从经济数学中变与不变问题的辩证关系谈起.docx

1、从经济数学中变与不变问题的辩证关系谈起 从经济数学中“变与不变”问题的辩证关系谈起 从经济数学中变与不变问题的辩证关系谈起 从经济数学中变与不变问题的辩证关系谈起 内容提要： 抽象思维能力的发展是数学中一个富有挑战性的目标，从哲学的角度探讨经济数学中的辩证思维，在经济数学中渗透辩证的思维方法，可以使人们对经济数学的认识产生一个新的高度，也是增长思维智慧的最佳方法。 关键词： 运动；转化；思维功能；运用 初等数学基本上研究的是常量数学，而经济数学研究的是变量数学。 经济数学中的变量已不是考查事物运动的一个断面，而是运动的整个过程，已不是拍照而是录像了。 正如恩格斯曾指出： 初等数学，即常数的数

2、学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样 烯 ；而变量数学，其中最重要的部分是微积分，本质上不外 馑 是辩证法在数学方面的运用。 而辩证法突破了形式逻辑的 坫 狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽。 经济数 穰 学中变量的变与不变，反映了事物运动变化与相 对静止的两种不同状态，以及它们在一定条件下的相互转 卡 化，这种转化是数学科学的有力杠杆之一。 这种理念 圳 是打开经济数学之门的一把钥匙，也是我们发现事物的规 芟 律，把握事物的关键，考察事物的发展过程，研究事物的 蛉 变与不变以及对事物应变能力的强弱，有的放矢地处 亭 理问题关键所在。 一、认识经 济数学中变与不变的 奴 辩

3、证关系 微积分的基本思想是极限的思想。 我们用极限 的思想去讨论函数的两个基本概念： 变率与求和，这也就 是微分运算和积分运算的起源。 极限思想揭示了变量与常 珊 量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统 蕊 一规律在数学领域中的应用。 借助极限思想，我们可以从 不变认识变，从有限认识无限。 学习微积分也就 集 是要学会灵活运用极限思想去简化和解决实际问题。 lO 煤 cAlHOST 变率问题 在经济管理中，常常会使用 蒇 变化率的概念，而变化率又分为平均变化率和瞬时变化率 。 平均变化率就是函数增量与自变量的增量之比。 如我们 虻 常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率等。 而

4、瞬 碘 时变化率就是指函数对自变量的导数，即当自变量的增量 街 趋于零时平均变化率的极限。 从观念上看，平均变化率是 骄 有限且比较初等的概念，而瞬时变化率的概念中涉及极限 簌 ，是进一层的、比较复杂的无限过程。 从计算的着眼点来 看，一般经济函数的平均变化率是一个较复杂的函数，要 庀 精确计算它是困难的，甚至是不可能的，并且我们在理论 研究和实际应用中，往往只需要了解它的近似值就可以了 龉 ，于是在一定条件下，我们用瞬时变化率函数近似替代平 诲 均变化率函数，起到简洁易算的作用。 上述思想的几何直 悭 观是： 用愈高倍的显微镜去观察一条光滑曲线一点的局 部 屠 微段，曲线和切线就愈来愈密合而

5、难以区分。 求和问题 芤 在经济管理中，还有一类问题是： 已知边际函数求总函 俭数在某个范围的改变量。 大多数求总量的问题，初等数学 钛 无法解决，而使用定积分的方法却能迎刃而解。 初等数学 龛 不能解决的求总量的问题包含着初等数学不能解决的变 惫 与不变的矛盾，定积分的方法是辩证的方法，与总量 茉 一类问题本身所固有的辩证内容相吻合。 定积分作为和 只 式的极限，经过化整为零、以常代变、积零为整、无限逼 恼 近的过程求出定积分值，它充分体现了整体与局部、总量 曾 与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾的 抛 对立统一。 一般而论，曲和直相应变和不变，曲说明方向 帐 在变，直说明方向

6、不变。 定积分就是运用辩证的变与不变 抒 这一对矛盾的相互转化解决问题的。 早在公元 3 世纪魏 晋时期，我国古代数学家刘徽成功地运用变与不变矛 盾的对立统一思想，通过化整为零，在局部范围内用初等 数学的方法求出部分量的近似值，再把这个部分量的近似 义 值用初等数学的方法加起来，逼近总量的近似值，得出圆 炭 周率的近似值。 刘徽在九章算术(263 年)方田章 圆田术中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积和圆 设 周率的基础。 割圆术的精髓是用圆内接正多边形去逐步逼 近圆。 设圆的半径 r 为 l 尺，从圆内接正六边出发，将边 数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形 的面积，当算到 耀 192 边形

