kg=1时，闭环两个实极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。当Kg 1时，闭环极点为一对共轭复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。Kg p%，但是 ts不变。Why？因此，根轨迹和

5、系统性能之间有密切的关系，根据根轨迹可以对系统性能进行分析。然而，对于高阶系统来说采用解析的办法绘制根轨迹图是不现实的，必须采用简易的方法。,4.1.3 根轨迹方程 研究下图所示反馈控制系统的一般结构。,系统的闭环传递函数为,该系统的闭环特征方程为:D(s)=1 G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=1,若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：,一定要写成零极点表达式,式中Kg为系统的根迹增益，zi 为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。闭环特征方程又可写为：,“-”号，对应负反馈，“+”号对应正反馈。由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如Kg在某

6、一范围内连续变化时，由上式制约的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程。,根轨迹的幅值方程：,根轨迹的幅角方程：,式中，k=0，1，2，（全部整数）。（1）通常称为180 根轨迹(负反馈)；（2）称作 0 根轨迹(正反馈和非最小相位系统广义根轨迹)。根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的Kg值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。,“-”号，对应负反馈“+”号对应正反馈,对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最

7、小相位系统.如果开环传递函中有正实部的零点或极点,或有延迟环节,则称系统是非最小相位系统,按幅角条件和幅值条件绘制系统的闭环根轨迹图及求Kg的方法。已知负反馈系统开环零极点分布如图示。,p2,p3,p1,z1,s1,1,1,2,3,在s平面找一点s1，画出各开环零、极点到s1点的向量。,检验s1是否满足幅角条件：(s1 z1)(s1 p1)+(s1 p2)+(s1 p3)=1 1 2 3=(2k+1)？如果s1点满足幅角条件，则是根轨迹上的一点。寻找,在s 平面内满足幅角条件的所有s1 点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹。反过来，如果s1是根轨迹上的点，则与这一点对应的Kg按幅值条件

8、确定。,例2：单位反馈系统的 用根轨迹法在s平面上找到闭环极点。,解:p1=0，p2=-1，没有零点，用试探法：,1）在0，1间任取一点s1，,s1在根轨迹上。,2）在-1，-间任取一点s2，,s2不在根轨迹上。,3）在0，间任取一点s3，,s3 不在根轨迹上。,4）在复平面上取一点s4=-0.5+j，,s4 在根轨迹上。,5）取一点,s5不在根轨迹上。,在1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了用图解法绘制根迹的一些基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条件使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。,4.2 绘制根轨迹的基本法则,180根

9、轨迹的幅值方程：,根轨迹的幅角方程：,在本节的讨论中，假定系统变化的参数是开环根轨迹增益Kg(0)，这种180根轨迹习惯上称之为常规根轨迹。Kg0(正反馈和非最小相位系统)和其它参数变化时的根轨迹（广义根轨迹）在后几节讨论。4.2.1 绘制常规根轨迹的基本法则,对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最小相位系统.如果开环传递函中有正实部的零点或极点,或有延迟环节,则称系统是非最小相位系统,【法则1】根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于系统开环极点，终止于系统开环零点。根轨迹上Kg=0的点为起点，Kg时的点为终点。,1+G(s)H(s)=0,证明：,当 Kg=0 时

10、，有 s=pj(j=1,2,n)上式说明Kg=0时，闭环特征方程的根就是开环极点。,当 Kg 时，有 s=zi(i=1,2,m)所以根轨迹必终止于开环零点。在实际系统中，开环传函中 m n，有m 条根轨迹终点为开环零点处，另有nm条根轨迹的终点将在无穷远处，可以认为有nm 个无穷远处的开环零点。,将特征方程改写为：,由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。,n 阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg 从0连续变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的

11、阶数。,【法则2】根轨迹的分支数、对称性和连续性,由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。,n 阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg 从0连续变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。,【法则2】根轨迹的分支数、对称性和连续性,由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可画出整个根轨迹。,【法则3】根轨迹的渐近线 根据法则1，当开环传递函数中m n 时，将有n m 条根轨迹分支

12、沿着与实轴夹角为a，交点为a 的一组渐近线趋于无穷远处，且有：,(k=0,1,n m 1),【法则4】根轨迹在实轴上的分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。“奇是偶不是”证明：设零、极点分布如图示：,p2,p3,p1,z1,s1,1,1=0,2,3,在实轴上取一测试点s1。,由图可见，复数共轭极点到实轴s1 点的向量幅角和为2，复数共轭零点亦是如此。因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、极点的影响。,s1 点左边开环实数零、极点到s1 点的向量幅角均为零，也不影响实轴上根轨迹的幅角条件。而s1 点右边开环实数零、极点到s1 点的向量幅角为。