7、时，得出圆周率的近似值，这就是著名的徽 率。 他指出： 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至 犸 于不可割，则与圆合体而无所失矣。 并一再对徽率 矶 声明： 此率商微少，需要的话，可以继续算下去，得 出更精确的近似值。 刘徽的割圆术先运用无穷小分割，然 荽后运用极限求和，这类似于一块块砖的边是直的，但是可 睬 砌出圆形的烟囱，砖越小烟囱越圆。 刘徽的思想架起了通 篑 向微积分学的桥梁，而且比古希腊数学家更接近微积分的 思想。 实例分析 在经济数学中，变与不变矛盾的相互 抽 转化问题很多，例如以下的问题： 分析】我们这样考 六 虑问题： 把 xoy 坐标平面想像成水平面，而把对应的函 埃 数 z

8、标在垂直方向上，这样在空间直角坐标系的曲面 z= 肥 f(x，y)恰似在平地上的山峰和山谷一样。 山峰的斜 鞯 率刻画了山峰的陡峭成度。 如果问： 由南一直向北走，南 亵 北方向山峰的坡度有多大？用数学语言来问，即： 一直沿 搦 x 方向走，斜率是多少呢？答案很简单，想求此方向的斜 擞 率，可以设 y 保持不变，然后按一元函数求导的方法求出 耕 f 对 z 的偏导数，而在偏导函数中，应还原其本来是 变量的本质。 由于上式左端变上限积分函数的积分变量 是 t，因此被积函数中的变量 x 要暂时视作常量，由积分 运算的性质，它可以提到积分号外面。 当将 x 提到积分号 外面后，此时的 x 是变量，并

9、以变量的形式参与后面的求 给 导运算。 【分析】方程与函数相比，前者是静止，后者 萍 是运动。 方程的解可视为对应函数在某种特定状态下的值 螂 。 在研究方程问题时，我们可以从函数的观点出发，化静 睡 为动，这样可以化繁为简。 由于方程中 xl、xz 的系 数行列式不为零，于是将方程组中的 x3 移至方程式的右 吟 边，并将它暂时视作常量，运用cramer 求解。 最后 ，将 x3 还原其变量的本来属性，得到方程组的全部解。 觉 可 以看成是元素或数。 小块矩阵在运算中的二重性，折 禁 射出变与不变矛盾 的转化与统一。 在计算仨： 三引 酴 简单概括易经就是告诉人们应当在变动中把握事物、 认识

10、事物。 有关不变的训谕最晚也始于诗经： 豸 匪今斯今，振古如兹。 千年不变的人治礼教数不胜数， 蟪 举其荦荦大端者，如以吏为师、法先王、唯上 智与下愚不移、不愆不忘，率由旧章、天不变道 输 亦不变、民可使由之，不可使知之，等等。 通常人 兴 们认为，年轻人敢于变化，敢于求新，但少有明确的原则 恃 和坚定的立场；而老年人一般过于坚持己见，惮于改变而 显得过于固执，缺少新意。 纵观人的一生，并不是每个人 耋 都能掌握变与不变的智慧，有些人即使希望自己能够 做到这样，也因为能力的原因不能如愿。 由此可见，对 变与不变的合理掌握是具有智慧的表现。 一个人如果掌 握了变与不变的合理尺度，他就能在 瞬息万

11、变的社会 卜 中既保持自己的原则立场，也能适应时代潮流。 以史为 鉴，审时度势 事情往往有正必有反，有顺必有逆，有利 榔 就有不利，有直便有曲，古来如此。 善谋国并善某身的政 峁 治家，能够从直中见曲，从利中见不利，从不利中见利， 抓住事物的本质与特点，制定相应的决策。 春秋战国时 囫 期，楚庄王想攻打陈国，于是他派间谍去刺探陈国的国情 。 侦查人员回报： 陈国城高沟深，储备丰富。 楚庄王 听后满意地说： 那么，陈国可以攻伐！陈国国小储备 丰富，说明赋敛繁重；城高沟深，说明民力疲惫。 于是， 逞楚国起兵，一举攻下陈国。 这就是从曲中见直，从不利中 胰 见有利。 越国的范蠡在帮助勾践复国后，采取

12、了一个出 耶 人意料的举动坚持不就相位。 经过长期的观察，范蠡 怵 认识到，勾践为人，可与同患，难与处安。 如果继续 资 留在越国，说不定哪一天就要灾难临头。 于是决定辞官隐 泯 退，并写信给一同辅佐勾践的重臣文仲，劝其早日离开勾 践。 然范蠡去，文仲留，去者全身而退，留者终被勾践杀 槠 害。 苏东坡对此评论： 春秋以来，用舍进退，未有范蠡 刹 之全者也。 范蠡深知富极祸来的道理，这就是从直中见 穴 曲，从有利中见不利。 事物的发展变化，既像圆环一样 循环连接，又在每一发 展阶段有自己的特点和现实背景。 珠 我们应该反复探求事物的连续性和独立性，抓住不同事物 捌 的特点，依据不同的事实情况制定

13、不同的决策，依据事物 堑 发展完善自己的策略方针。 以狼为师，学狼之长 著名 递 的狼学专家博比卡耐特博士在他的专著动物之王中 踮 说： 有时候，我会深深地感叹，狼在某些方面所具有的 锉 智慧，是人都不能与之相比的。 狼群有自己的社会组 禀 织结构和组织纪律，狼群有自己的信仰，狼群有自己的生 鲽活准则和生活目标。 为了自己的信仰，为了自己的生活准 觥 则和生活目标，它们愿意付出一切，甚至牺牲生命也在所 娥 不惜。 但有的时候，它们却会毫不犹豫地改变平时遵循的 锸 一些原则。 对变与不变的把握，充分体现了狼族的生存智 促 慧。 要知道： 这些智慧即使是人也很少能够完全掌握。 狼群对捕食对象的选择

14、就体现了它们灵活变化的智慧。 由 于某些不确定的因素，自然界的某一物种会突然减少。 驯 蕖鹿是狼群非常喜欢的食物，捕猎也比较容易。 但当驯鹿的 庇 数量减少时，狼群就尽量减少对驯鹿的捕杀，而是将目光 百 转移到其他动物的身上。 因为它们知道，在驯鹿数量急剧 烹 减少的情况下继续捕杀驯鹿，就很容易造成驯鹿的灭绝， 以后它们就再也不能捕食到驯鹿了。 在草原上，当狼群 胶 遇到暴风雪时，狼群的选择可以说是出乎意料，它们不会 蟮 选择背风的地方，而是迎着风雪冲上去。 虽然迎风冲上去 异常寒冷，但这 样就不会被雪埋葬。 狼群为达到目的所 硪 使用的策略是千变万化的，狼绝对不会一成不变地看待问 周 题。

15、在狼看来，变是唯一的不变，以不变应万变，以万变 镶 应不变。 对变与不变的把握，充分体现了狼族的生存智慧 威 。 在一般情况下，人们总是惯用常规的思考方式，因为 它可以使我们在思考同类或相似问题的时候，能省去许多 摸索和试探的步骤，能不走或少走弯路，从而可以缩短思 付 考的时间，减少精力的消耗，似乎可以提高思考的质量和 拓 成功率。 正如一位心理学家说过： 只会使用锤子的人， 糊 总是把一切问题都看成是钉子。 然而，这样的思维定势 俎 往往会起到一种妨碍和束缚作用，它会使人陷入在旧的思 媛考模式的无形框框中，难以进行新的探索和尝试。 常规是 人们解决问题的一般性思维，它能凭经验轻车熟路地完成

16、鹊 一些工作，解决平常的一些问题，但是总用思维定式来看 瑶 待事物，那就是傻瓜一个。 当然，变化、革新需要很大的 艨 勇气，有的人即使意识到了变革的必要性，也没有变革的 喇 勇气。 因为变革一旦失败，他将受到很大的伤害。 但他却 没有看到问题的另外一面： 如果不进行变革，他同样会在 杭 未来遭受巨大的损失，而变革就有成功的可能，成功的变 雨 革将为他的事业开创出一片崭新的领域。 因此，以狼为师 睇 ，学狼之长，打破常规，学会变通，运用超长的思维会让 缴 我们做得别开生面，教我们创造和发明，教我们从容地面 酷 对困难，欣然地面对未来。 事在人为，开拓思维的自我 人的思维能力的潜力是很大的，即使再