13、如果s1 是根轨迹上的点，则只有当零极点数目之和为奇数时，才满足幅角条件：j i=(2k+1)即如果s1 所在的区域为根轨迹，其右边开环实数零、极点个数之和必须为奇数。,例4-1 设某负反馈系统的开环传递函数为,试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布。解：开环极点 p1=0、p2=1、p3=5。系统的根轨迹有三条分支，分别起始于系统的三个有限的开环极点，由于不存在有限的开环零点，当Kg 时，沿着三条渐近线趋向无穷远处；三条渐近线在实轴上的交点,j,实轴上的根轨迹分布在(0，1)和(5，)的实轴段上。,60,三条渐近线与正实轴上间的夹角：,-2,【法则5】根轨迹分离点（会

14、合点）两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点，称为根轨迹的分离点(会合点)。,分离点的性质：1）分离点是系统闭环重根；2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上；3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；,4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。,证明：根轨迹在s 平面上相遇，说明闭环特征方程有重根出现，设s=d 处为分离点。,确定分离点位置的方法（需验证）：,式中，z i、p j 是系统的有限开环零点和开环极点。,分离点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为

15、根轨迹的分离角，用下式计算：k为分离点处根轨迹的分支数。,公式法,设分离点的坐标为 d，则d 满足如下公式：,牢记！,证毕,例4-2 求例4-1系统根轨迹的分离点。解：根据例4-1，系统实轴上的根轨迹段（1，0），位于两个开环极点之间，该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设分离点的坐标为d，则 注：若没有开环零点，应取：,3d 2+12d+5=0 d1=0.472 d2=3.53(不在根轨迹上，舍去，也可代入幅值方程看Kg0否？)分离点上根轨迹的分离角为90。,如果方程的阶次高时，可用试探法确定分离点。,d1=0.472,例4-3 已知系统开环传函为,试绘制系统的根轨迹。解：,d=2.5 左=0

16、.67 右=0.4d=2.01 左=0.99 右=99.49d=2.25 左=0.8 右=3.11d=2.47 左=0.68 右=0.65,d=2.47,1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一种确定系统闭环特征根的图解法根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础上(开环传函)，当某些参数变化时，利用根轨迹法求闭环系统的特征根。定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传递系数（根轨迹增益Kg）作为可变参数。,一般把哪个参数作为可变参数？参数怎么变化？,180根轨迹的幅值方程：,根轨迹的幅角方程：,根轨迹方程：,S代表什么？,

17、用试探法画根轨迹图,绘制根轨迹的法则,法则 4 渐近线,法则 1 根轨迹的起点和终点,法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性,法则 3 实轴上的根轨迹,法则 5 分离点,【法则6】根轨迹的起始角(出射角)与终止角(入射角)根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角，称为出射角(起始角)，用,根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角，称为入射角(终止角)，用,表示；,求出这些角度可按如下关系,表示。,“加零去余极”,“加极去余零”,px,Px+1,s1,由于s1无限接近 px，因此，除px 外，所有其它开环零、极点到s1点的向量幅角，都可以用它们到px 的向量幅角来代替，而px到

18、s1点的向量幅角即为起始角。根据s1点必满足幅角条件，应有,移项后，立即得到法则中的公式。证毕,证明：设开环系统有一对共轭复数极点px,x+1。在十分靠近待求起始角的复数极点px 的根轨迹上取一点s1。,试绘制出系统的根轨迹。解：,例4-4 设负反馈系统的开环传递函数为,起始角与终止角,1,2,3,1,3,2,=180+1+2+3 1 2 3=180+56.5+19+59 108.5 37 90=79,=180 117 90+153+63.5+119+121=149.5,【法则7】根轨迹与虚轴交点 若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则交点上的坐标（包括闭环极点和临界增益）可按下述两种方法求出

19、：方法一：在系统的闭环特征方程D(s)=0中，令s=j，D(j)=0的解即是交点坐标。方法二：由劳斯稳定判据求出。例4-5 求例4-1系统的根轨迹与s平面虚轴的交点的交点坐标。解：,方法一：s3+6s 2+5s+Kg=0令s=j，则(j)3+6(j)2+5(j)+Kg=0,3+5=0 62+Kg=0,Kg=0(起点，舍去)，Kg=30,方法二：s3+6s 2+5s+Kg=0劳斯表为,s3 1 5s2 6 Kgs1(30 Kg)/6s0 Kg,当Kg=30时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出：6s 2+Kg=0,(j)3+6(j)2+5(j)+K

20、g=0,d=0.472,j,d=0.472,Kg=30,Kg,Kg,Kg,j2.24 Kg=30,试绘制出系统的根轨迹。解：三个开环极点 p1=0、p2,3=1 j 渐近线：3条,例4-6 设负反馈系统的开环传递函数为,根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征方程为 s3+2s2+2s+Kg=0 劳斯表,s3 1 2s2 2 Kgs1(4 Kg)/2s0 Kg,令s1系数为0，得 Kg=4代入辅助方程 2s2+Kg=0,实轴上根轨迹：(，0)，即整个负实轴。,起始角：,绘制出系统根轨迹如图所示。,Kg,Kg,Kg,j1.414 Kg=4,-45,法则8 根之和 绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析