17、怎样开掘，也不 喏会超负荷。 要很好地利用自己这无穷的宝藏。 香港 店 富豪李嘉诚出身贫贱，靠做塑料花生意起家，空空两手打 阖 出了惊人的天下。 他的人生格言： 事在人为。 1955 簇 年，李嘉诚首次扩张业务，购买了一家正处于倒闭边缘的 工厂。 他购买了新机器，接了几个月的订单。 此时，原 工厂的一位职工对他说： 我想提醒你，在这条士美菲路 祆 上经商的，没有一个是赚到钱离开的，我的老板来的时候 也是雄心勃勃，现在差不多要倒闭了，隔壁那两家也好不 到哪里去，你年纪轻轻，损失点定金算了。 李嘉诚感激 界 之余说： 订单我已接下了，机器也已经订好了，如果现 杼 在不安装设备生产，我将失信于人，我

18、绝对不愿意这样做 肥 。 李嘉诚搬进去后小心经营，也特别勤奋，结果生意 胱 很好，开工一个月就已赚到全年的经营费用。 不到一年， 隔壁的两家工厂都倒闭了，李嘉诚将这两加工厂也租了过 来，直到在其他地方盖了新厂房才搬出去。 等他搬离后， 许多人抢着要租这几间房。 说来也奇怪，其他人在那里就 囫 是做不好。 李嘉诚说： 风水这个东西，你要信也可以， 滑 但是最终还是事在人为，重要的是自我充实，做好自己的 工作，相信很多本来人为不可能的事情可以转变为可能， 穿 眼光放远放大，发展中不忘记稳健，这是我的做人的哲学 伎 。 世界船王包玉刚 投身航运业以后，经过短短十几年 佯 的发展，就成为享誉世界的船王

19、。 1978 年，就在他的 船运公司发展到事业的最高峰时，包玉刚却做出了一个令 苇 所有人惊讶的决定： 减船登陆。 因为他预见到世界航运的 蓥 衰退即将到来。 伴随着石油危机，各国对石油运输的需求 债 量相应减少，庞大的油轮此时便成为负担，其昂贵的费用 蒹 会使船主一夜之间就倾家荡产。 包玉刚意识到这个危机后 雹 马上把大部分油轮卖掉，此后的四五年中，包玉刚卖掉了 瘳 超过一半的船只，他用这些钱偿还了所有的债务。 几年之 后，世界航运进入萧条，许多船运公司负债累累，以至于 破产倒闭，而包玉刚的远见使他顺利地避过了大萧条时期 的灾难。 之后，他进军房地产业，收购九龙仓和会德丰， 叩迅速建立起业务

20、广泛的陆上商业王国。 李嘉诚、包玉刚做 彤 成了别人不可为的事，靠的是不断开拓思维的自我，以及 诣 付出艰辛的劳作。 他们原本是普通、平凡的人，而通过努 酷 力学习，勤奋工作，善于观察，敢于变革，才使他们与众 聘 不同。 改革开放，辩证统一 改革开放作为一场新的伟 擦 大革命，要求变化，追求变化促成变化，但这只是问题 彳 的一个方面。 另一方面，改革开放又不是一切推倒重来。 泽 邓小平同志曾多次用变与不变指明改革的本质和 穹 前途。 比如，邓小平在保持香港的繁荣和稳定一文中 孵 说： 不要拒绝变，拒绝变化就不能进步。 这是个思想方 呢 法问题。 他在 1984 年分析改革形势时说： 最大的 不

21、变是社会主义制度不变。 这些论述深刻表明，改革开 放是变与不变的辩证统一、是继承和发展的辩证统一。 3 禾 0 年来，正是因为我们始终坚持这些不变，才换来了 扉 令人欣喜的变r dquo;： 我们积极推进理论创 囝 新，但坚持马克思主义基本原理始终不变，马克思主义在 獾 中国大地上焕发出勃勃生机；我们大力发展社会主义市场 经济，发挥市场的魔力，但坚持社会主义基本制度始 磷 终不变，避免了两极分化，使广大人民共享改革发展成果 傈 ；我们推进政治体制改革，坚定不移发展社会主义民主政 沣 治，但坚持党的领导地位始终不变，保证了社会安定团结 僧 ；我们不断增强党的阶级基础、扩大党的群众基础，但坚 持党的性质和宗旨始终不变，保持和发展了党的先进性。 中国过去 30 年的发展进步靠的是改革开放，中国现在和 卵 未来的发展进步仍然要靠改革开放。 在新的更加艰巨繁重 蔗 的任务、新的更加错综复杂的环境面前，我们必须坚定信 念： 坚决走充满生机活力的新路，决不走实践证明是封闭 僵化的老路，也决不走那种改旗易帜、放弃共产党领导、 放弃社会主义的邪路。 在改革开放中，不变的是我 疯 们的理念、目标和原则，变的是我们的方法、途径