21、时，可利用该法则。若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上，即n m 2，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和=常数。证明：,式中(韦达定理),根据高阶方程系数与根的关系式，若n m 2，则,利用上述基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，对需要准确绘制的根轨迹，可根据幅角方程条件使其精确化，一般而言，靠近虚轴或原点附近的根轨迹对分析系统的性能至关重要，应尽可能的准确绘制。总结见P145表4-1,证毕,-a1称为系统闭环极点或开环极点的重心。表明当Kg变化时，一些根增大时，另一些必然减小；即一些根轨迹右行，一些必然左行，重心保持不变。因此：1）根的分量之和是一个与Kg 无关的常数；

22、2）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。,绘制根轨迹法则小结,法则 5 渐近线,法则 1 根轨迹的起点和终点,法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性,法则 3 实轴上的根轨迹,法则 4 根之和,法则 6 分离点,法则 7 与虚轴交点,法则 8 出射角/入射角,试绘制出系统的根轨迹。解：,例4-7 设负反馈系统的开环传递函数为,一定要写成零极点表达式,d=0.59(舍去)d=3.41,结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从0 时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。,d,要求：1）试绘制系

23、统的根轨迹，并讨论系统的稳定性。2）如果改变反馈通路传递函数，使H(s)=1+2s，讨论H(s)的变化对系统稳定性的影响。解：1）,例4-8 设单位负反馈系统的开环传递函数为,渐近线：a=(0+0 2 5)/4=7/4 a=(2k+1)/4=45,135,与虚轴交点：s4+7s3+10s2+K=0 特征方程式中s1缺项，系统不稳定。可求得：与虚轴的交点：Kg=0,s=0，即坐标原点。,分离点：,4d2+21d+20=0d=4 d=1.25(舍去),实轴上的根迹：5 2,渐近线：3条 a=(0+0 2 5)(0.5)/3=2.17 a=(2k+1)/3=60,180,2),实轴上的根迹：-2,0

24、.5-,-5,j2.55 K=22.75,可由劳斯判据求得：与虚轴的交点：K=22.75,s=j2.55。,s4 1 10 Ks3 7 2Ks2(70 2K)/7 Ks1 K(914K)/(702K)s0 K,要使系统稳定：70 2K 0 914K 0 K 0,求得：0 K 22.75,当 K=22.75时，系统临界稳定。(70 2K)/7s2+K=0 s=j2.55,与虚轴交点：s4+7s3+10s2+2Ks+K=0 劳斯表,当H(s)=1+2s时（微分负反馈），使系统由结构不稳定变为条件稳定的系统，改善了系统的稳定性。,试绘制出系统的根轨迹。解：,例4-9 设负反馈系统的开环传递函数为,渐

25、近线：a=2 a=45,135,分离点：d=2 d=2 j2.45,与虚轴交点：Kg=260 s=j3.16,4.3.1 0根轨迹,若系统为正反馈，则其特征方程式为 D(s)=1 G(s)H(s)=0或,此时的根轨迹称为0根轨迹。,4.3 广义根轨迹,根轨迹的幅角方程：,根轨迹的幅值方程：,显然0根轨迹的幅值方程与180根轨迹的完全相同，只是幅角相差一个，因此只要把180根轨迹法则中，与幅角相关的项进行修正，即可获得绘制0根轨迹的基本法则。,【法则1】根轨迹的起点(Kg=0)和终点(Kg)：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。【法则2】根轨迹的分支数、连续性和对称性：系统根轨迹的分支数为n，

26、根轨迹是连续的并且对称于实轴。,绘制0根轨迹的基本法则如下：,【法则3】根轨迹的渐近线 当开环传函中m n 时，有n m 条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a，交点为a 的一组渐近线趋于无穷远处，且有：,(k=0,1,n m 1),【法则4】实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。“偶是奇不是”,【法则5】根轨迹分离点或会合点同180根轨迹,【法则6】根轨迹的出射角与入射角,“0加零去余极”,“0加极去余零”,【法则7】根轨迹与虚轴交点的确定方法同180根轨但要注意：D(s)=1-G(s)H(s)=0 若根轨迹与虚轴相交，则交点上的坐标可按下述两

27、种方法求出：方法一：在系统的闭环特征方程D(s)=0中，令s=j，D(j)=0的解即是交点坐标。方法二：由劳斯稳定判据求出。,【法则8】根之和 若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上，即n m 2，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和。1）根的分量之和是一个与Kg 无关的常数；2）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。,例4-10 设单位正反馈系统的开环传递函数，绘制根轨迹。,解：最小相位系统，正反馈，按0根轨迹的法则绘制。有2个开环极点：-2，-4；1个开环零点：-1。m=1,n=2,根据法则1：根轨迹有2条分支，起始于2个极点，1条终止于开环零点，1条终止于无穷远处。根据法则2：根

28、轨迹是关于实轴对称的连续曲线。根据法则3，根轨迹有1条渐近线。,根据法则4和5，实轴上的根轨迹为,存在2个分离点，由下式求得,分离角90,根据法则7，求根轨迹与虚轴的交点,根据上述结论，可绘制出根轨迹如图所示，箭头为kg增大的方向。,结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从0 时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。,当Kg 6时，正反馈闭环系统是稳定的。如果此系统为负反馈系统，则系统总是稳定的。,4.3.2 参变量系统的根轨迹 设系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=GH(s,A)式中A

29、为系统Kg以外的参变量。则系统的闭环特征方程为D(s)=1+G(s)H(s)=1+GH(s,A)=0进行有效变换，可整理为,式中，GH(s)为等效系统的开环传递函数。根轨迹化为常规根轨迹。,例4-11 已知某负反馈系统的开环传递函数为,试绘制参数a从零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。解:系统的闭环特征方程为s3+s2+0.25s+0.25a=0,于是，等效系统开环传递函数为,把a视为根迹增益，可绘制出a 变化时系统的常规根轨迹。,渐近线：a=1/3a=/3，5/3，。,根轨迹与虚轴的交点:a=1 s=j/2,a,j0.5 a=1,分离点：d1=1/6,d2=1/2。,a,试确定系统根轨迹的类

30、型。,解：系统(1)和系统(2)都在s平面右半部具有一个开环零点z=1。所以，系统均属非最小相位系统。,4.3.3 非最小相位系统的根轨迹 在s平面右半部具有开环零点和（或）极点的反馈系统称为非最小相位系统。绘制方法同最小相位系统，但必须将开环传递函数整理成标准形式，然后根据根轨迹方程才能确定按180根轨迹还是0根轨迹的法则绘制。,例4-12 设负反馈系统的开环传递函数为,其根轨迹方程为,可按180根轨迹的基本法则绘制系统的根轨迹。对系统(2)，其闭环特征方程为,此时按0根轨迹的基本法则绘制系统的根轨迹。,对系统(1)，其闭环特征方程为,4.3.4.开环零、极点的分布对系统性能的影响,试绘制如

31、下几种情况下Kg从零连续变化到无穷大时系统的根轨迹：,（1）b,a为有限量；（2）ba；（3）b=a（4）ba;（5）b=0，a为有限量。,1.开环零点对根轨迹的影响 例4-13 设单位负反馈系统的开环传递函数为,解：（1）b,a为有限量时，系统的等效开环传递函数为,起始于坐标原点的两条根轨迹始终位于右半s平面，系统结构不稳定。,相当于没有零点！,（2）ba时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于右半s平面，系统结构不稳定。,（3）b=a时，起始于坐标原点的两条根轨迹为与虚轴上，系统临界稳定。p=-a和z=-b构成开环偶极子。,（4）ba时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于左半s平面，

32、系统结构稳定。,（5）b=0，a为有限量时，系统为没有开环零点的二阶系统，结构稳定。,从上例可以看出，增加一个开环零点对系统的根轨迹有如下影响：（1）改变了实轴上根轨迹的分布。零点越靠近虚轴影响越大（2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。（3）使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态特性。（4）开环零点和极点重合或相近时，二者构成开环偶极子,抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响。2.开环极点对根轨迹的影响 增加一个开环极点对系统的根轨迹有如下影响：（1）改变了实轴上根轨迹的分布。（2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。（3）

33、使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度，有损于系统的动态特性，使得系统相应的快速性变差。,增加开环极点对根轨迹的影响：,K取何值也稳定（如图所示）。,（1）分离点,（3）与虚轴交点：,范围0K6（如图所示）。,（2）渐进线：,（2）渐进线：,（3）与虚轴交点：,如图所示。,K取何值都不稳定。,如图所示。,p3在-，0之间 为条件稳定，p3越 靠近原点,K的取值范围越小。当p3 在原点时，K取何值系统都不稳定。,增加开环极点将使根轨迹右移，对稳定性不利，使系统性能指标下降，ts 增加。,结 论,The End of Chapter 4,Questions?,绘出系统的根轨迹后，可分析K(K1)或其它参数 对系统的稳定性及性能指标的影响。若结构已定，可 确定闭环极点在s平面上的分布，进而计算性能指标。,第三章高阶系统分析时已有：,闭环零、极点分布与阶跃响应的定性分析:,说明阶跃响应与si、